2020届高考理科数学二轮专题复习课件：解题技巧 小题攻关1-5 35页

第 5 课时 　 数学文化 考向一　数列中的数学文化 ( 保分题型考点 ) 【题组通关】 1.(2019· 合肥模拟 ) 中国古代数学名著 《 九章算术 》 中有这样一个问题 : 今有牛、马、羊食人苗 , 苗主责之 粟五斗 . 羊主曰 :“ 我羊食半马 .” 马主曰 :“ 我马食半 牛 .” 今欲衰偿之 , 问各出几何 ? 此问题的译文是 : 今有 牛、马、羊吃了别人的禾苗 , 禾苗主人要求赔偿 5 斗粟 . 羊主人说 :“ 我的羊所吃的禾苗只有马的一半 .” 马主 人说 :“ 我的马所吃的禾苗只有牛的一半 .” 打算按此 比率偿还 , 他们各应偿还多少 ? 已知牛、马、羊的主人 各应偿还粟 a 升 ,b 升 ,c 升 ,1 斗为 10 升 , 则下列判断正确 的是 ( 　　 ) A.a,b,c 成公比为 2 的等比数列 , 且 a= B.a,b,c 成公比为 2 的等比数列 , 且 c= C.a,b,c 成公比为 的等比数列 , 且 a= D.a,b,c 成公比为 的等比数列 , 且 c= 【解析】 选 D. 由题意可得 ,a,b,c 成公比为 的等比数 列 ,b= a,c= b, 三者之和为 50 升 , 故 4c+2c+c=50, 解得 c= . 2.(2019· 江西七校联考 )《 九章算术 》 之后 , 人们学会 了用等差数列的知识来解决问题 ,《 张丘建算经 》 卷上 第 22 题为 :“ 今有女善织 , 日益功疾 ( 注 : 从第 2 天开始 , 每天比前一天多织相同量的布 ), 第一天织 5 尺布 , 现一 月 ( 按 30 天计 ) 共织 390 尺布” , 则从第 2 天起每天比 前一天多织 ________ 尺布 . ( 　　 )  【解析】 选 D. 每天织布数依次构成一个等差数列 {a n }, 其中 a 1 =5, 设该等差数列的公差为 d, 则一月织布总数为 S 30 =30×5+ d=150+435d=390, 解得 d= 3. 在 《 九章算术 》 中记载着一道关于“持金出关”的 题目 , 大意是 :“ 在古代出关要交关税 . 一天 , 某人拿钱 若干出关 , 第 1 关交所拿钱数的 , 第 2 关交所剩钱数 的 , 第 3 关交所剩钱数的 ,……” ① 这个人在第 6 关交税的钱数是出第 1 关前钱数的 ② 这个人在第 6 关交税的钱数是出第 1 关前钱数的 ; ③ 这个人出了第 8 关后剩余的钱数是出第 1 关前钱数 的 ; ④ 这个人出了第 8 关后剩余的钱数是出第 1 关前钱数 的 . 其中说法正确的是 ( 　　 ) A.①③ 　　 B.②③ 　　 C.①④ 　　 D.②④ 【解析】 选 D. 设这个人出关前的钱数为 a, 第 1 关交税 a, 即 第 2 关交税 即 第 3 关 交税 即 …… 由此可知第 6 关交税 故 ① 错误 ,② 正确 ; 这个人过了第 8 关后 剩余的钱数为 = a, 故 ③ 错误 ,④ 正确 . 【拓展提升】 1. 我国古代数学强调“经世济用” , 注重算理算法 , 其中很多问题可转化为等差数列、等比数列问题 . 2. 解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题 , 建立数列模型 , 进行数列的基本计算 , 利用方程思想求解 . 考向二　立体几何中的数学文化 ( 保分题型考点 ) 【题组 通关 】 1. 祖暅原理 :“ 幂势既同 , 则积不容异” .“ 幂”是截面积 ,“ 势”是几何体的高 , 意思是两个等高的几何体 , 若在等高处截面的面积恒相等 , 则体积相等 . 已知某不规则几何体与如下三视图所对应的几何体满足“幂势同” , 则该不规则几何体的体积为 ( 　　 ) A.4- B.8- C.8-π D.8-2π 【解析】 选 C. 由祖 暅原理可知 , 该不规则几何体的体积 与已知三视图的几何体体积相等 . 根据题设所给的三视 图 , 可知题中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆 柱 , 正方体的体积为 2 3 =8, 半圆柱的体积为 ×(π× 1 2 )×2=π, 因此该不规则几何体的体积为 8-π. 2.