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- 2021-06-24 发布
2016-2017学年陕西省西安是庆安中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知P：∀x∈Z，x3＜1，则￢P是（ ）
A．∀x∈Z，x3≥1 B．∀x∉Z，x3≥1 C．∃x∈Z，x3≥1 D．∃x∉Z，x3≥1
2．“x＞3”是“x2＞4”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设x，y满足，则z=x﹣3y的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣3
4．等差数列{an}中，a4=4，a3+a8=5，则a7=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知x＞﹣1，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则焦距为（ ）
A． B． C． D．1
7．等比数列{an}前四项和为1，前8项和为17，则它的公比为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣1
8．在椭圆中，满足a2+b2﹣3c2=0，c是半焦距，则=（ ）
A． B． C． D．
9．实数2，b，a依次成等比数列，则方程的实根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
10．设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点P（x，y）在直线y﹣x﹣3=0上（x≠﹣3且），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
11．已知a，b，c∈R，且ac=b2，a+b+c=3，则b的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，1] D．[﹣3，1]
12．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，a1+a2+…+a7=ak，则k=（ ）
A．10 B．20 C．23 D．22
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b，﹣4成等比数列，则= ．
14．P（x，y）为椭圆上任意一点，P到左焦点F1的最大距离为m，最小距离为n，则m+n= ．
15．已知椭圆方程为（a＞b＞0），F1，F2分别是其左、右焦点，O是坐标原点，A是椭圆上不同于顶点的任一点，，该椭圆的离心率e= ．
16．已知lnx+1≤x（x＞0），则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他5题均为12分，总分70分）
17．已知a∈R，a＞1，解不等式（a﹣1）x2﹣ax+1＞0．
18．已知等差数列{an}中，a2=3，a4=7，若bn=a2n，
（1）求bn；
（2）求的前n项和．
19．△AOB是直角边长为1的等腰直角三角形，在坐标系中位置如图所示，O为坐标原点，P（a，b）是三角形内任意一点，且满足b=2a，过P点分别做OB，OA，AB三边的平行线，求阴影部分面积的最大值及此时P点坐标．
20．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆曲线上位于第一象限的点，且PF1⊥PF2，求P点坐标及△F1PF2的面积．
21．{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Tn是{bn}的前n项和，a1=b1=1，且满足，当a2+b2取最小值时，
（1）求Tn；
（2）Sn是{|an|}的前n项和，求Sn．
22．以为圆心，4为半径作圆，，C为圆上任意一点，分别连接AC，BC，过BC的中点N作BC的垂线，交AC于点M，当点C在圆上运动时，
（1）求M点的轨迹方程，并说明它是何种曲线；
（2）求直线y=kx+1截（1）所得曲线弦长的最大值．
2016-2017学年陕西省西安是庆安中学高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知P：∀x∈Z，x3＜1，则￢P是（ ）
A．∀x∈Z，x3≥1 B．∀x∉Z，x3≥1 C．∃x∈Z，x3≥1 D．∃x∉Z，x3≥1
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．
【解答】解：∵命题p是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：∃x∈Z，x3≥1，
故选：C
2．“x＞3”是“x2＞4”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】可先判断：p⇒q与q⇒p的真假，也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【解答】解：①∵x＞3，x2＞9，∴x2＞4成立．
②当x2＞4时得x＜﹣2或x＞2，
∴x＞3不一定成立，
故x＞3是x2＞4的充分不必要条件．
故选B
3．设x，y满足，则z=x﹣3y的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣3
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解最小值即可．
【解答】解：x，y满足，的可行域如图：
z=x﹣3y即：y=x﹣z，z=x﹣3y的最小值就是直线在y轴上的截距最大时，显然经过A时z最小．
由，可得A（1，2）．
z的最小值为：1﹣6=﹣5．
故选：C．
4．等差数列{an}中，a4=4，a3+a8=5，则a7=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出等差数列的第7项．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a4=4，a3+a8=5，
∴，解得a1=7，d=﹣1，
∴a7=a1+6d=7﹣6=1．
