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- 2021-06-24 发布
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第3讲 等比数列及其前n项和
学习目标：
1.掌握等比数列的概念．
2记住并会应用等比数列的通项公式与前n项和公式及其性质．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
1.定义:
2.等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒
3．等比数列的有关公式
(1)通项公式：
(2)前n项和公式：
4．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
5．等比数列的三种判定方法
(1)定义法：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )
(2)G为a,b的等比中项⇔=ab.( )
(3)等比数列中不存在数值为0的项.( )
(4)若{an}为等比数列,bn=，则数列{bn}也是等比数列.( )
(5)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )
.
2.由正数组成的等比数列{an}满足a3a8＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝________．
3. 已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是{an}的前n项和,
则S12的值为( )
A.21 B.42 C.63 D.54
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n= .
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
[典例引领]
考点1
等比数列的基本运算
4
例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
(2)在等比数列{an}中,若a1= ,a4=3,则该数列前五项的积为( )
A.±3 B.3 C.±1 D.1
(3)在等比数列{an}中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,则n= .
对点训练1:
1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－310) B．(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
2．4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=( )
A. B.- C.2 D.-2
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
4.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=( )
A.9 B.12 C.16 D.36
*5设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点2
等比数列的判定与证明
例2：已知数列{an}是等差数列，a3＝10，a6＝22，数列{bn}的前n项和是Tn，Tn＋bn＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
4
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
考点3
等比数列性质的应用(多考向)
例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为( )
(2) 在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝( )
A．31 B．36
C．42 D．48
(4)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________．
思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
4
对点训练3
1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A． B．－ C． D．
2．数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．
高考链接：
1.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
2.(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1 C． D．
*3(2016天津,文18)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1) }的前2n项和.
思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?
**3.(2016·高考全国卷丙)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
4
