【解析】2019届北京市第八十中学高三10月月考数学（理）试题Word版含解析 11页

‎2019届北京市第八十中学 高三10月月考数学（理）试题 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．已知集合A＝｛－1，0，1，2｝，，则A∩B＝‎ A． ｛－1，0，1｝ B． ｛0，1，2｝ C． ｛0，1｝ D． ｛1，2｝‎ ‎2．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围 A． B． C． D． ‎ ‎3．如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是 A． B． C． D． ‎ ‎4．不等式组的解集记为，若则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．若是常数，则“且”是“对任意，有”的 ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 必要条件 ‎6．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金 A． 多1斤 B． 少1斤 C． 多斤 D． 少斤 ‎7．设函数的零点为，的零点为，若，则可以是 A． B． C． D． ‎ ‎8．在实数集R中定义一种运算“*”，，为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意，；‎ ‎（2）对任意，.‎ 关于函数的性质，有如下说法：‎ ‎①函数的最小值为3；‎ ‎②函数为偶函数；‎ ‎③函数的单调递增区间为.其中正确说法的序号为 A． ① B． ①② C． ①②③ D． ②③‎ 二、填空题 ‎9．已知为数列的前n项和，且，则＝___________；数列的通项公式为____‎ ‎10．已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为，那么＝___________.‎ ‎11．已知向量与不共线，且.若A，B，D三点共线，则___________.‎ ‎12．函数 ，若对一切恒成立，则实数a的取值范围是___________.‎ ‎13．已知非零实数满足等式，则＝___________.‎ ‎14．已知函数 ‎（1）当a＝1时，函数的值域是___________.‎ ‎（2）若存在实数b，使函数有两个零点，则实数a的取值范围是___________.‎ 三、解答题 ‎15．已知等差数列满足，，且的前n项和记为.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）令，求数列的前n项和.‎ ‎16．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴方程；‎ ‎（2）当时，求函数的值域.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若b＝4，求的最小值.‎ ‎18．已知函数， .‎ ‎（1）求函数在上的最值；‎ ‎（2）求函数的极值点.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎20．若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数M，对任意，，则称数列为“T数列”.‎ ‎（1）若数列的通项为，证明：数列为“T数列”；‎ ‎（2）若数列的各项均为正整数，且数列为“T数列”，证明：对任意，；‎ ‎（3）若数列的各项均为正整数，且数列为“T数列”，证明：存在，数列为等差数列.‎ ‎2019届北京市第八十中学 高三10月月考数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合B,再求A∩B.‎ ‎【详解】‎ 由题得B={x|0≤x<2},所以A∩B={0,1}.故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和集合的运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由程序框图得出分段函数，根据函数的值域，求出实数x的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可得分段函数：y=，‎ ‎∴令2x∈[，1]，则x∈[﹣2，0]，满足题意；‎ ‎∴输入的实数x的取值范围是[﹣2，0]．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图和分段函数的值域问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线OA的倾斜角，再求直线OB的倾斜角，即得点B的坐标和的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设直线OA的倾斜角为 因为，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的坐标，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．A ‎【解析】‎ 试题分析：不等式组表示的区域如图中阴影部分．由图分析可知A正确．‎ 考点：二元一次不等式组表示平面区域．‎ ‎5．A ‎【解析】充分性：若“且”，则“对任意，有”成立；‎ 必要性：若“对任意，有”，则“或且”；‎ 所以是充分不必要条件，故选A。‎ ‎6．C ‎【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ，‎ 故选C ‎7．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到 答案．‎ ‎【详解】‎ 选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或﹣，选项D：x1=；‎ ‎∵g（0）=1﹣2＜0， g（）=﹣2＜0， g（）=2+1﹣2＞0，g（1）=4+2﹣2＞0， ‎ 则由零点定理和函数的图像得x2∈（，），‎ 所以选项A：x1=1，不满足；‎ 选项B：x1=0，不满足；‎ 选项C：x1=或﹣，不满足；‎ 选项D：x1=，满足.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似值，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力．(2) 零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根.‎ ‎8．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 性质（2）可由性质（1）化简得，a*b=ab+a+b．则f（x）=1+ex+，由基本不等式，即可判 断①；由奇偶性的定义，求出f（﹣x），即可判断②；可求出f（x）的导数，令导数不小于 ‎0，解出即可判断③．