广西桂林崇左防城港市2020届高三联合模拟考试数学（文）试题 11页

绝密*启用前 ‎2020年高考第二次模拟考试 文科数学 注意事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.已知（其中为虚数单位），则的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎4.若x,y满足约束条件的取值范围是 A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4, ‎ ‎5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 A. 9 B. ‎7 ‎C. 8 D. 6‎ ‎6.函数的大致图象为 A. B. C. D. ‎ ‎7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 在中，若，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎9.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象 A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎10. 如图所示，正方体的棱长为2，为，AB的中点，‎ 点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 A. B‎.1 ‎C. D. ‎ ‎11. 已知函数在区间上有最大值，‎ 则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为 A. 2 B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，‎ 第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知，则______.‎ ‎14.已知向量，，则在方向上的投影为__________．‎ ‎15.设函数，则使成立的的取值范围是_________．‎ ‎16.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．‎ 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17（本小题满分12分）如图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；‎ ‎（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎ 18 (本小题满分12分)已知数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，设数列前项和为，求.‎ ‎19 (本小题满分12分) 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当时，求点到平面的距离.‎ ‎20(本小题满分12分) 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.‎ ‎21 (本小题满分12分) 已知椭圆的焦点坐标为，，‎ 过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的 内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直 线方程；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。‎ ‎22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程； ‎ ‎（2）设是圆上的两个动点，且，求的最大值 ‎23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）当时，函数的最小值为，求实数的值.‎ ‎2020年高考桂林市第二次模拟考试 文科数学参考答案及评分标准 一．选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A D C A C ‎ D ‎ B C B D 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）在‎3月1日至‎3月13日这13天中，5日、8日共2天的空气重试污染，………2分 所以此人到达当日空气重度污染的概率为．…………4分 ‎（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．…8分 ‎ (3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．……………………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 证明：因为，，所以，所以， ‎ 所以． …………3分 ‎ 所以是以为首项，以1为公差的等差数列． …………5分 ‎（2）由（1）可得，所以. ‎ ‎∴ …………7分 ‎∴…………9分 ‎………………………………12分 ‎19（本小题满分12分）‎ 证明：由题知四边形ABCD为正方形 ‎∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD ‎∴AB//平面PCD …………1分 ‎ 又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF ‎∴EF // AB，又AB//CD ‎∴EF //CD， …………3分 由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点 连接BD交AC与G，则G为BD中点，‎ 在△PBD中FG为中位线，∴EG//PB ‎ ‎∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE ‎∴PB//平面ACE. …………6分 ‎（2）∵PA=2，AD=AB=1， ∴, ‎ ‎∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD…………8分 在Rt△CDE中， ‎ 在△ACE中由余弦定理知 ‎∴，∴S△ACE=‎ 设点F到平面ACE的距离为，则 …………10分 ‎ 由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且 ‎∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为 ‎ 又F为PC中点，∴S△ACF S△ACP ，∴‎ 由知∴点F到平面ACE的距离为.…………………………12分 ‎20（本小题满分12分）‎ ‎∵………………………………1分 ‎①若时，，此时函数在上单调递增；……………………2分 ‎ ‎②若时，又得：‎ 时，此时函数在上单调递减；‎ 当时，此时函数在上单调递增；…………4分 综上：当时，函数在上单调递增 当时，函数在在上单调递减，在上单调递增…………5分 ‎（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，…………6分 即函数图像与函数图像有两个不同的交点，…………7分 因为，令得：‎ 所以当时，，函数在上单调递减 当时，，函数在上单调递增；…………10分 则，而，且，‎ 要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，‎ 所以的取值范围为.…………12分 ‎21（本小题满分12分）‎ 设椭圆方程为＝1(a>b>0)，‎ 由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.‎ 又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＝1. …………4分 ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，‎ 设△F1MN内切圆的半径R，‎ 则△F1MN的周长为‎4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F‎1M|＋|F1N|)R＝4R，‎ 因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．‎ S△F1MN＝F‎1F2||y1－y2|＝y1－y2，…………6分 由题知，直线l斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，‎ 由得(‎3m2‎＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 得y1＝，y2＝，…………8分 则S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，‎ 则S△F1MN＝＝＝.…………10分 令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，‎ 当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，‎ 有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，‎ 当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝‎ 这时所求内切圆面积的最大值为π，此时直线的方程为x=1。………………………12分 ‎22（本小题满分10分）‎ 解：（1）圆的直角坐标方程为，即，‎ 所以圆的极坐标方程为，即. …………4分 ‎(2)设的极坐标为，，则 ‎，…………6分 则,…………8分 又，所以，‎ 所以当时，取最大值.……………………………10分 ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：（1）时，不等式为 ‎①当 时，不等式化为，，此时 ‎ ‎②当 时，不等式化为，‎ ‎③当时，不等式化为，，此时 综上所述，不等式的解集为…………5分 ‎（2）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，‎ ‎ ‎ 所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4. …………10分 法二：‎ ‎ ‎ 所以，又，所以.……………………………………10分