数学文卷·2018届江西省南昌三中高二下学期期中考试（2017-04） 11页

南昌三中2016-2017学年度下学期期中考试 高二数学（文）试卷 命题：张金生 审题：徐哓东 一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）‎ A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 ‎2．校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是(　　)‎ ‎ ‎ ‎3．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中,也能表示点M的极坐标的是(　　)‎ A.　　　 B. C. D.‎ ‎4．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。‎ A. 和都垂直于同一平面 ‎ B. 内不共线的三点到的距离相等 C. 是平面内的直线且 ‎ D. 是两条异面直线且 ‎5．若＜＜0，则下列结论不正确的是 ( 　)‎ ‎ A．a2＜b2　　 B．ab＜b2 C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|‎ ‎6．函数在上不单调，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7．方程表示的曲线是（ ）‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 ‎ ‎ ‎8‎ ‎．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)‎ A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45‎ ‎9.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎10．如右上图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）‎ A． B．‎ C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线所成的角为定值 ‎11．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数（）恰有两个极值点，（其中），且，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分) [来源:学科网ZXXK]‎ ‎13．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，求实数k的取值范围_________；‎ ‎14．动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .‎ ‎15．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：‎ 月平均气温x(℃)‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y(件)‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎55‎ 由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为‎6℃‎，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．‎ ‎16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎17. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.‎ ‎18.（本小题满分12分）为了解七班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球X,‎ 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2＝ ‎19. （本小题满分12分）如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于， 设.（1）证明：； （2）当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）如图,四棱锥的底面为菱形,,底面,,为的中点.(1)求证:平面;(2) 在侧棱上是否存在一点 ‎,满足平面,若存在,求的长;若不存在,说明理由.（3）求三棱锥的体积;‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；(II)若当时，恒成立，求的取值范围.‎ O x y ‎22.(本小题满分12分）达∙芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆构成，上的栓子可沿滑槽上下往复滑动，栓子可沿滑槽左右往复滑动，处的笔尖随、的滑动画出的图形即为椭圆.已知，，以十字形滑槽的交点为原点，建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线 交椭圆于、两点，且，试问是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.‎ 南昌三中2016-2017学年度下学期期中考试 高二数学（文）答案 一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1、下列图形中不一定是平面图形的是（B ）‎ A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 ‎2．校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是(　A　)‎ ‎ ‎ ‎3．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中,也能表示点M的极坐标的是(　　)‎ A.　　　 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎4．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ D ）。‎ A. 和都垂直于同一平面 B. 内不共线的三点到的距离相等 C. 是平面内的直线且 ‎ D. 是两条异面直线且 ‎5．若＜＜0，则下列结论不正确的是 ( D　　)‎ ‎ A．a2＜b2　　 B．ab＜b2 C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|‎ ‎6．函数在上不单调，则的取值范围是（ D ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7．方程表示的曲线是（ ）‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 ‎【答案】B. 【解析】两个等式两边分别平方，再相减，得即有，又，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.‎ ‎ ‎ ‎8．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)‎ A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45‎ 答案　D解析　由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.‎ ‎9.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ 解：B.‎ ‎10．如右上图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）‎ A． B．‎ C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线所成的角为定值 ‎11．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎12.已知函数（）恰有两个极值点，（其中），且，则的取值范围是(C)‎ A． A. B. C. D.‎ 解：令，则方程有两不等实根，即直线与函数的图像有两个交点，易得其中一个交点为，而，，‎ 当直线与函数的图像相切于点时，，即 故由图像知，的取值范围是，故选C.‎ 二.填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分) [来源:学科网ZXXK]‎ ‎13．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，求实数k的取值范围_________；‎ ‎14．动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 x2=8y .‎ ‎15．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：‎ 月平均气温x(℃)‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y(件)‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎55‎ 由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为‎6℃‎，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．46‎ ‎16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．‎ 解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎17. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，所以的斜率为或.‎ ‎18.（本小题满分12分）为了解七班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球X,‎ 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2＝ 解：(1)‎ 喜爱打篮球X,‎ 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎ （5分）‎ (2) 由列联表得 所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关（12分）‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于， 设.（1）证明：； （2）当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积 ‎19. 【解析】：（I）∵平面平面，平面平面，平面平面，，，又． (5分)‎ ‎（Ⅱ）点是中点，理由如下：‎ 当时，分别是的中点，连接和, 因为 是正三棱柱，所以, (6分)‎ 取中点，连接在等腰梯形中，，‎ 连接中，,‎ 平面ABF，即, (9分)‎ 所以点是在平面内的正投影。‎ ‎ (12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）如图,四棱锥的底面为菱形,,底面,,为的中点.(1)求证:平面;(2) 在侧棱上是否存在一点,满足平面,若存在,求的长;若不存在,说明理由.（3）求三棱锥的体积;‎ ‎ (1)证明:设、相交于点,连结, 底面为菱形,为的中点, ‎ 又为的中点, 又平面,平面, ‎ 平面 ‎ ‎(Ⅱ) 解:因为底面,所以, 又底面为菱形,, ,平面,平面, ‎ 平面, 在内,易求,, ‎ 在平面内,作,垂足为, 设,则有,解得 连结,,,,平面, 平面,平面. 所以满足条件的点存在,此时的长为 ‎ ‎（3）因为底面为菱形,,所以是边长为正三角形, ‎ 又因为底面,所以为三棱锥的高, ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求曲线 在处的切线方程；(II)若当时，恒成立，求的取值范围.‎ 试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于令，则 ‎，‎ ‎（i）当，时，，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是 ‎22.(本小题满分12分）达∙芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆构成，上的栓子可沿滑槽上下往复滑动，栓子可沿滑槽左右往复滑动，处的笔尖随、的滑动画出的图形即为椭圆.已知，，以十字形滑槽的交点为原点，建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线 交椭圆于、两点，且，试问是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.‎ O x y 解：(Ⅰ)设，，，则由已知可得：‎ 为的中点，，即……2分 又，，，即椭圆的方程为………5分 ‎(Ⅱ)①当直线的斜率为0时，，，…6分 ‎②当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，，‎ 联立方程，消去得，则，…8分 联立，消去得，，‎ 由椭圆的对称性可得………10分 综上所述为定值……12分