‎ ‎【详解】‎ 由于对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0），‎ 则由对任意a∈R，a*0=a，可得a*b=ab+a+b．‎ 则有f（x）=（ex）•=ex•+ex+=1+ex+‎ 对于①，由于定义域为R，则ex＞0，1+ex+≥1+2=3，‎ 当且仅当ex=，即有x=0，f（x）取最小值3，故①对；‎ 对于②，由于定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=1+e﹣x+=1+ex+=f（x），‎ 则f（x）为偶函数，故②对；‎ 对于③，f′（x）=ex﹣e﹣x，令f′（x）≥0，则x≥0，即f（x）的单调递增区间为[0，+∞），故③错．‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题是一个新定义运算型问题，主要考查了基本不等式求函数的最值、奇偶性、单调性等有 关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．‎ ‎9．3an=.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由log2（Sn+1）=n+1，得，当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．‎ ‎【详解】‎ 由log2（Sn+1）=n+1，得，当n=1时，a1=S1=3；‎ 当n≥2时，，‎ 所以数列{an}的通项公式为an=．‎ 故答案为：3，an=.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查对数的运算和项和公式求数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.‎ ‎10．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2的值．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=sin（x+）（x∈[0，]）的图象，‎ 可看作函数y=sinx的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，‎ ‎∴x1+x2=2（﹣）=，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数对称性的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)利用对称性是解答本题的关键.‎ ‎11．1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵A，B，D三点共线，∴存在实数k使得=k，‎ ‎∴=k（+）=k+k，向量与不共线．‎ ‎∴1=kn，m=k，‎ 解得mn=1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力．‎ ‎12．a=1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先整理得到，再利用数形结合和切线分析得到a的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 表示过定点（1,0）的一条直线，g(x)=lnx表示的是对数函数的曲线，‎ 即直线在x>0时，总是在对数函数的图像的上方，‎ 由题得所以g(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1.‎ 当a=1时，直线在x>0时，总是在对数函数的图像的上方，‎ 当a≠1时，不满足题意，‎ 故答案为：a=1‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查不等式的恒成立问题，考查对数函数的图像和性质，考查曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是整理得到lnx≤a(x-1)，其二是数形结合分析得到a的取值范围.‎ ‎13．±‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式可化简为sin2πθ=2θ+，由|2θ|+||≥2=1可知sin2πθ=±1故可求得θ．‎ ‎【详解】‎ ‎16θ+=16sinπθcosπθ ‎⇒16θ+=8sin2πθ ‎⇒sin2πθ=2θ+‎ ‎⇒|2θ|+||≥2=1‎ ‎⇒sin2πθ=±1‎ ‎⇒θ=±．‎ 故答案为：±．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用，三角函数的基本性质和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．2＜a＜4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每一段的值域，再综合得到函数的值域.(2) 由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得 f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．‎ ‎【详解】‎ 当时，的值域为,‎ 当x≥1时，的值域为，所以函数f(x)的值域为.‎ ‎(2) ∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点 ‎∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，‎ 由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，‎ 要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，‎ 即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，‎ 可得2＜a＜4．‎ 故答案为：；2＜a＜4．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查分段函数的值域和零点问题，考查指数函数和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）处理零点问题常用的策略有方程法、图像法和方程+图像法.‎ ‎15．(1) ， Sn=n2+2n;(2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，‎ 再利用通项公式和前n项和公式即可得出．（2）由（1）知an=2n+1，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3=7，a5+a7=26，‎ ‎∴，解得a1=3，d=2，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；‎ Sn==n2+2n．