广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学（理科）试题（解析版） 23页

广东省深圳市2020届高三下学期调研考试数学（理科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．集合A={x|-1＜x＜‎1‎‎2‎}‎，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（　　）‎ A．‎(-1，‎1‎‎2‎)‎ B．（﹣1，0） C．‎(0，‎1‎‎2‎)‎ D．（0，1）‎ ‎2．下列函数中为奇函数的是（　　）‎ A．y＝x2﹣2x B．y＝x2cosx C．y＝2x+2﹣x D．‎y=ln‎1-x‎1+x ‎3．已知复数z＝i2019+i2020，则z的共轨复数z‎=‎（　　）‎ A．﹣1+i B．1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i ‎4．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3 ‎ C．ln3＞log3e＞lnπ D．ln3＞lnπ＞log3e ‎5．﹣将直线l：y＝2x+1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为（　　）‎ A．2x﹣y+1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．3x﹣2y+3＝0 D．3x+y﹣6＝0‎ ‎6．已知数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．9π B．‎22π‎3‎ C．‎28π‎3‎ D．‎‎34π‎3‎ ‎8．已知过原点O的直线l与曲线C：y＝（x﹣4）ex相切，则l的斜率为（　　）‎ A．﹣e B．﹣e2 C．﹣3 D．e ‎9．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样 ‎；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎2‎‎5‎ C．‎3‎‎8‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎10．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则△OMQ的最小面积为（　　）‎ A．1 B．‎2‎ C．2 D．4‎ ‎11．已知定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π‎2‎)‎在[1，2]上有且仅有3个零点，其图象关于点‎(‎1‎‎4‎，0)‎和直线x‎=-‎‎1‎‎4‎对称，给出下列结论：‎ ‎①f(‎1‎‎2‎)=‎‎2‎‎2‎；②函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个极值点；‎ ‎③函数f（x）在‎(-‎3‎‎2‎，-‎5‎‎4‎)‎上单调递增；④函数f（x）的最小正周期是2．‎ 其中所有正确结论的编号是（　　）‎ A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②‎ ‎12．将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点B'，A，C，为顶点的四面体AB'CD中，棱AC、B'D的中点分别为E、F，若AC＝6，且四面体AB'CD的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为（　　）‎ A．‎(‎14‎‎2‎，2‎3‎)‎ B．‎(‎14‎‎2‎，4)‎ C．‎(‎3‎，2‎3‎)‎ D．‎‎(‎3‎，4)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若5a2＝S5+5，则数列{an}的公差为　 　．‎ ‎14．某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（°C）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：‎ 气温X（°C）‎ ‎19‎ ‎13‎ ‎9‎ ‎﹣1‎ 每日总用电量y（（万度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 经分析，可用线性回归方程y‎^‎‎=-2x+a拟合y与X的关系．据此预测气温为14°C时，该地当日总用电量y （万度）为　 　．‎ ‎15．已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且AD=‎1‎‎3‎AB，BE=‎1‎‎3‎BC，则DC‎→‎‎⋅‎DE‎→‎的值为　 　．‎ ‎16．已知点F1、F2分别为双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为　 　．‎ 三、解答题：共70分.‎ ‎17．函数f（x）＝（sinx+cosx）2‎+‎‎3‎cos（2x+π）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A‎2‎)=1，sinC=2sinB，且a＝2，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，BC1＝C1C．