2017-2018学年江西省抚州市临川第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版 16页

江西省抚州市临川第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，则 ‎ 故选D ‎2．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题 B. 命题“若，则”的逆命题 C. 命题“若，则”的否命题 D. 命题“若，则”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】对于A：命题“若，则”的否命题是： 若 ，则 ，是假命题； 对于B：命题“若，则”的逆命题：若 ，则 ，是真命题；‎ 对于C：命题“若，则”的否命题若 ，则 ，是假命题；‎ 对于D：命题“若，则”的逆否命题是假命题，故其逆否命题是假命题； 故选B．‎ ‎3．函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】∵当 时， 是函数 的一个零点； 故当 时， 恒成立；即 恒成立，故 故选C．‎ ‎4．下列说法中不正确的是（ ）‎ A. “为真”是“为真”的必要不充分条件 B. 存在无数个，使得等式成立 C. 命题“在中，若,则”的逆否命题是真命题 D. 若命题，使得，则，都有 ‎【答案】A ‎【解析】（A）“ ”为真，则 同时为真，所以“ ”为真，反之则不成立， 故“”为真是“”为真的充分不必要条件．故A错误 ‎（B） ．可得 ，所以只要β=kπ， 任意，或者任意．故B正确． （C）“在 中，若 ，则 ”为真命题，则其逆否命题为真命题．故C正确． （D）命题 使得 ，则 均有 正确；‎ 故选A ‎5．在空间直角坐标系中,已知.若 分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据点在面上的投影，D,B在xoy面上投影分别为（1,1,0） ，（2,，2，0），所以投影三角形面积，在面yoz面上的投影分别为（,， ），（），投影梯形面积，在面xoz面上的投影分别为， ，投影梯形的面积，故，选C.‎ ‎6．函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 即函数的值域为； 故选A．‎ ‎7．若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵当 时，函数 |始终满足 因此，必有 先画出函数 的图象：黑颜色的图象． 而函数 ，其图象如红颜色的图象． 故选B．‎ ‎8．在中，角的对边分别为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 中， ，故由正弦定理可得 ． 再由余弦定理可得 ， ‎ 故选C．‎ ‎9．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图： 四棱锥的一个侧面 与底面 垂直，过 作 ，垂足为， 底面 底面为边长为2的正方形， ∴几何体的体积 ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．‎ ‎10．能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等 的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，‎ 下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为椭圆是关于原点的中心对称图形，所以函数要平分椭圆的周长和面积，必须是中心对称图形，因此函数必为奇函数，选项中只有C选项是奇函数，故选C.‎ ‎11．已知椭圆Γ： 的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ‎ ‎ ，设 ‎ ‎ 设直线 方程为 ‎ 代入①中消去 ，可得 ，由可得 ‎ 解得 ．故选D ‎12．已知函数若，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，由二次函数对称轴方程为，又且知， ，且，化简得： ‎ ‎ 则的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），设得，‎ 平移，当直线和圆在第三象限相切时，截距最小，此时最小，此时圆心到直线的距离，‎ 即，得 或 （舍），所以最小值 ‎ ‎ ‎【点评】本题考查带绝对值的函数，作出函数f（x）结合已知求得，利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．渗透化归思想与数形结合思想，综合性较强，有一定的难度．‎ 二、填空题 ‎13．在椭圆上有两个动点， ，若为定点，且，则 的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题点 在椭圆上，可设 则 ‎ 由 ，可得 当 时， 取得最小值 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，其中利用椭圆参数方程设出点是解题的关键．‎ ‎14．设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为， 为坐标原点，则面积的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得圆心坐标为 ，半径 ∵直线 与圆 相交所得弦 ∴圆心到直线l的距离 ‎ ‎∴圆心到直线 的距离 ， 整理得： ，令直线 解析式中，解得： ， ，即 ‎ 令 ，解得 ，即 ， ，当且仅当 时取等号， ‎ 又 为直角三角形， ，当且仅当时取等号， 则 面积的最小值为3．‎ ‎15．已知数列满足，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件得： ，所以，因为，所以，故数列是以为首项， 为公差的等差数列，所以， ， .‎ ‎16．正方体的棱长为， 为的中点， 为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的序号是_________.‎ ‎①当时， 的面积为； ‎ ‎②当时， 为六边形；‎ ‎③当时， 与的交点满足； ‎ ‎④当时， 为等腰梯形；‎ ‎⑤当时， 为四边形.