‎ ‎（2）由（1）知an=2n+1，‎ ‎∴bn====，‎ ‎∴Tn===，‎ 即数列{bn}的前n项和Tn=．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方 法．(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无 理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎16．(1) π,;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据两角和与差的正余弦公式进行化简，根据T=可求得最小正周期，再由正弦函 数的对称性可求得对称轴方程．（2）利用不等式的性质和三角函数的图像和性质逐步求出函 数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴周期T==π，‎ 由 ‎∴函数图象的对称轴方程为．‎ ‎(2),‎ 所以函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.‎ ‎17．（1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出sinB=，，再求.(2)先利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，再求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为 ,，所以sinB=.‎ 因为sinA= ,所以,.所以C是锐角.‎ 所以.‎ ‎(2).‎ 由余弦定理得 ‎ （当且仅当a=c时取等）‎ 所以的最小值为-5.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查同角的平方关系和和角的余弦公式，考查余弦定理，考查平面向量的数量积和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出A和B的隐含范围，否则容易求出双解.‎ ‎18．（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得 ，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.‎ 试题解析：（1）依题意， ,令，解得.因为， ， ，且，故函数在上的最大值为，最小值为.‎ ‎（2）依题意， ， ，当时，令，则.因为，所以 ，其中， .因为，所以， ，所以当时， ，当时， ，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.‎ ‎19．(1) ex﹣4y+e=0;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根 据点的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设，求出函 数的导数，通过讨论函数的单调性，结合x的范围证明即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（1）=， ∵f（1）=，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex﹣4y+e=0；‎ ‎（2）设，则， ‎ x∈（1，+∞）⇒F''（x）＞0⇒F'（x）在（1，+∞）上为增函数； ‎ 又因，在（1，+∞）上为增函数； ‎ 在（1，+∞）都成立． ‎ 设，‎ 由于△=32（2﹣e）＜0， ‎ 则在（1，+∞）上为增函数，‎ 又G（1）=0，若x＞1时，则． ‎ 综上：．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键有两点，其一是构造函数，并证明在（1，+∞）都成立，其二是构造函数，并证明.‎ ‎20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列{an}的通项求得an+1，an+2，作差证得对任意n∈N*，，结合数列{an}‎ 为递减数列得对任意n∈N*，an≤a1=6，则结论得证；（2）假设存在正整数k，使得ak＞ak+1，‎ 由数列{an}的各项均为正整数，可得ak≥ak+1+1．然后依次推导，得到数列中有负数项，与 已知矛盾；（3）由数列{an}为“T数列”，说明存在常数M，对任意n∈N*，an≤M．由（Ⅱ）‎ 可知，对任意n∈N*，an≤an+1，则a1≤a2≤a3≤…≤an≤an+1≤…．然后分an=an+1和若an＜an+1‎ 讨论，最后说明a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1，…，中最多有M个大于或等于1，否则 与an≤M矛盾，则结论得到证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：由，可得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴对任意n∈N*，．‎ 又数列{an}为递减数列，‎ ‎∴对任意n∈N*，an≤a1=6．‎ ‎∴数列{an}为“T数列”；‎ ‎（Ⅱ）证明：假设存在正整数k，使得ak＞ak+1．‎ 由数列{an}的各项均为正整数，可得ak≥ak+1+1．‎ 由，可得ak+2≤2ak+1﹣ak≤2（ak﹣1）﹣ak=ak﹣2．‎ 且ak+2≤2ak+1﹣ak＜2ak+1﹣ak+1=ak+1．‎ 同理ak+3＜ak+1﹣2≤ak﹣3，‎ 依此类推，可得对任意n∈N*，有ak+n≤ak﹣n．‎ 因为ak为正整数，设ak=m，则m∈N*，‎ 在ak+n≤ak﹣n中，设n=m，则ak+n≤0．‎ 与数列{an}的各项均为正整数矛盾．‎ ‎∴对任意n∈N*，an≤an+1；‎ ‎（Ⅲ）∵数列{an}为“T数列”，‎ ‎∴存在常数M，对任意n∈N*，an≤M．‎ 设M∈N*，‎ 由（Ⅱ）可知，对任意n∈N*，an≤an+1，‎ 则a1≤a2≤a3≤…≤an≤an+1≤…．‎ 若an=an+1，则an+1﹣an=0；‎ 若an＜an+1，则an+1﹣an≥1．‎ 而n≥2时，有an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）．‎ ‎∴a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1，…，中最多有M个大于或等于1，否则与an≤M矛盾．‎ ‎∴存在n0∈N*，对任意的n＞n0，有an﹣an﹣1=0．‎ ‎∴对任意n∈N*，．‎ ‎∴存在 n0∈N*，数列为等差数列．‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义题，考查了数列与不等式的综合，解题过程体现了反证法证题思想，关键是对 ‎“T数列”概念的理解，属有一定难度题目． ‎