故选：A．
5．已知x＞﹣1，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得x+1＞0，则=（x+1）+﹣1，运用基本不等式即可得到最小值．
【解答】解：x＞﹣1，即x+1＞0，
则=（x+1）+﹣1
≥2﹣1=3，
当且仅当x=1时，取得等号．
可得最小值为3．
故选：B．
6．焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则焦距为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】焦点在x轴上的椭圆中：a2=1，b2=﹣k，且1＞﹣k⇒c2=1+k，离心率e，e2=⇒c2
【解答】解：焦点在x轴上的椭圆中：a2=1，b2=﹣k，且1＞﹣k⇒c2=1+k，
离心率e，e2=⇒c2=1+k=，⇒c=，焦距为2c=1．
故选：D．
7．等比数列{an}前四项和为1，前8项和为17，则它的公比为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣1
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列{an}前n项和公式列出方程组，能求出它的公比．
【解答】解：∵等比数列{an}前四项和为1，前8项和为17，
∴，
解得1+q4=17，解得q=±2，
∴它的公比为2或﹣2．
故选：C．
8．在椭圆中，满足a2+b2﹣3c2=0，c是半焦距，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用a2=b2+c2及a2+b2﹣3c2=0求出a、c的数量关系即可．
【解答】解：由a2=b2+c2及a2+b2﹣3c2=0 得a2=2c2⇒a=，则=，
故选：A．
9．实数2，b，a依次成等比数列，则方程的实根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【分析】由等比数列性质得b=2q，a=2q2，从而方程转化为：2q2x2+2qx+=0，由此利用根的判别式能求出方程的实根个数．
【解答】解：∵实数2，b，a依次成等比数列，
∴b=2q，a=2q2
∴方程转化为：2q2x2+2qx+=0，
∵=＞0，
∴方程的实根个数为2个．
故选：C．
10．设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点P（x，y）在直线y﹣x﹣3=0上（x≠﹣3且），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设P（x0，y0），则y0﹣x0﹣3=0F1（﹣1，0），F2（1，0），k1=，k2=，可得=的值．
【解答】解：设P（x0，y0），F1（﹣1，0），F2（1，0），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2
k1=，k2=，∴则=，又因为y0﹣x0﹣3=0，∴则==﹣1．
故选：D
11．已知a，b，c∈R，且ac=b2，a+b+c=3，则b的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，1] D．[﹣3，1]
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得a，c可看作方程x2+（b﹣3）x+b2=0的两根，由判别式△≥0，由二次不等式解法，即可得到b的范围．
【解答】解：ac=b2，a+b+c=3，
可得a+c=3﹣b，ac=b2，
则a，c可看作方程x2+（b﹣3）x+b2=0的两根，
由判别式△≥0，即（b﹣3）2﹣4b2≥0，
解得﹣3≤b≤1．
故选：D．
12．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，a1+a2+…+a7=ak，则k=（ ）
A．10 B．20 C．23 D．22
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】推导出an=（n﹣1）d，ak=7a4=21d，再由ak=（k﹣1）d，由此能求出结果．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1=0，公差d≠0，
∴an=（n﹣1）d，
∴ak=a1+a2+…+a7=（a1+a7）+（a2+a6）+（a3+a5）+a4=7a4=21d，
∵ak=（k﹣1）d，∴k﹣1=21，解得k=22．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b，﹣4成等比数列，则= ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等差数列通项公式求出a2+a1
，利用等比数列性质求出b，由此能求出结果．
【解答】解：∵﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，
∴a2+a1=﹣1﹣4=﹣5，
∵﹣1，b，﹣4成等比数列，
∴b==±2，
∴==．
故答案为：．
14．P（x，y）为椭圆上任意一点，P到左焦点F1的最大距离为m，最小距离为n，则m+n= 10 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆性质得m=a+c，n=a﹣c⇒m+n=2a
【解答】解：P到左焦点F1的最大距离为m=a+c，最小距离为n=a﹣c，∴m+n=2a=10
故答案为：10
15．已知椭圆方程为（a＞b＞0），F1，F2分别是其左、右焦点，O是坐标原点，A是椭圆上不同于顶点的任一点，，该椭圆的离心率e= ﹣1 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】易得AF1F2是以A为直角定点的直角三角形，AF1=2a﹣c，AF2=c．由勾股定理得，（2a﹣c）2+c2=（2c）2⇒2ac+c2﹣a2=0⇒离心率e．
【解答】解：A是椭圆上不同于顶点的任一点，，
∴△AF1F2是以A为直角定点的直角三角形，∴AF1=2a﹣c，AF2=c．
由勾股定理得，（2a﹣c）2+c2=（2c）2⇒，2ac+c2﹣a2=0⇒离心率e=．
故答案为：．
