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- 2021-06-25 发布
2016-2017学年山东深泉学院高二（下）期中数学试卷（理科）
满分：150分
时间：120分钟
姓名_________ 学号_______ 班级
一、选择题：（本大题共有10个小题每题5分共50分）
1．下列语句中是命题的是( )
A．|x＋a| B．0∈N
C．集合与简易逻辑 D．真子集
2．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“非”
3．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p，q只有一个是真命题
D．命题，p，q至少有一个是真命题
4．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么 ( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
5．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
6．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 ( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)
7．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，a是常数)；命题乙：点
P的轨迹是椭圆，甲是乙的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线和一条射线
C．椭圆 D．抛物线
9．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
10．已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，AB＝1，则PC和平面ABC所成的角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
12．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)则双曲线的方程是________．
13．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
14．设函数在处可导，则等于________．
15．过点P(0,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有________条．
三、解答题：（本大题共6小题，前5题每小题12分，最后一题15分，共75分）
16．P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．
17．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离．
18．已知：p：|3x－4|>2，q：>0，求¬p及¬q对应的x值的集合．
19．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．
20．求：(1)y＝ex在点A(0,1)处的切线方程；
(2)y＝lnx在点A(1,0)处的切线方程．
21．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
2016-2017学年山东深泉学院高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有10个小题每题5分共50分）
1．[答案] B．[解析] 由命题定义知选B.
2．[答案] B. [解析] x＝±2是指x＝2或x＝－2.
3．[答案]C. [解析] “p∨q”为真，则至少p、q有一真，
p∧q为假，则至少p、q有一假，
∴p、q一真一假，故选C.
4．[答案]C. [解析] 将P(2,1)代入圆M和直线l的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
5．[答案]A.[解析] 两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
6.[答案]A.[解析] 由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.
7．[答案] B[解析] 若点P轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，点P的轨迹可能是线段，或不存在．
8．[答案] B
[解析] 如图，
设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得
y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．
9．[答案] A
[解析] ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b垂直．
10．[答案] D
[解析] 作PO⊥平面ABC于O，由已知O为外心，且AB⊥OC，
∴ ∠PCO为所求，∴OC＝×＝，
PC＝，∴cos∠PCO＝，
∴∠PCO＝30°.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．[答案] [－3,0]
[解析] 因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0.
故－3≤a≤0.
12．[答案] x2－＝1
[解析] 设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ>0)，即－＝1.
∵a2＋b2＝c2，
∴＋λ＝10，解得λ＝9.
∴双曲线方程为x2－＝1.
13．[答案]
[解析] 过点A作平面β的垂线，垂足为C，在平面β内过C作l的垂线．垂足为D，连结AD，由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α－l－β的平面角，为60°，又由已知，∠ABD＝30°，连结CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2，则AC＝，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝＝.
14． [答案]
根据导数的定义，=-
=
15．[答案] 3
[解析] 作出抛物线y2＝2x的图形如图，可以看出点P在y轴上，由图中看出过点P有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y轴(斜率不存在的切线)，过点P与x轴平行的直线以及过点P与抛物线相切的斜率存在一条直线．
三、解答题：（本大题共6小题，前5题每小题12分，最后一题15分，共75分）
16．[解析] 解法一：易知引弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由消去y得
(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝.
又∵x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－.故弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得
＋＝0.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋(y1－y2)＝0，
∴k＝＝－.
∴此弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
17．[解析]
∵E是PA的中点，∴E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离的一半．
∵PC⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD，
故过A在平面ABCD内作AH⊥BC，交BC于H，得AH⊥平面PBC，
∴AH为A到平面PBC的距离．
又AH＝AB·sin60°＝a，
则E到平面PBC的距离为 a.
18．[解析] 由p：|3x－4|>2，得p：x>2或x<，
∴¬p：≤x≤2.
即¬p：{x|≤x≤2}．
由q：>0，得q：x>2或x<－1，
∴¬q：－1≤x≤2，即¬q：{x|－1≤x≤2}.
19．[解析] ∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，
∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1①.
又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，
∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a②.
解得①②得a2＝，b2＝15，∴双曲线方程为－＝1.
20．[解析] (1)∵(ex)′＝ex，
∴y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
(2)∵(lnx)′＝，
∴y＝lnx在点A(1,0)处的切线的斜率为1.
∴切线方程为y＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
21． [解析] ∵y＝ax2＋bx＋c过(1,1)点，
∴a＋b＋c＝1①
∵y′＝2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b，
∴4a＋b＝1②
又曲线过(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1③
解由①②③组成的方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.
【来源：全,品…中&高*考+网】