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- 2021-06-26 发布
湖南省2017届高三十校联考第二次考试
数学（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，（ ）
A． B． C． D．
3.在各项为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．144 B．121 C．169 D．148
4.长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.若抛物线的焦点到双曲线的渐进线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.函数的图象大致为（ ）
8.已知，如果方程，，的根分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9.执行如图所示的程序框图，如果输出的，则输入的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，满足，，，则 ．
14.在（）的展开式中，的偶数次的项系数之和比的奇数次的项系数之和大1，则的值为 ．
15.在等差数列中，，，则 ．
16.2016年被业界称为（虚拟现实技术）元年，未来技术将给教育、医疗、娱乐、商业、交通旅游等多领域带来极大改变，某教育设备生产企业有甲、乙两类产品，其中生产一件甲产品需团队投入15天时间，团队投入20天时间，总费用10万元，甲产品售价为15万元/件；生产一件乙产品需团队投入20天时间，团队投入16天时间，总费用15万元，乙产品售价为25万元/件，、两个团队分别独立运作．现某客户欲以不超过200万元订购该企业甲、乙两类产品，要求每类产品至少各3件，在期限180天内，为使企业总效益最佳，则最后交付的甲、乙两类产品数之和为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求，的值．
18.在正方形中，的中点为点，的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．
19.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：
班级
宏志班
珍珠班
英才班
精英班
参赛人数
20
15
15
10
（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；
（Ⅱ）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
20.动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．
（Ⅰ）求的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且．证明：过和中点的直线过定点．
21.已知函数（）．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值与曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，且当时，恒成立，求的最大值．（）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
湖南省2017届高三十校联考第二次考试数学（理工类）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.3 14. 15.1 16.9或10
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理得，
又，，∴，，∴．
（Ⅱ）∵∴即
∴或
18.（Ⅰ）证明：连接，交于点，交于点，连接，，
如图所示，在正方形中，为中点，为中点，所以；
由于为沿着翻折而来，从而，所以面，
而在平面内，所以.
（Ⅱ）设中点为，连接，交于点，连接. 同（Ⅰ）可证，从而面面，所以；由面，可得面面，又因为面面，且面与面相交于，所以面．
设为原点，过点作轴平行于，作轴平行于，为轴，如图所示，不妨设正方形边长为3，从而，，，，，，
又因为，所以，，在直角中，由勾股定理可得，
所以，即，所以可以求得面的法向量为，面的法向量为，所以可以得出法向量，则所求二面角的正弦值为．
19.解：（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为，
且这2人在同一班级的基本事件个数为，故所求概率．
（Ⅱ）由题意的的所有可能的取值为0,1,2．
则，，，
所以的分布列为：
0
1
2
．
20.解：（Ⅰ）连接，根据题意，可知，则，
故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，
∴，
所以点的轨迹的方程为．
（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，，直线的方程为，联立解得直线经过定点．
下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，
则直线的方程为，设，，
联立消去得，
则，所以，
即，同理：，
于是直线的斜率为，
故直线的方程为，
显然时，，故直线经过定点．
21.解：（Ⅰ）因为，所以，．
又曲线在点处的切线与直线垂直，故，解得，
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）当时，恒成立等价于恒成立，等价于当时，恒成立．
设（），则，记，
则，所以在上单调递增．
又，，
所以在上存在唯一的实数根，使得，①
因此当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增．
所以当时，，由①可得，
所以．
因为，，又，，
所以，因此，
又，所以．
22.解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即，
曲线的极坐标方程为，即．
因为曲线的极坐标方程为，即，
故曲线的直角坐标方程为，即．
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程得，
由得或则，
由得或则．
故.
23.解：（Ⅰ）作出的图象（略），
数形结合知的最小值.
∵不等式的解集是空集，
∴实数的取值范围为.
（Ⅱ）存在，使得成立，等价于，
由（Ⅰ）可知，
所以，解得，故实数的取值范围为.