16．已知lnx+1≤x（x＞0），则的最小值为 1 ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】得到﹣lnx≥1﹣x，带入，根据基本不等式的性质求出倒数第最小值即可．
【解答】解：∵lnx+1≤x（x＞0），
∴﹣lnx≥1﹣x，
∴≥=x+≥2=2，
当且仅当x=1时“=”成立，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他5题均为12分，总分70分）
17．已知a∈R，a＞1，解不等式（a﹣1）x2﹣ax+1＞0．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】不等式化为[（a﹣1）x﹣1]（x﹣1）＞0，由a＞1，求出不等式对应方程的两个实数根，讨论a的取值范围，求出对应不等式的解集即可．
【解答】解：不等式（a﹣1）x2﹣ax+1＞0可化为[（a﹣1）x﹣1]（x﹣1）＞0，
∵a＞1，∴a﹣1＞0，
不等式（x﹣）（x﹣1）＞0对应方程的两个实数根为和1，
令=1，解得a=2，不等式为（x﹣1）2＞0，解集为{x|x≠1}；
当1＜a＜2时，＞1，不等式的解集为{x|＜1或x＞}；
当a＞2时，＜1，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；
综上，a=2时，不等式的解集为{x|x≠1}；
1＜a＜2时，不等式的解集为{x|＜1或x＞}；
a＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
18．已知等差数列{an}中，a2=3，a4=7，若bn=a2n，
（1）求bn；
（2）求的前n项和．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）根据等差数列的定义求出公差d=2，再求出首项，即可求出bn，
（2）根据裂项求和即可求出答案．
【解答】解：（1）等差数列{an}中，a2=3，a4=7，
∴a4=a2+2d，
∴7=3+2d，
解得d=2，
∴a1=a2﹣d=1，
∴bn=a2n=1+2（2n﹣1）=4n﹣1，
（2）由（1）可得an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
∴==（﹣），
∴的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．
19．△AOB是直角边长为1的等腰直角三角形，在坐标系中位置如图所示，O为坐标原点，P（a，b）是三角形内任意一点，且满足b=2a，过P点分别做OB，OA，AB三边的平行线，求阴影部分面积的最大值及此时P点坐标．
【考点】函数最值的应用；简单线性规划．
【分析】求出直线AB的方程，求出对应点的坐标，结合三角形和梯形的面积，利用一元二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：AB的方程为y=﹣x+1，
则△PEF是等腰直角三角形，
∵P（a，b），
∴△PEF的面积S=a2，
当y=b时，x=1﹣b=1﹣2a，
即H（1﹣2a，2a），则PH=1﹣3a，PN=2a，NB=1﹣a，
则梯形的面积S==2a﹣4a2，
则阴影部分的面积S=a2+2a﹣4a2=﹣a2+2a=﹣（a﹣）2+，
∵，得0＜a＜，
∴当a=时，面积取得最大值，
此时P（，）．
20．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆曲线上位于第一象限的点，且PF1⊥PF2，求P点坐标及△F1PF2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】依题意点P（x，y）满足…①，x2+y2=64…②，由①②得x2=，y2=，△F1PF2的面积s=．
【解答】解：依题意点P（x，y）满足…①，x2+y2=64…②，由①②得x2=，y2=，
∵P是椭圆曲线上位于第一象限的点，∴P（）．
△F1PF2的面积s==36．
21．{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Tn是{bn}的前n项和，a1=b1=1，且满足，当a2+b2取最小值时，
（1）求Tn；
（2）Sn是{|an|}的前n项和，求Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】利用柯西不等式（a2+2+b2﹣2）（1+1）≥（）2=8，可得（a2+b2）min=4，此时a2+2=b2﹣2，可得a2，b2，及等比数列{bn}的公比，等差数列{an}的公差
（1）直接用公式求Tn
（2）|a1|=1，n≥2时，|an|=n﹣2，再求Sn．
【解答】解：利用柯西不等式（a2+2+b2﹣2）（1+1）≥（）2=8，
∴（a2+b2）min=4，此时a2+2=b2﹣2，a2=0，b2=4，
∴等比数列{bn}的公比为4，等差数列{an}的公差为﹣1
（1）Tn=
（2）|a1|=1，n≥2时，|an|=n﹣2，{|an|}的前n项和Sn，
Sn=
22．以为圆心，4为半径作圆，，C为圆上任意一点，分别连接AC，BC，过BC的中点N作BC的垂线，交AC于点M，当点C在圆上运动时，
（1）求M点的轨迹方程，并说明它是何种曲线；
（2）求直线y=kx+1截（1）所得曲线弦长的最大值．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）利用椭圆的定义求M点的轨迹方程，并说明它是何种曲线；
（2）直线y=kx+1代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kx=0，表示出弦长，即可求直线y=kx+1截（1）所得曲线弦长的最大值．
【解答】解：（1）由题意，|MA|+|MB|=|AC|=4＞2，
∴M点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，a=2，c=，
∴b=1，
∴椭圆方程为=1；
（2）直线y=kx+1代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kx=0，
∴x=0或x=﹣，
∴弦长L=，
设t=1+4k2（t≥1），则L2=﹣12（﹣）2+，
∴t=3时，L的最大值为．