‎ ‎（1）求证：A1B⊥平面AB1C1；（2）求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的短轴长为2，离心率为‎3‎‎2‎，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线x＝t交于点N．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在实数t，使得OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k（k（＝1，2n））；‎ ‎③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？（参考数据：‎362‎‎≈19‎；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．‎ ‎21．已知函数f（x）＝2cos2x+ax2．（1）当a＝1时，求f（x）的导函数f'（x）在‎[-π‎2‎，π‎2‎]‎上的零点个数；‎ ‎（2）若关于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC‎，‎AD和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，π‎3‎），B（1，‎2π‎3‎），C（1，‎4π‎3‎），D（2，‎-‎π‎3‎），弧BC‎，‎AD所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BC，曲线M2是弧AD．（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：（2）点E，F位于曲线M2上，且‎∠EOF=‎π‎3‎，求△EOF面积的取值范围．‎ ‎[选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分)‎ ‎23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|‎2‎x‎+‎t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．集合A={x|-1＜x＜‎1‎‎2‎}‎，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（　　）‎ A．‎(-1，‎1‎‎2‎)‎ B．（﹣1，0） C．‎(0，‎1‎‎2‎)‎ D．（0，1）‎ 求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．‎ ‎∵集合A={x|-1＜x＜‎1‎‎2‎}‎，‎ 集合B＝{x|x2＜x}＝{x|0＜x＜1}，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴A∩B＝{x|0＜x‎＜‎‎1‎‎2‎}＝（0，‎1‎‎2‎）．‎ 故选：C．‎ 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．下列函数中为奇函数的是（　　）‎ A．y＝x2﹣2x B．y＝x2cosx C．y＝2x+2﹣x D．‎y=ln‎1-x‎1+x 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，y＝x2﹣2x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x2+2x，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；‎ 对于B，y＝x2cosx，其定义域为R，有f（﹣x）＝x2cosx＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意；‎ 对于C，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意；‎ 对于D，y＝ln‎1-x‎1+x，有‎1-x‎1+x‎＞‎0，解可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），有f（﹣x）＝ln‎1+x‎1-x‎=-‎ln‎1-x‎1+x‎=-‎f（x），为奇函数，符合题意；‎ 故选：D．‎ 本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．‎ ‎3．已知复数z＝i2019+i2020，则z的共轨复数z‎=‎（　　）‎ A．﹣1+i B．1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i 直接利用复数i4n＝1运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．‎ ‎∵i4n＝1，∴复数z＝i2019+i2020＝i3+1＝1﹣i，‎ ‎∴z的共轨复数z‎=‎1+i．‎ 故选：C．‎ 本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．‎ ‎4．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3 ‎ C．ln3＞log3e＞lnπ D．ln3＞lnπ＞log3e 利用对数函数的性质求解．‎ ‎∵函数对数y＝lnx和y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e，‎ ‎∴lnπ＞ln3＞lne＝1，又∵log3e＜log33＝1，‎ ‎∴lnπ＞ln3＞log3e，‎ 故选：A．‎ 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．