2017-2018学年安徽省定远重点中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版 15页

定远重点中学2017-2018学年第二学期期中考试 高二（理科）数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。) ‎ ‎1.已知 f(x)=,则的值是（　　） A.- B.2 C. D.-2‎ ‎2.可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（   ） A.充分条件 B.必要条件 C.必要非充分条件 D.充要条件 ‎3.若复数是实数，则x的值为( ) A. B.3 C. D.‎ ‎4.设f（x）=x•cosx﹣sinx，则（   ） A.f（﹣3）+f（2）＞0   B.f（﹣3）+f（2）＜0   C.f（﹣3）+f（2）=0   D.f（﹣3）﹣f（2）＜0‎ ‎5.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（   ） A.2+ i B.2﹣i C.﹣1+ i D.﹣1﹣i ‎7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ） A. B. C. D.‎ ‎8.已知a为实数,若复数 为纯虚数,则 的值为( ) A.1 B.0 C. D.‎ ‎9.曲线在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. ‎ ‎10.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.函数的示意图是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷（非选择题90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.计算： （ ﹣x）dx=    ．‎ ‎14.若 , ，且为纯虚数，则实数的值为 . ‎ ‎15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是   。‎ ‎16.记当时，观察下列等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可以推测， ‎ 三、解答题(共6小题 ,共70分) ‎ ‎17. (10分) 已知复数x2+x﹣2+（x2﹣3x+2）i（x∈R）是4﹣20i的共轭复数，求x的值．‎ ‎18. (12分) 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.‎ ‎19. (12分) 已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎20. (12分) 已知数列，，，，为该数列的前项和．‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎21. (12分) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2． （1）求y=f（x）的表达式； （2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．‎ ‎22. (12分) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为元，推销费用为元，预计当每包药品销售价为元时，一年的市场销售量为万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的 ‎ (1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价的函数关系式，并指出其定义域；‎ ‎(2) 当每包药品售价为多少元时，年利润最大，最大值为多少？‎ 参考答案 ‎1.A ‎【解析】∵f(x)= ， ∴====﹣ 故选A ‎ ‎2.C ‎【解析】对于可导函数f（x）=x3 ， f'（x）=3x2 ， f'（0）=0， 不能推出f（x）在x=0取极值， 故导数为0时不一定取到极值， 而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时， 此点处的导数一定为0． 故应选  C． ‎ ‎3.A ‎【解析】 ， 因为复数是实数，所以。选A.‎ ‎4.A ‎【解析】∵f（x）=x•cosx﹣sinx，函数是奇函数． ∴f'（x）=﹣xsinx，x∈（﹣π，π）， f′（x）＜0，函数是减函数．如图： ‎ ‎ ∴f（﹣3）+f（2）＞0． 故选：A． ‎ ‎5.D ‎【解析】导函数 ， 则函数单调递增，导函数 ， 则函数单调递减，而不等式等价于或 ， 结合图象可知不等式的解集为.选D。 ‎ ‎6.A ‎【解析】由z（1+i）=1+3i，得 ， 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎7.D ‎【解析】由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是 ‎ ‎8.C ‎【解析】复数 为纯虚数，可得a=1，‎ ‎ ，‎ 故答案为：C.‎ ‎9.B ‎【解析】对函数求导可得， 根据导数的几何意义， ，即 ‎==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.‎ 故选B.‎ ‎10.B ‎【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，‎ 且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为，‎ 故第1行的第一个数为： ，‎ 第2行的第一个数为： ，‎ 第3行的第一个数为： ，‎ ‎…‎ 第行的第一个数为： (n+1)×2n−2，‎ 表中最后一行仅有一个数，则这个数是.‎ ‎11.A ‎【解析】，即，设，则 ‎，当时， 恒成立，即在上单调递增， ， ，故选A.‎ ‎12.C ‎【解析】，‎ 令y′=0得x=−，‎ ‎∴当x<−时,y′<0,当x>−时,y′>0，‎ ‎∴y= (2x−1)在(−∞,− )上单调递减,在(−,+∞)上单调递增，‎ 当x=0时,y= (0−1)=−1,∴函数图象与y轴交于点(0,−1)；‎ 令y= (2x−1)=0得x=,∴f(x)只有1个零点x=，‎ 当x<时,y= (2x−1)<0,当x>时,y= (2x−1)>0，‎ 综上，函数图象为C.‎ 故选C.‎ ‎13.‎ ‎【解析】由定积分的几何意义知 dx是由y= 与直线x=0，x=1所围成的图形的面积， 即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的 ， 故 dx= ， （﹣x）dx=﹣ = ， ∴ （ ﹣x）dx= ． 故答案为： ． ‎ ‎14.‎ ‎【解析】为纯虚数 ‎15.1和3‎ ‎【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； ∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3， 故甲1和3 ‎ ‎16.‎ ‎【解析】通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到A-B．‎ 解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数； 所以A=，A+++B=1 解得B=-， 所以A-B=+=， 故答案为：‎ ‎17.解：∵复数4﹣20i的共轭复数为4+20i， ∴x2+x﹣2+（x2‎ ‎﹣3x+2）i=4+20i， 根据复数相等的定义，得， 解得x=﹣3． ‎ ‎18.(Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】 ‎ ‎(Ⅰ) 2分 令，解得或. 4分 当时， ；当时， ‎ ‎∴的单调递增区间为，单调递减区间为6分 ‎（Ⅱ）令，即 ‎∴‎ 设，即考察函数与何时有三个公共点 8分 令，解得或.‎ 当时， ‎ 当时， ‎ ‎∴在单调递增，在单调递减 9分 ‎10分 根据图象可得. 12分 ‎19.(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)，函数的定义域为.‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 当时，令，则或(舍负)，‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴当时，的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎(2)解法一：由得，‎ ‎∵，‎ ‎∴原命题等价于在上恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 令，则在上单调递增，‎ 由，，‎ ‎∴存在唯一，使，.‎ ‎∴当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ 又，则，‎ 由，所以.‎ 故整数的最小值为2.‎ 解法二：得，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎①时，，在上单调递减，‎ ‎∵，∴该情况不成立.‎ ‎②时，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴，‎ 恒成立，‎ 即.‎ 令，显然为单调递减函数.‎ 由，且，，‎ ‎∴当时，恒有成立，‎ 故整数的最小值为2.‎ 综合①②可得，整数的最小值为2.‎ ‎20.(1) ‎ ‎(2) ，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）．‎ ‎（2）猜想，‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，，猜想成立；‎ ‎② 假设当时，猜想成立，即，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当时，猜想成立．‎ 由①②可知，对于任意的，都成立．‎ ‎21. （1）解：∵f′（x）=2x+2   设f（x）=x2+2x+c， ‎ 根据f（x）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；‎ ‎ （2）解：S= = ． ‎ ‎22.（1）（2）‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)由题意， ‎ ‎(2) ‎ ‎① 当时， ， 在上恒成立，即为减函数，所以， 万元 ‎②当时， ，当时，‎ 当时， ，即在上为增函数，在上为减函数，所以， 万元