高一数学教案：第20讲 期末备考复习（二） 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 期末备考复习（二）‎ 教学内容 ‎1. 熟练掌握对数函数的性质；‎ ‎2. 巩固等差等比数列的性质。‎ ‎（以提问的形式回顾，针对问题展开讲解，注意把控时间建议15分钟）‎ ‎1. 已知函数的图像过点（1，3），其反函数的，图像过点（2，0），则的表达式是 .【答案】‎ ‎2. 函数在区间上的最小值是______．【答案】‎ ‎3. 方程的解是_________.【答案】，‎ ‎4. 设数列等比数列，前n项和，则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎5. 已知数列中，成等差数列，且它们的和为15，成等比数列，且它们的积为27，对任意正整数n均有，则 . 【答案】13‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知函数 ‎（1）判断的单调性，说明理由.‎ ‎（2） 解方程.‎ 解 （1），所以，所以定义域是 在上单调增。‎ 证法一、：设，则 又∵，∴， ‎ ‎∴，即 ‎∴，在上单调增。‎ 证法二：∵ 在上都是增函数， ‎ 在上是增函数且 ‎ ‎∴在上也是增函数。 ‎ ‎（2）， ‎ ‎，即 ‎，解得（舍去）或，‎ ‎∴‎ 经检验，是方程的根。‎ 试一试：已知函数 ‎①求函数的定义域；②判断函数的奇偶性，并给出证明；‎ ‎③指出函数的单调性，并求出函数的值域 解答：（1）由得函数的定义域为。‎ ‎（2） 定义域为关于原点对称。‎ 是奇函数。‎ ‎（3）任取0，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 是奇函数，所以在是单调递减。‎ ‎。‎ 的值域为。‎ 例2. 将边长分别为1、2、3、4、…、、、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，.‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）写出、的值，并求数列的通项公式.‎ ‎（3）记.若（），且恒成立，求的取值范围.‎ ‎（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，……，第n个阴影部分图形的面积为.‎ 故 ‎ ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当为偶数时， ‎ ‎ 当为大于1的奇数时，‎ ‎ 故 ‎ ‎（3）由(2)知 ‎ ‎ 又恒成立恒成立 ‎ (ⅰ) 当时，恒成立，‎ 即恒成立，于是 ‎ ‎（ⅱ）当为偶数时，恒成立，‎ 即 恒成立，于是恒成立， ‎ ‎（ⅲ）当n为大于1的奇数时，恒成立 ‎ 即 恒成立，于是恒成立， ‎ 综上所述：‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 设函数，（为常数且）‎ ‎（1）若，求的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，解方程：.‎ ‎（1）由题设得，所以；‎ ‎（2）由（1）得（）‎ 于是方程或 经检验或都是原方程的根。‎ ‎2. 已知函数的图像关于直线对称，当时，函数（）的图像如图所示；‎ ‎（1）求常数、的值；‎ ‎（2）求函数在上的解析式；‎ ‎（3）求方程的解集。‎ ‎[解] （1）、；‎ ‎（2）当时，函数 当时，，‎ ‎， ‎ 综上 ‎ ‎（3）的解集为。‎ ‎3. 设且，函数．‎ ‎（1）求函数的反函数，并判断函数的单调性；‎ ‎（2）当定义域为时，值域为，且函数为上的 减函数，求的取值范围．‎ 解：（1）由，得的定义域为．易得，（）；‎ 因为在为增函数，在也为增函数，‎ ‎ 所以当时，在为减函数，在也为减函数．‎ ‎ 所以当时，在为增函数，在也为增函数．‎ ‎ （单调性用定义法证明也可）‎ ‎（2）由（1）可知，要使要使在是减函数，则；‎ 且要使在上有意义，必有或（舍），‎ 所以且，且当,在上为减函数．‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 即方程有两个大于3的相异实根，‎ ‎ 即方程有两个大于3的相异实根，‎ ‎ 令，则有，‎ 则．‎ ‎4. 已知数列的前项和为，且，‎ ‎(1)证明：是等比数列；‎ ‎(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.‎ 解：(1)由 ‎ 可得：，即。‎ 同时 ‎ 从而由可得：‎ 即：‎ 从而为等比数列，首项，公比为，通项公式为，从而 ‎（2）即，，，‎ 解得 ，从而。‎ ‎ ‎ 本节课主要知识： 对数函数图像与性质，数列通项与前n项和。‎