‎ ‎5．﹣将直线l：y＝2x+1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为（　　）‎ A．2x﹣y+1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．3x﹣2y+3＝0 D．3x+y﹣6＝0‎ 直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．‎ 直线l：y＝2x+1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l′，‎ 设直线l′的斜率为k，则根据到角公式的应用，‎ tan45°=k-2‎‎1+2k=1‎‎，解得k＝﹣3，‎ 所以直线l′的方程为y﹣3＝﹣3（x﹣1），整理得3x+y﹣6＝0．‎ 故选：D．‎ 本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎6．已知数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（　　）‎ A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16‎ 直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．‎ 数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，所以：a‎1‎‎2‎‎+2a‎1‎a‎4‎+a‎4‎‎2‎=4‎，‎ 由于a12+a42＝20，‎ 所以2a1a4＝﹣16，整理得a2a3＝a1a4＝﹣8．‎ 故选：A．‎ 本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．9π B．‎22π‎3‎ C．‎28π‎3‎ D．‎‎34π‎3‎ 首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．‎ 根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．‎ 如图所示：‎ 故V‎=‎1‎‎2‎×π×‎2‎‎2‎×3+‎2‎‎3‎×π×‎2‎‎3‎=‎‎34π‎3‎．‎ 故选：D．‎ 本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎8．已知过原点O的直线l与曲线C：y＝（x﹣4）ex相切，则l的斜率为（　　）‎ A．﹣e B．﹣e2 C．﹣3 D．e 设切点为（m，（m﹣4）em），然后利用导数求出切线方程，将（0，0）代入即可求出切点坐标，问题可解．‎ 由题意设切点为（m，（m﹣4）em），‎ ‎∵y′＝ex（x﹣3），∴k＝em（m﹣3）．‎ ‎∴y﹣（m﹣4）em＝em（m﹣3）（x﹣m），‎ 由切线过原点得m2﹣4m+4＝0，‎ 所以m＝2，所以k＝﹣e2．‎ 故选：B．‎ 本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．‎ ‎9．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎2‎‎5‎ C．‎3‎‎8‎ D．‎‎1‎‎3‎ 基本事件总数n＝24＝16，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．‎ 选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，‎ 规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），‎ 则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，‎ 基本事件总数n＝24＝16，‎ 这个数能被3整除包含的基本事件有：‎ ‎5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，‎ 这个数能被3整除的概率为P‎=‎6‎‎16‎=‎‎3‎‎8‎．‎ 故选：C．‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则△OMQ的最小面积为（　　）‎ A．1 B．‎2‎ C．2 D．4‎ 由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由S△OMQ＝S△OFQ+S△OMF═‎1‎‎2‎|OF|•|‎1‎‎2‎y‎1‎‎-‎y2|‎=‎‎1‎‎2‎•1‎⋅‎‎(‎1‎‎2‎y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎，整理可得由y‎1‎‎2‎‎4‎‎+‎y22‎≥-2⋅y‎1‎‎2‎⋅‎y‎2‎，而y1y2为定值可得△OMQ的面积的最小值 设P（x1，y1），Q（x2，y2），设P在x轴上方，‎ 由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x＝my+1，‎ 联立直线与抛物线的方程x=my+1‎y‎2‎‎=4x，整理可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，‎ 因为M为PF的中点，所以yM‎=‎y‎1‎‎2‎，‎ 所以S△OMQ＝S△OFQ+S△OMF‎=‎‎1‎‎2‎|OF|•|‎1‎‎2‎y‎1‎‎-‎y2|‎=‎‎1‎‎2‎•1‎⋅‎(‎1‎‎2‎y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎=‎1‎‎2‎y‎1‎‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎-‎y‎1‎y‎2‎≥‎1‎‎2‎‎-2⋅‎1‎‎2‎y‎1‎y‎2‎-‎y‎1‎y‎2‎=‎1‎‎2‎⋅‎-y‎1‎y‎2‎-‎y‎1‎y‎2‎=‎1‎‎2‎‎8‎=‎‎2‎，‎ 所以‎2‎，‎ 故选：B．