2017-2018学年云南省中央民大附中芒市国际学校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版） 17页

‎2017-2018学年云南省中央民大附中芒市国际学校高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“∀x∈R,ex>0”的否定是( )‎ A． ∀x∈R,ex≤0 B． ∃x∈R,ex≤0 C． ∃x∈R,ex>0 D． ∀x∈R,ex≠0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定，将量词与结论同时否定，即可得到答案 ‎【详解】‎ 命题的否定，将量词与结论同时否定 则命题“”的否定是“”‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定，将量词与结论同时否定，属于基础题。‎ ‎2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则P的值为(   )‎ A． -2 B． 2 C． -4 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得椭圆的右焦点坐标，由题意可得，即可求得结果 ‎【详解】‎ 由椭圆，‎ 解得 故椭圆的右焦点为 则抛物线的焦点为 则，解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是抛物线的简单性质，根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，根据抛物线的标准方程可确定出的值，属于基础题。‎ ‎3．已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A、B,若,则(    )‎ A． 11 B． 10 C． 9 D． 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的方程求出椭圆的长轴长，再由椭圆的定义结合求得结果 ‎【详解】‎ 如图，‎ 由椭圆可得：，则 又 且 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是根据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为，属于基础题。‎ ‎4．设 O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点,若,则点A的坐标是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点，设出的坐标，用坐标表示出，然后结合 得到关于的方程，解方程即可确定点的坐标 ‎【详解】‎ 设的坐标为 为抛物线的焦点，‎ ‎，‎ 解得，‎ 点的坐标为或 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于抛物线与向量的综合题目，需要熟练掌握抛物线的性质，设出点坐标，求出向量的点乘来计算结果，属于基础题。‎ ‎5．函数在处导数存在,若P:;q:是的极值点,则(    )‎ A． P是q的充分必要条件 B． P是q的充分条件,但不是的必要条件 C． P是q的必要条件,但不是q的充分条件 D． P既不是q的充分条件,也不是的必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在处导数存在，由是的极值点，反之不成立，即可判断出结论 ‎【详解】‎ 根据函数极值的定义可知，是函数的极值点，则一定成立 但当时，函数不一定取得极值，‎ 比如函数，导函数，当时，，但函数单调递增，没有极值 则是的必要条件，但不是的充分条件 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题及其关系以及导数与极值的关系，解题的关键是利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为的关系，属于基础题 ‎6．已知变量x与y满足关系式y=-0.1x+1,变量y与z负相关,则下列叙述正确的是(    )‎ A． x与y负相关、x与z负相关 B． x与y正相关、x与z正相关 C． x与y正相关、x与z负相关 D． x与y负相关、x与z正相关 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，分析当增大时，与的变化情况即可 ‎【详解】‎ 变量与满足关系式，一次项系数为，则与负相关 又与负相关，故增大时，减小，增大，则与正相关 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正相关和负相关的定义，根据相关系数的符号判断相关性，较为基础 ‎7．椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=(    )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程即可求出的值 ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为：‎ 椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍 ‎，解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，将椭圆方程化为标准方程，然后结合题意列出方程进行求解，较为基础 ‎8．设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率为(   )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出双曲线方程，得到的坐标，根据直线与渐近线垂直，得到其斜率的乘积为，然后求得和，的关系式，再根据双曲线方程，和的关系求得，的等式，即可求得双曲线的离心率 ‎【详解】‎ 设双曲线方程为 则 直线与渐近线垂直，‎ ‎，即 ‎，即 解得或（舍去）‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用两条直线垂直的判定得到斜率的乘积为，即，然后求出离心率的值 ‎9．设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点,若,则(   )‎ A． 1或5 B． 6 C． 7 D． 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程，渐近线的方程求出，由双曲线的定义求出 ‎【详解】‎ 由双曲线的方程，渐近线的方程可得：，解得 由双曲线的定义可得：‎ 解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质，结合双曲线的定义进行计算求出结果，较为简单，属于基础题 ‎10．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知几何体是两个相同的三棱锥的组合体，其直观图如图： 且三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱锥的高为；‎ ‎∴几何体的体积 故选C 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.‎ ‎11．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为变量与正相关，排除C、D，‎ 样本平均数，代入A符合，代入B不符合，‎ 故选A。‎ ‎12．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ，其判别式，解得或.‎ ‎【考点】导数与极值．