2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24 6页

‎24．1.3　弧、弦、圆心角 ‎01　　教学目标 ‎1．通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．‎ ‎2．运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．‎ ‎02　　预习反馈 阅读教材P83～84内容，回答下列问题．‎ ‎1．顶点在圆心的角叫做圆心角．‎ ‎2．如图所示，下列各角是圆心角的是(B)‎ A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC ‎3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．‎ ‎4．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．‎ 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦．‎ ‎(1)如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠COD，＝；‎ 6‎ ‎(2)如果＝，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD；‎ ‎(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，＝．‎ ‎5．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)‎ ‎(1)△ACO≌△ABO；‎ ‎(2)AD垂直平分BC；‎ ‎(3)＝．(答案不唯一)‎ ‎03　　新课讲授 例1　(教材P84例3)如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.‎ ‎【解答】　证明：∵＝，‎ ‎∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．‎ 又∵∠ACB＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC.‎ ‎∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.‎ ‎【跟踪训练1】　如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．‎ 6‎ 解：∵＝，‎ ‎∴∠ACB＝∠ABC.‎ 又∵∠ACB＝75°，∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°，‎ ‎∴∠BAC＝30°.‎ 例2　(教材P84例3变式题)如图．‎ ‎(1)如果＝，求证：AB＝CD；‎ ‎(2)如果AD＝BC，求证：＝.‎ ‎【解答】　证明：(1)∵＝，‎ ‎∴＋＝＋，即＝.‎ ‎∴AB＝CD.‎ ‎(2)∵AD＝BC，∴＝.‎ ‎∴＋＝＋，即＝.‎ 例3　(教材补充例题)如图，AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点．求证：＝.‎ ‎【思路点拨】　连接OC，OD，构造全等三角形．‎ ‎【解答】　证明：连接OC，OD.‎ ‎∵M，N分别为AO，BO的中点，‎ ‎∴OM＝OA，ON＝OB.‎ 又∵OA＝OB，∴OM＝ON.‎ ‎∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.‎ 6‎ 在Rt△CMO和Rt△DNO中， ‎∴Rt△CMO≌Rt△DNO(HL)．‎ ‎∴∠AOC＝∠BOD.‎ ‎∴＝.‎ ‎【跟踪训练2】　已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？‎ ‎【点拨】　(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件；(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．‎ 解：∠AMN＝∠CNM.理由如下：‎ 连接OB，OD.‎ ‎∵M，N分别是AB，CD的中点，‎ ‎∴BM＝AM，DN＝CN，且OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OMB＝∠OND＝90°.‎ 又∵AB＝CD，∴BM＝DN.‎ 在Rt△OBM和Rt△ODN中， ‎∴Rt△OBM≌Rt△ODN(HL)．‎ ‎∴OM＝ON.∴∠OMN＝∠ONM.‎ ‎∴90°－∠OMN＝90°－∠ONM，即∠AMN＝∠CNM.‎ ‎04　　巩固训练 ‎1．(24.1.3习题变式)如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为75°．‎ ‎2．(24.1.3习题变式)如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF 6‎ ‎，并且它们的延长线分别交⊙O于点A，B.‎ ‎(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；‎ ‎(2)求证：＝.‎ ‎【点拨】　(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等．‎ 解：(1)△OEF为等腰三角形．理由：‎ 过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG.‎ ‎∵CE＝DF，‎ ‎∴CG－CE＝DG－DF，即EG＝FG.‎ ‎∵OG⊥CD，∴OG为线段EF的中垂线．‎ ‎∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形．‎ ‎(2)证明：连接AC，BD.‎ 由(1)知OE＝OF，‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.‎ ‎∵∠CEA＝∠OEF，∠BFD＝∠OFE，‎ ‎∴∠CEA＝∠DFB.‎ 在△CEA和△DFB中， ‎∴△CEA≌△DFB(SAS)．∴AC＝BD.‎ ‎∴＝.‎ ‎05　　课堂小结 弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．‎ 6‎ 6‎