《 九章算术 》 中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” , 已知某“堑堵”的三视图如图所示 , 俯视图中虚线平分矩形的面积 , 则该“堑堵”的外接球的表面积为 ( 　　 ) A.2π B.8π C. π D.6+4 π 【解析】 选 B. 根据几何体的三视图 , 得到 : 该几何体是一个倒放的底面为直角三角形 , 高为 2 的直三棱柱 . 故直角三角形的直角边为 . 所以 : 该几何体的外接球直径为 所以 :R= , 故 S=4πR 2 =8π. 3.(2019· 新乡模拟 )《 九章算术 》 是我国古代内容极 为丰富的数学名著 , 书中有如下问题 :“ 今有刍甍 , 下广 三丈 , 袤四丈 ; 上袤二丈 , 无广 ; 高一丈 , 问 : 积几何 ?” 其 意思为 :“ 今有底面为矩形的屋脊状的楔体 , 下底面宽 3 丈 , 长 4 丈 ; 上棱长 2 丈 , 高一丈 . 问它的体积是多少 ?” 已知 1 丈为 10 尺 , 现将该楔体的三视图给出如图所示 , 其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈 , 则该楔体的体积为 ( 　　 ) A.5 000 立方尺 B.5 500 立方尺 C.6 000 立方尺 D.6 500 立方尺 【解析】 选 A. 该楔形的直观图如图中的几何体 ABCDEF, 取 AB 的中点 G,CD 的中点 H, 连 FG,GH,HF, 则该几何体的体 积为四棱锥 F -GBCH 与三棱柱 ADE -GHF 的体积之和 , 而 三棱柱 ADE -GHF 可通过割补法得到一个高为 EF, 底面积 为 S= ×3×1= 平方丈的一个直棱柱 , 故该楔形的体 积 V= ×2+ ×2×3×1=5 立方丈 =5 000 立方尺 . 【拓展提升】 1. 以祖暅原理 ,《 九章算术 》 为背景 , 相应考查圆锥的体积公式、三视图及其体积计算 . 既检测了考生的基础知识和基本技能 , 又展示了中华民族的优秀传统文化 . 2. 三题很好地诠释了考试大纲中对数学文化内容的要求 , 加强对中国优秀传统文化的考查 , 引导考生提高人文素养、传承民族精神 , 树立民族自信心和自豪感 , 试题的价值远远超出本身 . 考向三　概率中的数学文化 ( 保分题型考点 ) 【题组通关】 1. 欧阳修在 《 卖油翁 》 中写道 :“( 翁 ) 乃取一葫芦置于 地 , 以钱覆其口 , 徐以杓酌油沥之 , 自钱孔入 , 而钱不 湿” , 可见卖油翁的技艺之高超 . 若铜钱直径 4 厘米 , 中间有边长为 1 厘米的正方形小孔 , 随机向铜钱上滴一滴油 ( 油滴大小忽略不计 ), 则油恰好落入孔中的概率是 ( 　　 ) 【解析】 选 D. 易知铜钱的面积 S=π×2 2 =4π, 铜钱小孔 的面积 S 0 =1. 根据几何概型 , 所求概率 2. 我国古代数学名著 《 九章算术 》 有“米谷粒分”题 : 粮仓开仓收粮 , 有人送来米 1 534 石 , 验得米内夹谷 , 抽样取米一把 , 数得 254 粒内夹谷 28 粒 , 则这批米内夹谷约为 ( 　　 ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365 石 【解析】 选 B. 由分层抽样的含义 , 该批米内夹谷约为 ×1 534≈169( 石 ). 3. 一种电子计时器显示时间的方式如图所示 , 每一个数 字都在固定的全等矩形“显示池”中显示 , 且每个数字 都由若干个全等的深色区域“ ”组成 . 已知在一个 显示数字 8 的显示池中随机取一点 A, 点 A 落在深色区域 内的概率为 , 若在一个显示数字 0 的显示池中随机取 一点 B, 则点 B 落在深色区域内的概率为 ( 　　 ) 【解析】 选 C. 由于数字“ 8” 是由 7 个深色区域组成 , 由 P(A)= 得整个矩形显示池的面积为 14 个深色区域的 面积 , 而数字“ 0” 是由 6 个深色区域组成 , 则 P(B)= 【拓展提升】 在概率中渗透数学文化 , 往往会让数学的人文性和思想价值充分体现 , 同时能够对学生形成积极的引导 , 进而提升他们的数学文化素养以及逻辑推理的核心素养 .