江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第三次周考数学（文）（A）试卷 含答案 8页

数学（A卷）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的部分图象可能是（ ）‎ A． B．C．D． ‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（ ）‎ A． B．C．‎ ‎ D．‎ ‎7．数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）‎ A．立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．立方丈 ‎8．已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知是定义域为的奇函数，满足．‎ 若，则（ ）‎ A．50 B．2 C．0 D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为_____．‎ ‎14．已知函数，则_____．‎ ‎15．在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是__________．‎ ‎16．设函数对于任意，都有成立，则实数_______．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（12分）在中，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎18．（12分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为：‎ 年龄（岁）‎ 合计 人数（人）‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎50‎ ‎31‎ ‎19‎ ‎16‎ ‎140‎ 经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求该单位男女职工的比例；‎ ‎（3）若从年龄在岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．‎ ‎19．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性．‎ ‎（2）若，，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线，分别交于，两点，设定点，求的面积．‎ ‎23．（10分）已知函数．‎ ‎（1）若不等式的解集为，且，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ 文科（A）答案 一选择题 BABAA CBDCD DB 二填空题 13： 14：．15： 16：1‎ ‎17．（1）∵，∴，∴．‎ ‎（2）设的内角，，的对边分别为，，．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，．‎ 由余弦定理可得，‎ 则，的周长为．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：由正三棱柱的所有棱长都相等可知，，‎ 如图，取的中点，连接 则，‎ ‎，，，‎ 由平面平面，平面平面，且得，平面，‎ ‎，平面，平面，，‎ 平面，，‎ 平面，平面，，平面，‎ ‎（2）连接，由平面，‎ 所以点到平面的距离，等于，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故三棱锥的体积为．‎ ‎20．（1）设椭圆的方程为，半焦距为．‎ 则、、、、，‎ 由，即，‎ 又，解得，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）∵为的垂心，∴，‎ 又，，∴，，‎ 设直线：，，，‎ 将直线方程代入，得 ‎，，‎ ‎，且，‎ 又，，，‎ ‎∴，即，‎ 由韦达定理得，解得或（舍去）。‎ ‎∴存在直线：使为的垂心．‎ ‎21．（1）‎ 当时，，；，．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，对恒成立，∴在上单调递增．‎ 当时，，；，．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，‎ ‎∴，解得，‎ ‎②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，在上单调递增．‎ ‎∴对恒成立，则符合题意；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴．‎ 设函数，，‎ 易得知时，，，∴，‎ 故对恒成立，即符合题意．‎ 当时，在上单调递减．‎ ‎∴对恒成立，‎ 则符合题意．‎ 综上所述：的取值范围为．‎ ‎22．（1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程为．‎ 设，则，则有．‎ 所以曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）到射线的距离为，‎ ‎，则．‎ ‎23．（1），，，．‎ ‎，，，的取值范围．‎ ‎（2）由题意恒成立，设，‎ ‎，‎ ‎①时，由函数单调性，，，‎ ‎②时，，，，‎ 综上所述，的取值范围．‎