‎ 本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．‎ ‎11．已知定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π‎2‎)‎在[1，2]上有且仅有3个零点，其图象关于点‎(‎1‎‎4‎，0)‎和直线x‎=-‎‎1‎‎4‎对称，给出下列结论：‎ ‎①f(‎1‎‎2‎)=‎‎2‎‎2‎；‎ ‎②函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个极值点；‎ ‎③函数f（x）在‎(-‎3‎‎2‎，-‎5‎‎4‎)‎上单调递增；‎ ‎④函数f（x）的最小正周期是2．‎ 其中所有正确结论的编号是（　　）‎ A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②‎ 先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．‎ 曲线关于点（‎-‎‎1‎‎4‎，0）对称，所以：‎1‎‎4‎ω+φ＝k1π；k1∈Z①‎ 又因为其图象关于直线x‎=‎‎1‎‎4‎对称，所以：‎-‎‎1‎‎4‎ω+φ＝k2π‎+‎π‎2‎，k2∈Z；②‎ 由①②可得：ω＝[2（k1﹣k2）﹣1]＝π即ω＝（2n﹣1）π，n∈Z；③‎ 因为数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π‎2‎)‎在[1，2]上有且仅有3个零点，‎ 所以‎2πω‎≤‎2﹣1‎＜‎‎4πω，（ω＞0）即2π≤ω＜4π，④；‎ 由③④可得ω＝3π；‎ ‎∵f（‎1‎‎4‎）＝0，∴‎3π‎4‎‎+‎φ＝kπ，又|φ|‎≤‎π‎2‎，∴φ‎=‎π‎4‎；‎ ‎∴f（x）＝sin（3πx‎+‎π‎4‎）；‎ 所以易知f（‎1‎‎2‎）‎=-‎‎2‎‎2‎；∴①错误；‎ 令3πx0‎+π‎4‎=π‎2‎+‎kπ，则x0‎=k‎3‎+‎‎1‎‎12‎，（k∈Z）；‎ 令0‎≤k‎3‎+‎1‎‎12‎≤‎1，则可取k＝0，1，2；‎ ‎∴x0‎=‎‎1‎‎12‎，‎5‎‎12‎，‎3‎‎4‎；‎ ‎∴②正确；‎ 令‎-π‎2‎+‎2kπ≤3πx‎+π‎4‎≤π‎2‎+‎2kπ⇒‎-‎1‎‎4‎+‎‎2‎‎3‎k≤x‎≤‎1‎‎12‎+‎‎2‎‎3‎k；k∈Z；‎ 当k＝﹣2时，[‎-‎‎19‎‎12‎，‎-‎‎5‎‎4‎]为f（x）的一个递增区间，而（‎-‎‎3‎‎2‎，‎-‎‎5‎‎4‎）⫋[‎-‎‎19‎‎12‎，‎-‎‎5‎‎4‎]．‎ ‎∴f（x）在‎(-‎3‎‎2‎，-‎5‎‎4‎)‎上单调递增，③正确；‎ ‎∵f（x）＝sin（3πx‎+‎π‎4‎）；∴T‎=‎2π‎3π=‎‎2‎‎3‎；④错误．‎ 综上所述，其中正确的结论为②③；‎ 故选：A．‎ 本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．‎ ‎12．将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点B'，A，C，为顶点的四面体AB'CD中，棱AC、B'D的中点分别为E、F，若AC＝6，且四面体AB'CD的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为（　　）‎ A．‎(‎14‎‎2‎，2‎3‎)‎ B．‎(‎14‎‎2‎，4)‎ C．‎(‎3‎，2‎3‎)‎ D．‎‎(‎3‎，4)‎ 由题意画出图形，可证AC⊥平面B′ED，得到球心O位于平面B′ED与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合OA＝OB′，OE＜EF，EF＜EB′＝4可得线段EF长度的取值范围．‎ 如图，由已知可得，AC⊥B′E，且AC⊥DE，∴AC⊥平面B′ED，‎ ‎∵E是AC的中点，∴到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，‎ 同理可知，到点B′、D的距离相等的点位于平面ACF内，‎ ‎∵球心O到点A，B′，C，D的距离相等，∴球心O位于平面B′ED与平面ACF的交线上，即直线EF上．‎ ‎∴球心O落在线段EF上（不含端点E、F），‎ 显然EF⊥B′D，由题意EA＝3，EB′＝4，则OA2＝OE2+9，‎ 且OB′2＝OF2+FB′2＝OF2+EB′2﹣EF2＝（EF﹣OE）2+16﹣EF2＝OE2+16﹣2EF•OE．‎ ‎∵OA＝OB′，∴OE2+9＝OE2+16﹣2EF•OE，则OE=‎‎7‎‎2EF，‎ 显然OE＜EF，∴‎7‎‎2EF‎＜‎EF，即EF‎＞‎‎14‎‎2‎．‎ 又EF＜EB′＝4，∴‎14‎‎2‎‎＜‎EF＜4．‎ 故选：B．‎ 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若5a2＝S5+5，则数列{an}的公差为　﹣1　．‎ 利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．‎ 设等差数列{an}的公差为d．