2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理 人教 新版 12页

‎2019学年高二数学下学期第一次月考试题 理 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、单选题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎2．下列函数中与函数是同一函数的是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎3．函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎4.设f(x)为可导函数，且满足，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是(　　)‎ A．2 B．－2 C. D．‎ ‎5．“”是“直线：与直线：垂直”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．程序框图如图所示,如果程序运行的结果为S=132,那么判断框中可填入(　　)‎ A. k≤10? B. k≥10? C. k≤11? D. k≥11?‎ - 12 -‎ ‎8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎9．函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎10．函数的极大值与极小值之和为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎11．函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本小题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．________.‎ - 12 -‎ ‎14．若实数满足则的最大值是__________．‎ ‎15．已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．‎ ‎16．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为________．‎ 三、解答题(本题共6个小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分)‎ ‎17．已知等比数列满足，．‎ ‎（）求数列的通项公式．‎ ‎（）若，求数列的前项和．‎ ‎18．已知向量.‎ ‎（1）若,求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ - 12 -‎ 19. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．在如图所示的几何体中， ， ， 平面，在平行四边形中， ， ， ．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ - 12 -‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（）当时，求曲线在点处切线的方程．‎ ‎（）求函数的单调区间．‎ ‎（）当时，恒成立，求的取值范围．‎ - 12 -‎ 参考答案 ‎1．B2．B3．C4．C 5．D6．B7．A8．C 9．A10．B11．C12．D ‎13． ‎14．1‎ ‎15． ‎16． ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，由条件得，解方程求解和，由等比数列通项公式求解即可；‎ ‎（2），分组和{1}求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎（）设等比数列的公比为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴数列的通项公式为．‎ ‎（）由（）可得，‎ ‎∵数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴数列的前项和．‎ ‎18．（1）；（2） 时，取到最大值 ；当 时，取到最小值.‎ ‎【解析】试题分析：由向量根据向量的平行的性质即可得到 - 12 -‎ ，结合可得；（2）根据平面向量的数量积公式和两角和的余弦公式化简，先求出，再利用余弦函数的性质即可求出的最大值和最小值以及对应的的值.‎ 试题解析：(1),若，则与矛盾，故，于是，又.‎ ‎（2）．‎ 因为，所以，从而．‎ 于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值．‎ ‎19．解　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示，‎ ‎(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.‎ 因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.‎ 于是MH＝＝6，所以AH＝10.‎ 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，＝(10，0，0)，＝(0，－6，8).‎ 设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，‎ 则即所以可取n＝(0，4，3).‎ - 12 -‎ 又＝(－10，4，8)，故|cos〈n，〉|＝＝.‎ 所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.‎ ‎20．（1）见解析（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）连接交于，取中点，连接， ，利用中位线证明，四边形为平行四边形，从而，由此证得平面.（2）以为原点， ， ， 的方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来求二面角的余弦值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）证明：连接交于，取中点，连接， ，‎ 因为， ，又， ‎ 所以， ，从而， 平面， 平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）在平行四边形中，由于， ， ，则，又平面，则以为原点， ， ， 的方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ，‎ 则， ， ，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由 令，得， ，所以，‎ ‎，设平面的一个法向量为，‎ 则由即 - 12 -‎ 令，得， ，所以，‎ ‎，所以，‎ 所以所求二面角的余弦值为．‎ ‎21．（1） （2） ，定值为1.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由可得，再根据离心率求得，由此可得，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线 与直线的斜率，结合根与系数的关系可得 ，根据此式的特点可得当时，为定值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意得、，，‎ ‎∴， ‎ 解得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ - 12 -‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）假设存在满足条件的点. ‎ 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. ‎ 因此直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去整理得 ‎，‎ 设、，‎ 则，， ‎ ‎∵‎ ， ‎ ‎∴要使对任意实数，为定值，则只有，‎ 此时．‎ 故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．‎ 点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法 ‎（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．‎ ‎22．（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，及，利用点斜式即可得切线方程；‎ ‎（2）由，结合定义域，讨论和即可；‎ - 12 -‎ ‎（3）恒成立等价于在时恒成立，设，求导，根据函数的单调性得最值，只需即可.‎ 试题解析：‎ ‎（）由，‎ 得：，，‎ 当时，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴曲线在点处切线的方程为．‎ ‎（）函数的定义域为，．‎ ‎①若，‎ 当时，，函数为增函数；‎ 和时，‎ ，函数为减函数；‎ ‎②若，‎ 当和时，，‎ 函数为增函数；‎ 当时，，函数为减函数，‎ 综上所述，当时，函数的单调增区间为，‎ 单调减区间为和，‎ 当时，函数的单调增区间为和，‎ - 12 -‎ 单调减区间为．‎ ‎（）当时，恒成立等价于在时恒成立，‎ 设，则．‎ 可知，当时，，为增函数；‎ 时，，为减函数，‎ 所以，‎ 故．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ - 12 -‎