‎ ‎【思路点晴】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．‎ 二、填空题 ‎13．函数在处的切线方程为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 因为，所以曲线在点处的斜率为，所以切线方程为，即.‎ ‎14．数列满足,则此数列的通项公式________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，找出已知和未知的联系，通过构造等比数列，利用其通项公式，得到结果 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，则 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意已知和未知的结合，找出相关关系，属于基础题。‎ ‎15．设x,y满足约束条件，则的最大值为_________‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求出最值，只需要求出直线过可行域内的点时，从而得到的最大值即可 ‎【详解】‎ 不等式组表示的平面区域如图所示：‎ ‎ ‎ 由可得点 当直线过点时，在轴上的截距最小，‎ 此时，取得最大值 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，在不同区域取得不同最值，只要按照线性规划的解题方法来求解即可 ‎16．直线L与抛物线相交于A、B两点且AB的中点为M（1、1），则L的方程为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出、两点坐标，然后运用点差法求出直线斜率，继而得到直线方程 ‎【详解】‎ 设、‎ 则 相减可得：‎ 有 中点为 故 的方程为：‎ 即 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，当遇到含有中点的题目时，可以采用点差法来求出直线斜率，继而可得直线方程 三、解答题 ‎17．已知曲线方程为,求:‎ ‎（1）点处的切线方程 ‎（2）过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后算出在点处的斜率然后求出切线方程 切点坐标为，求导后算出直线方程，将点代入求出切点坐标，从而计算出直线方程 ‎【详解】‎ ‎(1) .‎ 又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率,‎ 故所求切线的方程为,即.‎ ‎(2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为,‎ 由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为.‎ 又∵点在切线上,∴解得或.‎ ‎∴切点坐标为,.‎ 故所求切线方程为或,‎ 即或.‎ ‎【点睛】‎ 解题的思路是求出曲线解析式的导函数，将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而写出切线方程，要求学生掌握求导法则以及会根据一点坐标和斜率写出直线的方程。‎ ‎18．在锐角中,分别为角所对的边,且 ‎（1）求角C的大小;‎ ‎（2）若,且的面积为,求a+b的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)5.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为即可得，故（2）∵，∴再由余弦定理可得边c 试题解析：‎ 解：‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ ‎∵是锐角，∴，故.‎ ‎（2）∵，∴‎ 由余弦定理得 ‎∴‎ 点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长 ‎19．如下图,已知椭圆,分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点B.‎ ‎(1)若,求椭圆的离心率;‎ ‎(2)若椭圆的焦距为2,且,求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，则为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得椭圆的离心率 由，根据向量数量积的坐标运算，求出的坐标，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若,则为等腰直角三角形 所以有 即 所以,‎ ‎(2)由题知,,设 由,即 解得,‎ 代入,得 即,解得，‎ 所以椭圆方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，结合向量知识求出点坐标，代入椭圆方程即可算出答案，本题解题思路清晰，题目较为基础 ‎20．已知抛物线的焦点F,C上一点到焦点的距离为5.‎ ‎（1）求C的方程;‎ ‎（2）过F作直线l,交C于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 法一：利用已知条件列出方程组，求解即可 法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可 法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程 法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可 ‎【详解】‎ 法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知 解得或∵,‎ ‎∴∴的方程为. ‎ 法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得 ‎∴的方程为. ‎ ‎2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点 设两点的坐标分别为,则 ‎ 两式相减,整理得 ‎∵线段中点的纵坐标为 ‎∴直线的斜率 直线的方程为即 分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点 设直线的方程为由 消去,得设两点的坐标分别为,‎ ‎∵线段中点的纵坐标为∴解得 直线的方程为即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间;‎ ‎（2）求在区间上的最小值 ‎【答案】（1）的单调递减区间是;单调递增区间是.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，令，，所得的解区间即为函数的单调区间 根据中的结论，并对分类讨论，分别得到在不同取值区间内的最小值 ‎【详解】‎ ‎(1).令,得.当变化时,与的变化情况如下:‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎- ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎             ‎ ‎↘ ‎ ‎             ‎ ‎↗ ‎ 所以的单调递减区间是;单调递增区间是.‎ ‎(2)当,即时,函数在上单调递增,所以在区间上的最小值为;‎ 当,即,由1知在上单调递减,在上单调递增,所以在区间上的最小值为.‎ 当,即时,函数在上单调递减,所以在区间上的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的求导并判断函数单调性与极值的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，尤其含有参量时的导数需要进行分类讨论