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- 2021-06-26 发布
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西北师大附中2019—2020学年度第一学期期中考试试题
高一数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求集合的补集,再与求交集即可.
【详解】因为,,
,
故选A.
【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.
2.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论．
【详解】解：对于A，函数y在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意；
对于B，函数y＝（x﹣1）2在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；
对于C，函数y＝2﹣x在定义域R上为单调减函数，不满足题意；
对于D，函数在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【详解】选项B、C、D中的两个函数的定义域都不相同，
所以不是同一函数；
因的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数，
故应选A．
4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x定义域和值域相同的是( )
A. y＝x B. y＝lg x C. y＝2x D. y＝
【答案】D
【解析】
试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
【此处有视频，请去附件查看】
5.已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（ ）
A. 8 B. 2 C. D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的周期性以及函数的解析式，转化求解即可．
【详解】在R上是偶函数，且满足，故周期为3
当时，，
则．
故选B．
【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，利用函数的解析式求解函数值，考查计算能力．
6.若是方程的一个解，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题先代入特殊值0，﹣1进行比较，然后画出两个函数图象，根据图象交点和计算可得零点所在的区间．
【详解】解：由题意，
当x＝0时，20＝1＞02＝0，
当x＝﹣1时，2﹣1（﹣1）2＝1．
再根据两个函数图象：
则两个函数的交点，即方程的解必在区间（﹣1，0）内．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数画图能力，代入特殊值方法的应用，以及零点判定定理的应用．本题属中档题．
7.已知幂函数的图像过点，则等于（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义求得，根据图像过点求得，由此求得的值.
【详解】由题知是幂函数，则.又图像过点，则由知，故.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题.
8.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令t＝x2﹣ax﹣3a，则得函数f（x）＝log2t，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得 ，由此求得a的范围．
【详解】解：令t＝x2﹣ax﹣3a3a，则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．
∴，求得﹣4≤a＜4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，注意复合函数“同增异减”的应用，属于中档题．
9.若函数，则的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中函数知，当x＝0时，y＝2，图象过点（0，2），又依据指数函数的性质知，此函数在（0，+∞）上的函数值为正，根据此两点可得答案．
【详解】解：观察四个图的不同发现， 图中的图象过（0，2），
而当x＝0时，y＝2，故排除；
又当1﹣x＜1，即x＞0时，f（x）＞0．
由函数y＝f（1﹣x）的性质知，在（0，+∞）上的函数值为正，排除B．
故选：C．
【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用函数的图象，掌握其的性质．
10.若函数在上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数单调性的关系进行求解即可．
【详解】解：∵a＞0，∴当x＜﹣1时，函数f（x）为增函数，
∵函数在R上的单调函数，
∴函数为单调递增函数，
则当x≥﹣1时，f（x）＝（）x，为增函数，
则1，即0＜a＜1，
同时a≥﹣2a+1，
即3a≥1，
即a，
综上a＜1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．
11.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（log2a）+f（﹣log2a）＜2f（1）⇒f（log2a）＜f（1）⇒f（|log2a|）＜f（1），结合函数的单调性分析可得|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1，解可得a的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（log2a）＝f（﹣log2a），
则f（log2a）+f（﹣log2a）＜2f（1）⇒f（log2a）＜f（1）⇒f（|log2a|）＜f（1），
又由f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则有|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1
解可得：a＜2，
即a的取值范围为（，2）；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
12.对任意实数定义运算“ “：，设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用新定义化简f（x）解析式，做出f（x）的函数图象，根据图象即可得出k的范围．
【详解】解：解x2﹣1﹣（4+x）≥1得x≤﹣2或x≥3，
∴f（x），
做出f（x）的函数图象，如图所示：
∵y＝f（x）+k有三个零点，
∴﹣1＜﹣k≤2，即﹣2≤k＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，不等式的解法，属于中档题．
二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域为________.
【答案】（﹣3，0）∪（2，3）
【解析】
【分析】
根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】函数，令，
解得，即﹣3＜x＜0或2＜x＜3；
所以函数y的定义域为（﹣3，0）∪（2，3）．
故答案为（﹣3，0）∪（2，3）
【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，考查二次不等式的解法，是基础题．
14.方程的解都在内，则的取值范围为_______.
