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- 2021-06-25 发布
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模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，＝4，则双曲线的离心率e＝＝＝.
2．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
【答案】A
【解析】∵m>n>0，
∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
4．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A．2 B.
C．4 D．2
【答案】D
【解析】 根据已知△PF1F2是直角三角形，向量＋＝2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.·＝0，则|＋|＝2||＝||＝2.
5．设双曲线－＝1(00，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
A．4 B．7
C．6 D．5
【答案】B
【解析】设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，又＝
，∴c＝5，a＝4，b＝3，得a＋b＝7.
7．已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，O为AB的中点，动点P满足－＝3，则的最大值是______．
【答案】
【解析】由双曲线的定义，可知动点P的轨迹为以A、B两点为焦点，3为2a的双曲线靠近点B的一支，显然的最小值为a，故的最大值为.
【失分点分析】在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.
8．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
【答案】－2
【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2面积．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2
＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
10．点P是以F1，F2为焦点的双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上的一点，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且·＝－， 2＋＝0，求双曲线E的方程．
[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）
11．（5分）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】D
12.（10分）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，
求证：为定值.
【解】：（1）设双曲线方程为
由题知
双曲线方程为：
（2）设直线的方程为代入
整理得
设的中点
则代入得：
AB的垂直平分线方程为
