- 775.50 KB
- 2021-06-25 发布
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
2.设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
3.设分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且则点的横坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
4.若是以为焦点的椭圆上的一点，且,,则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.椭圆的两顶点为，且左焦点为,是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
6.已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7.已知椭圆的中心为,左焦点为,是椭圆上的一点，且,则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C. D．
8.椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为,若,成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
9.已知椭圆的短轴长为6，离心率为，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为（ ）
A．9 B．1 C. 1或9 D．以上都不对
10.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C. D．
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且,则点到轴的距离为（ ）
A． B． C. D．
12.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设分别是椭圆是左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为 ．
14.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于 ．
15.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为 ．
16.已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则 ．
17.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18. （本小题满分12分）已知椭圆.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且,试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
19. （本小题满分12分）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（1）求椭圆的焦距；
（2）如果,求椭圆的方程；
20. （本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，且,求点的坐标；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为原点），求直线斜率的取值范围.
21. （本小题满分12分）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）求过点（3,0）且斜率为的直线被所截线段的长度.
22.（本小题满分10分）已知分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.
（1）求圆的方程；
（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，当最大时，求直线的方程.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 4 14. 15.1 16.12 17.
三、解答题
18.【答案】(1);(2)直线与圆相切.
试题解析：（1）由题意椭圆的标准方程为，所以，从而，所以（2）直线与圆相切，证明如下：设点，，其中，因为，所以，即，解得，当时，，代入椭圆的方程得，此时直线与圆相切.当，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为
，又，，故.故此直线与圆相切.
19.解（1）设椭圆的焦距为，由已知可得到直线的距离，故.所以椭圆的焦距为4. （2）设，由及的倾斜角为，知，直线的方程为.由，消去，整理得.解得，.因为，所以，即，解得.而，所以.故椭圆的方程为.
20.解析（1）由题意知，所以，.设，，.由，得.联立，解得点 （2）可设的方程为，.将代入椭圆方程，得由，得. 又，为锐角，所以，即即所以
由可知，故的取值范围是.
21.解析 （1）设的坐标为，的坐标为，由已知得，在圆上，，即的方程为. （2）过点（3,0）且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即，线段的长度为
22.解析（1）由题设知，的坐标分别为（-2,0），（2,0），圆的半径为2，圆心为原点关于直线的对称点.设圆心的坐标为，由，解得，所以圆的方程为. （2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离，所以，由，得.设与的两个交点坐标分别为，则，，于是==
=.从而.当且仅当，即时等号成立.故当时，最大，此时，直线的方程为或，即或.