数学卷·2019届山西省太原市金河中学高二10月调研考试（2017-10） 9页

高二年级第一学期第一次调研考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）‎ ‎1.给出下列四个命题：‎ ‎①若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b；‎ ‎②若直线a∥直线b，直线a、c∥平面α，b、c∥平面β，则α∥β；‎ ‎③若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a∥β；‎ ‎④若直线a∥平面α，直线a∥平面β，则α∥β.‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2.在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比( )‎‎6题图 A B C D ‎‎6题图 ‎4题图 ‎4.如图，为正方体，下面结论错误的是( )(填序号)‎ A.∥平面 B.‎ C.平面 D.异面直线与所成的角为60°.‎ ‎5.将正三棱柱截去三个角如图一所示，A,B,C分别是三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（ ）‎ ‎6.直角三角形的斜边在平面内，直角顶点在平面外，在平面内的射影为,且,则为（ ）‎ A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 以上都不对 ‎7题图 ‎7．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ，则原图形是(　　)‎ A.正方形 B. 菱形 ‎ C. 矩形 D.一般的平行四边形 ‎8题图 ‎8.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）‎ A B ‎ C D ‎ ‎9.正方体中，点M是棱CD的中点，点O是侧面的中点，若点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持,则动点P的轨迹是（ ）‎ ‎10题图 A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 ‎ ‎10.梯形ABCD中，,以A为圆心，AD为半径作圆，如图所示（单位：cm），则图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积为（ )‎ A B 84 C 60 D 68‎ ‎11．已知三点的坐标分别是，，，，若，则的值为 （ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎12.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13．我国古代数学名著 《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺。”（注：1丈等于10尺）‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为 ‎ ‎15题图 ‎15、如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ‎ ‎16、在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是 ．‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，把正确答案填在答题卡中的对应位置上）.‎ ‎17、已知正项等差数列的前项和为，，且成等比数列.‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，求数列的前项和.‎ ‎18、已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C所对的边，，。‎ ‎（Ⅰ）证明：A=2B ‎（Ⅱ）若，求A ‎19题图 ‎19、（本题满分12分）设是边长为的正方体的面、面的中心,如图 ‎（1）证明PQ∥平面AA1B1B； （2）求线段PQ的长.‎ ‎20题图 ‎20、（本题满分12分）已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)，如图．‎ ‎(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；‎ ‎(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?‎ ‎21题图 ‎21、（本题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点，分别是，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的体积.‎ ‎22题图 ‎22、（本题满分12分）在四棱锥中，底面 为矩形，平面平面,,,为线段上一点，且，点分别为线段的中点。‎ ‎⑴求证:平面；‎ ‎⑵若平面将四棱锥分成左右两部分，求这两部分的体积之比。‎ 附加题：（第23,24题每题5分，第25题10分）‎ ‎23、如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎24、已知三棱锥中，,，点是的中点，点在平面的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为 。‎ ‎25、（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P,Q分别为线段AB，CD的中点，EP平面ABCD。‎ ‎⑴求证：DP平面EPC；‎ ‎⑵问在EP上是否存在点F使平面AFD平面BFC？若存在，求出的值；‎ ‎⑶求证：平面平面DEP.‎ 高二年级第一学期第一次调研考试 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题：（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C D A C B B B A B D 二、填空题：(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13、26 14、 15、16、‎ 三、 解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，把正确答案填在答题卡中的对应位置上）‎ 17、 ‎⑴由题数列为等差数列，且成等比数列，则，‎ 即，又，解之得或，数列为正项等差数列，所以，所以；……………………………………………………5分 ‎ ⑵ 由⑴得则 ‎ ……………………10分 ‎18、（本题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：∵,由得,………………3分 ‎∵，∴，∴‎ ‎∴或，………………………………………………4分 若,则,这与“”矛盾,.……………………5分 ‎∴………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ 由余弦定理得,………………………………………………8分 ‎∵，∴或，………………………………………………9分 ‎①当时，则，这与“”矛盾,；…………10分 ‎②当，由（1）得，∴，‎ ‎∴………………………………………………12分 17、 ‎⑴∵∥,,∥,,∴∥且.‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴∥.∵平面,平面 ‎∴PQ∥平面AA1B1B. …………………………………………6分 ‎ ⑵连接则为中位线 ，∴.……………………12分 ‎20、(1)证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.因为CD⊥BC，且AB∩BC＝B，‎ 所以CD⊥平面ABC.又因为＝＝λ(0<λ<1)，‎ 所以不论λ为何值，恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，‎ 所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.…………………………………6分 ‎(2)解：由(1)知，BE⊥EF.又平面BEF⊥平面ACD，所以BE⊥平面ACD.‎ 所以BE⊥AC.因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，‎ 所以BD＝，AB＝tan 60°＝.所以AC＝＝.‎ 由AB2＝AE·AC，得AE＝，所以λ＝＝.‎ 故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD…………………………………………………12分 21、 ‎⑴证明：如图，取的中点，连接,在中，点分别为的中点，所以有∥,同理得∥∥,,‎ 所以平面∥平面，又平面，所以平面.…………5分 ‎⑵过点做的垂线，垂足为，由题知，侧面底面，故底面 ‎，在中，由,,则 ‎,,点是的中点，‎ ‎,…………………………………8分 点为的中点，‎ ‎…………………………………… ……………………12分 22、 ‎⑴证明：在等腰中，,‎ 则由余弦定理可得……………………2分 ‎,…………………………………………3分 平面平面，平面平面 平面 .………………………………………………………………4分 ‎⑵解：设平面与棱交于点，连接,因为∥，所以∥平面。从而可得∥. …………………………6分 延长至点,使，连接,则为直三棱柱。………7分 到的距离为 ‎……………………………………………………8分 ‎ ,…………………9分 ‎…………………………………………10分 又…………………………………………11分 ‎………………………………………12分 附加题：‎ 23、 C 24、‎ 25、 ‎⑴证明：在矩形中，AB=2BC，P,Q分别为线段AB，CD的中点，,,,平面ABCD,平面ABCD,,又DP平面EPC; ……………………………3分 ‎25题图 ‎⑵解：假设存在F使平面AFD平面BFC，∥,平面,不包含于平面，∥平面，∴平行于平面与平面的交线,∵平面ABCD,∴,而,,∴平面,∴平面,‎ ‎∴为平面与平面所成二面角的平面角,∵P为线段AB的中点,且,‎ ‎∴当时,,∴当时,平面AFD平面BFC .………………7分 ‎⑶证明 ：∵EP平面ABCD,平面ABCD,∴,∵在矩形ABCD中，AB=2BC，P,Q分别为线段AB，CD的中点，∴为正方形，,∵,∴平面,平面,∴平面平面DEP .……………………………10分