‎ ‎∵5a2＝S5+5，∴5（a1+d）＝5a1+10d+5，‎ 则数列{an}的公差d＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（°C）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：‎ 气温X（°C）‎ ‎19‎ ‎13‎ ‎9‎ ‎﹣1‎ 每日总用电量y（（万度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 经分析，可用线性回归方程y‎^‎‎=-2x+a拟合y与X的关系．据此预测气温为14°C时，该地当日总用电量y （万度）为　32　．‎ 求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．‎ 由题意可知：x‎=‎19+13+9-1‎‎4‎=‎10，y‎=‎24+34+38+64‎‎4‎=‎40，‎ 所以40＝﹣2×10+a，解得a＝60．‎ 线性回归方程y‎^‎‎=-2x+60‎，‎ 预测气温为14°C时，‎ 可得y＝﹣28+60＝32．‎ 故答案为：32．‎ 本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．‎ ‎15．已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且AD=‎1‎‎3‎AB，BE=‎1‎‎3‎BC，则DC‎→‎‎⋅‎DE‎→‎的值为　3　．‎ 以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．‎ 以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则C（3，0），D（‎1，‎‎3‎），E（1，0），‎ ‎∴DC‎→‎‎⋅DE‎→‎=(2，-‎3‎)⋅(0，-‎3‎)=3‎．‎ 故答案为：3．‎ 本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知点F1、F2分别为双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为　‎5‎‎4‎　．‎ 由题意画出图形，可得直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|＝b，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．‎ 如图，由题意可得，直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|＝b，‎ 由双曲线的定义可知，2a＝|NF1|﹣|NF2|＝|MN|+|MF1|﹣|NF2|，‎ ‎∵|MN|＝|NF2|+|OF2|，且|OF2|＝c，‎ ‎∴2a＝b+c，即b＝2a﹣c，‎ ‎∴b2＝（2a﹣c）2＝c2﹣4ac+4a2，‎ 又b2＝c2﹣a2，‎ 联立解得4c＝5a，即e‎=ca=‎‎5‎‎4‎．‎ 故答案为：‎5‎‎4‎．‎ 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎17．函数f（x）＝（sinx+cosx）2‎+‎‎3‎cos（2x+π）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A‎2‎)=1，sinC=2sinB，且a＝2，求△ABC的面积．‎ ‎（1）根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；‎ ‎（2）先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．‎ 解：（1）f（x）＝（sinx+cosx）2‎+‎‎3‎cos（2x+π）＝1+sin2x‎-‎‎3‎cos2x＝2sin（2x‎-‎π‎3‎）+1，‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期T‎=‎2π‎2‎=‎π；‎ ‎（2）f（A‎2‎）＝2sin（A‎-‎π‎3‎）+1＝1，sin（A‎-‎π‎3‎）＝0，‎ ‎∵‎-π‎3‎＜‎2A‎-π‎3‎＜‎‎5π‎3‎，‎ ‎∴A‎-π‎3‎=‎0，即A‎=‎π‎3‎，‎ 由正弦定理以及sinC＝2sinB可得c＝2b，‎ 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴c‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴S△ABC‎=‎‎1‎‎2‎bcsinA‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎．‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，BC1＝C1C．‎ ‎（1）求证：A1B⊥平面AB1C1；‎ ‎（2）求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．‎ ‎（1）设直线AB1与直线BA1交于点G，连结C1G，推导出A1B⊥AB1，C1G⊥A1B，由此能证明A1B⊥平面AB1C1．‎ ‎（2）取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．‎ ‎（1）证明：设直线AB1与直线BA1交于点G，连结C1G，‎ ‎∵四边形ABB1A1是菱形，∴A1B⊥AB1，‎ ‎∵BC1＝C1C＝C1A1，G为A1B的中点，∴C1G⊥A1B，‎ ‎∵AB1∩C1G＝G，∴A1B⊥平面AB1C1．