【答案】5≤k＜10
【解析】
【分析】
本题根据f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，然后代入值即可得到k的取值范围．
【详解】由题意，可知：f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，
又f（1）＝21+3×1＝5，f（2）＝22+3×2＝10．∴5≤k＜10．
故答案为5≤k＜10
【点睛】本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域，属基础题．
15.在上有意义，则实数的取值范围是_________．
【答案】k＜1
【解析】
分析】
由题意函数（4﹣k•2x）在（﹣∞，2]上，恒为正值，（4﹣k•2x）＞0恒成立，解答即可．
【详解】由题意函数（4﹣k•2x）在（﹣∞，2]上，恒为正值，
即：（4﹣k•2x）＞0恒成立，k，
因为2x在（﹣∞，2]上是增函数，∴在（﹣∞，2]上是减函数，
所以k＜1
故答案为：k＜1
【点睛】本题考查对数函数的定义域，函数恒成立问题，指数函数单调性等知识，是中档题．
16.已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．
【详解】由题意，函数．．
根据二次函数的性质，可得当时, ,记．
由题意当时,在上是增函数,
∴,记．
由对任意,总存在,使成立，所以
则，解得：
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用，其中解答中把对任意的,总存在,使
成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题．
三．解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分.
17.已知集合，
（1）若，求实数的值；
（2）设全集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2），或.
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式求得和，根据两者交集范围列式，由此求得的值.（2）先求得集合的补集，再根据列式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为，，,
所以，所以.
（2），或.
因为，所以，或，
所以，或.
【点睛】本小题主要考查集合交集、补集和子集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
【此处有视频，请去附件查看】
18.已知函数是奇函数
（1）求的值；
（2）当时，求不等式成立，求取值范围；
【答案】（1）k＝﹣1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）可根据条件得出f（x）是R上的奇函数，从而得出f（0）＝0，从而求出k＝﹣1；
（2）f（x）＝ax﹣a﹣x，求导得出f′（x）＝（ax﹣a﹣x）lna，可讨论a，根据导数符号判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，这样根据f（x）是奇函数以及f（x）的单调性即可由不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的范围．
【详解】（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝1+k＝0，∴k＝﹣1；
（2）f（x）＝ax﹣a﹣x，f′（x）＝（ax+a﹣x）lna，
∴①0＜a＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，且f（x）是奇函数，
∴由f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0得，f（1﹣m）＜f（2m﹣1），
∴，解得；
②a＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，且f（x）是奇函数，
∴由f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0得，f（1﹣m）＜f（2m﹣1），
∴，解得，
综上：当0＜a＜1时，m的取值范围为，当a＞1时，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
19. 某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
（1）求售价为13元时每天的销售利润；
（2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润．
【答案】（1）350 （2）售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元
【解析】
试题分析：（1）由题设知销售价为13元时每天销售量为100-（13-10）×8=76个，由此能求出销售价为13元时每天的销售利润；（2）设出商品的单价，表示出涨价后减少的销售量，求出利润，然后通过研究二次函数的最值求出利润的最值情况
试题解析：（1）依题意，可知售价为13元时，销售量减少了:（个）
所以，当售价为13元时每天的销售利润为:
（元）
（2）设售价定为元时，每天的销售利润为元，依题意，得
（）
∴ 当时，取得最大值，且最大值为．
即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元．
考点：函数模型的选择与应用
20.已知函数，函数．
（1）求函数与的解析式，并求出，的定义域；
（2）设，试求函数的定义域，及最值．
【答案】（1）f（x）＝log3（x+2）﹣1，定义域[﹣1，7]；g（x）＝log3x+2，定义域[1，9]；（2）定义域[1，3]，最小值6，最大值13.
【解析】
【分析】
（1）令t＝3x﹣2，则x＝log3（t+2）﹣1，根据已知可求f（x），进而可求g（x）；
（2）结合（1）可求h（x），然后结合函数的定义域的要求有，解出x的范围，结合二次函数的性质可求．
【详解】（1）令t＝3x﹣2，则x＝log3（t+2）﹣1，∵x∈[0，2]，∴t∈[﹣1，8]，
∵f（3x﹣2）＝x﹣1（x∈[0，2]），∴f（t）＝log3（t+2）﹣1，t∈[﹣1，7]，
∴f（x）＝log3（x+2）﹣1，x∈[﹣1，7]，即f（x）的定义域[﹣1，7]，
∵g（x）＝f（x﹣2）+3＝log3x+2，∴x﹣2∈[﹣1，7]，∴x∈[1，9]，即g（x）的定义域[1，9]．
（2）∵h（x）＝[g（x）]2+g（x2）＝（log3x+2）2+26log3x+6，
∵，∴1≤x≤3，即函数y＝h（x）的定义域[1，3]，∵0≤log3x≤1，
结合二次函数的性质可知，当log3x＝0时，函数取得最小值6，
当log3x＝1时，函数取得最大值13．
【点睛】本题考查了利用了换元法求函数的解析式及函数的定义域的求解，二次函数值域的求解，属于中档试题．
21.已知函数在上是奇函数．
（1）求；
（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【详解】（1）因为所以所以
（2），
所以，即
（3）因为，
即，所以（*）
因为关于的方程有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根，
令，则方程（*）变为有且只有一个正根，
①方程有且只有一个根且是正根，则
所以，当时，方程的根为满足题意；
当时，方程的根为不满足题意
②方程有一正根一负根，则，所以
③方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意
综上，的范围为或