‎ ‎【答案】①③④⑤‎ ‎【解析】如图，当时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故④正确；‎ 由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故⑤正确；‎ ‎③当CQ=时，如图，‎ 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；‎ ‎②由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；‎ ‎①当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确．‎ 故答案为：①③④⑤．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数上的一个最高点的坐标为, 由此点到相邻最低点间的曲线与轴交于点.‎ ‎ （1）求函数解析式；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间和在内的对称中心．‎ ‎【答案】（1）（2）； ‎ ‎ ‎ ‎【解析】 试题分析：（1）依题意知， ，易求 ；再由 可求得，从而可得函数解析式； （2）利用正弦函数的单调性，由 ，可求得函数的单调增区间．由，可求在内的对称中心．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）单调递减区间为 ‎ 对称中心为 则内的对称中心为 ‎ ‎18．已知命题 “存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“关于的不等式成立”‎ ‎（1）若“且”是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或 （2）或 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围； （2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．‎ 试题解析：（1）若为真： ‎ 解得或 ‎ 若为真：则 ‎ 解得或 ‎ 若“且”是真命题，则 ‎ 解得或 ‎ ‎（2）若为真，则，即 ‎ 由是的必要不充分条件，‎ 则可得 或 ‎ 即或 解得或 ‎ ‎19．在中，角、、的对边分别为、、，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得 的值，进而求得 ． （2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于 和 的关系式，进而利用基本不等式求得 的范围，进而求得三角形面积的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得 解得， ‎ 由，所以 ‎ ‎（2）取中点，则 在中， ‎ ‎（注：也可将两边平方）‎ 即 ，‎ 所以，当且仅当， 时取等号 此时，其最大值为 ‎20．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就要证线面垂直，首选寻找直线垂直，在底面直角梯形中，，可证得，又可得，从而有平面，从而可得面面垂直；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的证明，为了求直线与平面所成的角，以为原点，为轴，垂直于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，这样易写出各点坐标，同时设后分别可得，求出平面和平面的法向量，由二面角与法向量夹角的关系求得，由向量和的夹角（或补角）与直线和平面所成的角互余可得结论．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：平面ABCD，平面ABCD，，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 又，面，面.‎ 平面，‎ ‎∵平面，平面平面 ‎（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ‎ 则C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）‎ 设（0，0，）（），则（，，）， ‎ ‎，，，‎ 取=（1，－1，0） ‎ 则，为面的法向量 设为面的法向量，则，‎ 即，取，，，则，‎ 依题意，，则 ‎ 于是.‎ 设直线与平面所成角为，则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为 ‎ 考点：面面垂直的判断，直线与平面所成的角．‎ ‎21．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得 由此能求出椭圆的方程． （2）当直线 轴时， ．当直线 与轴不垂直时，设直线 直线与与圆 的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与圆相切，得 ，联立 ，得（ ，由此能证明 为定值．‎ 试题解析：‎ ‎1）由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎（2）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为 ‎ 当时，得M、N两点坐标分别为，‎ ‎ ‎ 当时，同理； ‎ 当与轴不垂直时，‎ 设，由,‎ ‎, ‎ 联立得 ‎ ‎， ， = ‎ ‎ ‎ 综上， （定值）‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎22．已知数列的前项和为且 .‎ ‎（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）存在正整数 ‎【解析】试题分析：（1）利用 可得可证为等比数列，则通项公式可求；‎ ‎（2）由（1）代入得 ，则通过计算得 ‎ ，则 ，则 ‎ ，计算可得， ‎ ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明 ‎ 作差得 ‎ 为首项为1，公比为2等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎（2） 代入得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 存在正整数，对任意