‎ ‎（2）解：取BC中点O为坐标原点，‎ 如图，分别以OA，OC，OC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设棱柱的棱长为2，则C（0，1，0），C1（0，0，‎3‎），A（‎3‎，0，0），B（0，﹣1，0），‎ AC‎1‎‎→‎‎=‎‎（‎-‎‎3‎，0，‎3‎），A‎1‎C‎1‎‎→‎‎=AC‎→‎=‎（‎-‎‎3‎，1，0），B‎1‎C‎1‎‎→‎‎=BC‎→‎=‎（0，2，0），‎ 设平面A1AC1的一个法向量n‎→‎‎=‎（x，y，z），‎ 则n‎→‎‎⋅A‎1‎C‎1‎‎→‎=-‎3‎x+y=0‎n‎→‎‎⋅AC‎1‎‎→‎=-‎3‎x+‎3‎z=0‎，取x＝1，得n‎→‎‎=‎（1，‎3‎，1），‎ 设平面AB1C1的一个法向量为m‎→‎‎=‎（a，b，c），‎ 则m‎→‎‎⋅AC‎1‎‎→‎=-‎3‎x+‎3‎z=0‎m‎→‎‎⋅B‎1‎C‎1‎‎→‎=2y=0‎，取x＝1，得m‎→‎‎=‎（1，0，1），‎ 设二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角为θ，‎ 则cosθ‎=‎|m‎→‎⋅n‎→‎|‎‎|m‎→‎|⋅|n‎→‎|‎=‎2‎‎5‎‎⋅‎‎2‎=‎‎10‎‎5‎．‎ ‎∴二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值为‎10‎‎5‎．‎ 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的短轴长为2，离心率为‎3‎‎2‎，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线x＝t交于点N．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在实数t，使得OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）由题意可得b＝1，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）假设存在实数t＝t0，使得OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值．可设直线l的方程为y＝k（x+2），M（x0，y0），联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将t＝t0代入y＝k（x+2），求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．‎ ‎（1）由题意可得2b＝2，即b＝1，e‎=ca=‎‎3‎‎2‎，a2﹣b2＝c2，‎ 解得a＝2，c‎=‎‎3‎，则椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y2＝1；‎ ‎（2）假设存在实数t＝t0，使得OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值．‎ 由题意可得直线l的斜率存在，由A（﹣2，0），可设直线l的方程为y＝k（x+2），M（x0，y0），‎ 联立y=k(x+2)‎x‎2‎‎+4y‎2‎=4‎，可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，‎ 由韦达定理可得﹣2x0‎=‎‎16k‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎，即x0‎=‎‎-8k‎2‎+2‎‎1+4‎k‎2‎，y0＝k（x0+2）‎=‎‎4k‎1+4‎k‎2‎，‎ 即M（‎-8k‎2‎+2‎‎1+4‎k‎2‎，‎4k‎1+4‎k‎2‎），‎ 将t＝t0代入y＝k（x+2），可得N（t0，k（t0+2）），‎ 则OM‎→‎•ON‎→‎‎=‎2t‎0‎-8k‎2‎t‎0‎+4k‎2‎t‎0‎+8‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎=‎‎4(2-t‎0‎)k‎2‎+2‎t‎0‎‎1+4‎k‎2‎，‎ 若OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值，则‎8-4‎t‎0‎‎4‎‎=‎‎2‎t‎0‎‎1‎，‎ 解得t0‎=‎‎2‎‎3‎，此时OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值‎4‎‎3‎，‎ 所以存在实数t‎=‎‎2‎‎3‎，使得OM‎→‎‎⋅‎ON‎→‎为定值‎4‎‎3‎．‎ 本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．‎ ‎20．某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛 和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．‎ ‎（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；‎ ‎（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；‎ ‎（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均 为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k（k（＝1，2n））；‎ ‎③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？‎ ‎（参考数据：‎362‎‎≈19‎；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．