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- 2021-06-26 发布
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江苏省泰兴中学高二数学（文科）期中考试试题
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．
1、已知复数，则复数的虚部为 ．
2、命题：“”的否定是 ．
3、复数 ．
4、双曲线的渐近线方程为 ．
5、抛物线的焦点坐标为 ．
6、观察下列各式：，，，，从中归纳出一般结论： ．
7、焦点在轴上，离心率，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的标准方程为 ．
8、已知函数的定义域为，集合，若P：“”是Q：“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
9、已知动点在曲线上，定点的坐标为，则线段长度的最小值为 ．
10、已知，则 ．
11、已知集合，，则命题“”是命题“”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设
，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是 ．
13、过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为 ．
14、过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（本题满分14分）
已知，复数，当为何值时，分别满足下列条件：
（1）；
（2）对应的点位于复平面第二象限．
16、（本题满分14分）
已知．
(1)是的什么条件？
(2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．
17、（本题满分14分）
设分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上一点，且直线与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（1）若直线的斜率为，求的离心率；
（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程．
18、（本题满分16分）
如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块，其中是一个水池，计划在地块内修一条与池边相切的直路(宽度不计)，切点为，并把该地块分为两部分．现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数的图象，且点到边距离为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当为何值时，地块在直路不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
19、（本题满分16分）
设分别为双曲线的左，右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．
20、（本题满分16分）
已知椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，直线与相交于点，与椭圆相交于两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若，求斜率的值；
（3）求四边形面积的最大值．
江苏省泰兴中学高二数学（文科）期中试题参考答案
一、填空题：
1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、；14、
二、解答题：
15、解（1）， 2分
6分
（2）复数在复平面上对应点为， 8分
依题意有 10分
解之得 14分
16、解 (1)，
. 2分
∴， 4分
∴是的充分不必要条件． 6分
(2).
∴：. 8分
∵是的必要非充分条件．
∴. 12分
∴的取值范围是. 12分
17、解：（1）记，则，由题设可知，则， 4分
； 6分
（2）记直线与轴的交点为，则①， 8分
， 10分
将的坐标代入椭圆方程得② 12分
由①②及得，
故所求椭圆的方程为． 14分
18、(1)， 2分
， 6分
(2)，过切点的切线，
即，令得，故切线与交于点； 8分
令，得，又在递减，所以，
故切线与交于点． 10分
所以地块在切线右上部分区域为直角梯形，
面积， 14分
当且仅当时取等号，即时． 16分
19、解 (1)由题意知， 1分
一条渐近线为，即，， 3分
， 4分
∴双曲线的方程为. 6分
(2)设，则， 8分
将直线方程代入双曲线方程得， 10分
则， 12分
即，∴， 14分
∴，点的坐标为． 16分
20、解（1）)由题意，， 解得， 2分
故椭圆的方程为． 4分
（2）由（1）得，直线的方程为．
． 6分
设，，且．
则，
因为，所以，即， 8分
所以在直线上，即，
化简得，解得，或． 10分
（3），由题意，要使四边形面积最大，只要点到直线距离之和最大．
12分
14分
因为，所以，
当且仅当，即时取“＝”号．所以． 16分