‎ ‎（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．‎ ‎（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：x‎=‎10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15＝53，则μ＝53，由σ2＝362，得σ＝19，从而P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）‎=‎1‎‎2‎[1-P(μ-2σ≤μ+2σ)]≈‎0.02275，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．‎ ‎（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，EX＝1.5Eξ＝1.05n，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），设甲答完n题的分数为M（n），则M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n ‎＝﹣0.05（n﹣10）2+105，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．‎ ‎（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：‎ ‎（0.0125+0.0075）×20×100＝40人，‎ 其中成绩优良的人数为0.0075×20×100＝15人，‎ 记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，‎ 则恰有1人预赛成绩优良的概率：‎ P（C）‎=C‎25‎‎1‎C‎15‎‎1‎C‎40‎‎2‎=‎‎25‎‎52‎．‎ ‎（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：‎ x‎=‎‎10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15＝53，则μ＝53，‎ 又由σ2＝362，∴σ＝19，‎ ‎∴P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）‎=‎1‎‎2‎[1-P(μ-2σ≤μ+2σ)]≈‎0.02275，‎ ‎∴估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：‎ ‎8000×0.02275＝182，‎ 即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．‎ ‎（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，‎ 记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，‎ ‎∴EX＝1.5Eξ＝1.05n，‎ 依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：‎ ‎0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），‎ 设甲答完n题的分数为M（n），‎ 则M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，‎ 由于n∈N*，∴当n＝10时，M（n）取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．‎ ‎∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．‎ 本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝2cos2x+ax2．‎ ‎（1）当a＝1时，求f（x）的导函数f'（x）在‎[-π‎2‎，π‎2‎]‎上的零点个数；‎ ‎（2）若关于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．‎ ‎（1）易知f′（x）＝2（x﹣sin2x），显然f′（0）＝0，对导函数求导得到g′（x）＝1﹣2cos2x（0≤x‎≤‎π‎2‎），在（0，π‎6‎）单调递减，在（π‎6‎，π‎2‎）单调地增，则可得g（x）＝x﹣sin2x（0≤x‎≤‎π‎2‎）在（0，π‎2‎）上存在唯一零点x0∈（π‎6‎，π‎2‎），所以f′（x）＝2g（x）在（0，π‎2‎）上亦存在唯一零点，因为f'（x）是奇函数，所以f’（x）在（‎-‎π‎2‎，0）上也存在唯一零点﹣x0，故共3个零点；‎ ‎（2）条件等价于不等式cos（2sinx）≤acos2x恒成立，令sinx＝t∈[﹣1，1]，则等价于不等式cos2t≤a（1﹣t2）…（1）恒成立，则若t2＝1，即t＝±1时，不等式（1）显然成立，此时a∈R，若﹣1＜t＜1时，不等式（1）等价于a‎≥cos2t‎(1-‎t‎2‎‎)‎‎2‎⋯‎（2），构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．‎ ‎（1）易知f′（x）＝2（x﹣sin2x），显然f′（0）＝0，‎ 所以x＝0是f′（x）的一个零点，‎ 令g（x）＝x﹣sin2x（0≤x‎≤‎π‎2‎），则g′（x）＝1﹣2cos2x＝0时，x‎=‎π‎6‎，[来源:Zxxk.Com]‎ 所以g（x）在（0，π‎6‎）单调递减，在（π‎6‎，π‎2‎）单调递增，‎ 则g（x）的最小值为g（π‎6‎）‎=π‎6‎-‎3‎‎2‎＜‎0，‎ 又g（0）＝0，且g（π‎2‎）‎=π‎2‎＞‎0，‎ 所以g（x）在（0，π‎2‎）上存在唯一零点x0∈（π‎6‎，π‎2‎），‎ 则f′（x）＝2g（x）在（0，π‎2‎）上亦存在唯一零点，‎ 因为f'（x）是奇函数，所以f′（x）在（‎-‎π‎2‎，0）上也存在唯一零点﹣x0，‎ 综上所述，当a＝1时，f（x）的导函数f′（x）在[‎-‎π‎2‎，π‎2‎]上的零点个数为3；‎ ‎（2）不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）恒成立，即不等式cos（2sinx）≤acos2x恒成立，‎ 令sinx＝t∈[﹣1，1]，则等价于不等式cos2t≤a（1﹣t2）…（1）恒成立，‎ ‎①若t2＝1，即t＝±1时，不等式（1）显然成立，此时a∈R，‎ ‎②若﹣1＜t＜1时，不等式（1）等价于a‎≥cos2t‎(1-‎t‎2‎‎)‎‎2‎⋯‎（2）‎ 设h（t）‎=‎cos2t‎(1-‎t‎2‎‎)‎‎2‎（﹣1＜t＜1），‎ 当0≤t＜1时，h’（t）‎=‎‎2[tcos2t-(1-t‎2‎)sin2t]‎‎(1-‎t‎2‎‎)‎‎2‎，‎ 令φ（t）＝tcos2t﹣（1﹣t2）sin2t（0≤t＜1，[来源:学.科.网]‎ 则φ’（t）＝（2t2﹣1）cos2t（0≤t＜1），‎ 已知φ’（‎2‎‎2‎）＝0，φ‘（π‎4‎）＝0，且‎2‎‎2‎‎＜‎π‎4‎，‎ 则φ（t）在（0，‎2‎‎2‎），（π‎4‎，1）上单调递减，在（‎2‎‎2‎，π‎4‎）上单调地增，‎ 又φ（0）＝0，φ（π‎4‎）＝t2﹣1＜0，所以φ（t）＜0在（0，1）上恒成立，‎ 所以h（t）在[0，1）上单调递减，则h（t）≤h（0）＝1，‎ 显然函数h（t）为偶函数，故函数h（t）在[﹣1，1]上的最大值为1，‎ 因此a≥1，‎ 综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1，+∞）．‎ 本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分・请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC‎，‎AD和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，π‎3‎），B（1，‎2π‎3‎），C（1，‎4π‎3‎），D（2，‎-‎π‎3‎），弧BC‎，‎AD所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BC，曲线M2是弧AD．‎ ‎（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：‎ ‎（2）点E，F位于曲线M2上，且‎∠EOF=‎π‎3‎，求△EOF面积的取值范围．‎ ‎[来源:学§科§网]‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧BC，‎ ‎（1）由题意可知：M1的极坐标方程为ρ=1(‎2π‎3‎≤θ≤‎4π‎3‎)‎．‎ 记圆弧AD所在圆的圆心（2，0）易得极点O在圆弧AD上．‎ 设P（ρ，θ）为M2上任意一点，则在△OO1P中，可得ρ＝4cosθ（‎-π‎3‎≤θ≤‎π‎3‎）．‎ 所以：M1，M2的极坐标方程为ρ=1(‎2π‎3‎≤θ≤‎4π‎3‎)‎和ρ＝4cosθ（‎-π‎3‎≤θ≤‎π‎3‎）．‎ ‎（2）设点E（ρ1，α），点F（ρ‎2‎‎，α-‎π‎3‎），（‎0≤α≤‎π‎3‎），‎ 所以ρ1＝4cosα，ρ‎2‎‎=4cos(α-π‎3‎)‎．‎ 所以S‎△EOF‎=‎1‎‎2‎ρ‎1‎⋅ρ‎2‎⋅sinπ‎3‎=4‎3‎cosα(cosαcosπ‎3‎+sinαsinπ‎3‎)=2‎3‎sin(2α+π‎6‎)+‎‎3‎．‎ 由于‎0≤α≤‎π‎3‎，所以‎1‎‎2‎‎≤sin(2α+π‎6‎)≤1‎．‎ 故S‎△EOF‎∈[2‎3‎，3‎3‎]‎．‎ 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎[选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分)‎ ‎23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|‎2‎x‎+‎t﹣3|（x＞0）．‎ ‎（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；‎ ‎（2）求证：f（x）≥2．‎ ‎（1）利用绝对值不等式的性质可得（3﹣t）（t﹣1）≥0，解出即可；‎ ‎（2）利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．‎ ‎（1）∵f（1）＝|3﹣t|+|t﹣1|≥|3﹣t+t﹣1|＝2，取等号的条件为（3﹣t）（t﹣1）≥0，‎ 解得1≤t≤3，即实数t的取值范围为[1，3]；‎ ‎（2）证明：易知f(x)=|x‎2‎+2-t|+|‎2‎x+t-3|≥|x‎2‎+2-t+‎2‎x+t-3|=|x‎2‎+‎2‎x-1|‎，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x‎2‎‎+‎2‎x=x‎2‎+‎1‎x+‎1‎x≥3‎3‎x‎2‎‎⋅‎1‎x⋅‎‎1‎x=3‎，‎ ‎∴‎|x‎2‎+‎2‎x-1|≥2‎，‎ ‎∴f（x）≥2．‎ 本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．‎