高中数学选修2-2课件3_1_1 56页

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 问题 引航 1. 实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？ 2. 复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？ 1. 复数 (1) 表示方法 : 复数通常用 z 表示 , 即 z=_____________. (2) 代数式中各字母的名称 : a+bi(a,b∈R) 实部 虚部 虚数单位 (3) 复数 z=a+bi 的分类及满足条件 _____b=0 ， 复数 a ＋ bi(a ， b∈R) 纯虚数 a=0,b≠0 ， _____b≠0 非纯虚数 a≠0,b≠0. 实数 虚数 2. 复数的相等 a ＋ bi ＝ c ＋ di___________(a ， b ， c ， d∈R). 3. 复数集 (1) 定义：由 _________ 所构成的集合叫做复数集． (2) 表示：通常用大写字母 __ 表示． (3) 关系：用图形表示 N,Z,Q,R 间的关系 a ＝ c 且 b ＝ d 全体复数 C R Q Z N 1 ．判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”) (1) 若 a ， b 为实数，则 z=a+bi 为虚数 .( ) (2) 若 a 为实数，则 z= a 一定不是虚数 .( ) (3)bi 是纯虚数． ( ) (4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ，那么这两个复数相等 .( ) 【 解析 】 (1) 错误，若 b=0, 则 z=a+bi 为实数 . (2) 正确 . 因为 a 为实数，所以 z=a 中没有虚部，一定不是虚数 . 它是实数 . (3) 错误，若 b=i ，则 bi=i 2 =-1. 故 bi 不一定是纯虚数 . (4) 正确，由复数相等的概念可得 . 答案： (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2 ．做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 若 a+bi=0 ，则实数 a=_______, 实数 b=________. (2)(1 ＋ )i 的实部与虚部分别是 ________. (3) 若复数 (a ＋ 1) ＋ (a 2 － 1)i(a∈R) 是实数，则 a ＝ ______. 【 解析 】 (1) 由复数相等的概念得 a=0,b=0. 答案： 0 0 (2)(1 ＋ )i 可看作 0 ＋ (1 ＋ )i ＝ a ＋ bi ， 所以实部 a ＝ 0 ，虚部 b ＝ 1 ＋ 答案： 0 ， 1 ＋ (3)(a ＋ 1) ＋ (a 2 － 1)i(a∈R) 为实数的充要条件是 a 2 － 1 ＝ 0 ， 所以 a ＝ ±1. 答案： ±1 【 要点探究 】 知识点 1 数系的扩充与分类 1. 数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系 . 2. 虚数单位 i 性质的两个关注点 (1)i 2 ＝－ 1 的理解：并没有规定 还是 或 在今后的学习中，我们将知道 但不 能说 (2)i 与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的 原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并 不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运 算时，只对加法乘法法则作出规定，而把减法、除法作为 加法、乘法的逆运算的做法相一致． 3. 实部与虚部的要求：若 z ＝ a ＋ bi ，只有当 a ， b∈R 时， a 才是 z 的实部， b 才是 z 的虚部． 【 知识拓展 】 数系扩充的原则 数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1) 增添新元素，新旧元素在一起构成新数集 . (2) 在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质 ( 如运算定律 ) 依然适用 . (3) 旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变 . (4) 新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾． 【 微思考 】 (1) 复数 m ＋ ni 的实部是 m ，虚部是 n 吗？ 提示： 不一定，只有当 m ， n∈R 时， m 才是实部， n 才是虚部． (2)i 可以除以任何实数吗 ? 提示： 不可以 .i 既然与实数之间建立了四则运算关系 , 运算与实数一致，由于在实数运算中 0 不能作除数 , 故 i 不可以除以任何实数 . 【 即时练 】 完成下列表格 ( 分类栏填实数、虚数或纯虚数 ) 4 2-3i 0 6i i 2 实部 虚部 分类 【 解析 】 4 2-3i 0 6i i 2 实部 4 2 0 5 0 -1 虚部 0 -3 0 6 0 分类 实数 虚数 实数 虚数 虚数 纯虚数 实数 知识点 2 复数的相等 对复数相等的两点说明 (1) 两个复数相等的充要条件的理解 若 z 1 =a+bi,z 2 =c+di(a,b,c,d∈R). 则 z 1 =z 2 ⇔ a=c 且 b=d. 利用这一结论 , 可以把复数问题转化为实数问题进行解决 , 并且一个复数等式可以转化为两个实数等式 , 通过解方程组得到解决 . (2) 不能比较大小 : 一般对两个虚数只能说相等或不相等 ; 不能比较大小 . 由于 i 2 <0 与实数集中 a 2 ≥0(a∈R) 矛盾 , 所以实数集中很多结论在复数集中不再成立 . 【 微思考 】 (1)z 1 ,z 2 是复数 ,z 1 -z 2 >0, 那么 z 1 >z 2 , 这个命题是真命题吗 ? 提示 : 假命题 . 例如 ,z 1 =1+i,z 2 =-2+i,z 1 -z 2 =3>0, 但 z 1 >z 2 无意义 , 因为虚数不能比较大小 . (2) 若 z 1 ,z 2 ∈R, 则 z 1 =z 2 =0, 此命题对 z 1 ,z 2 ∈C 还成立 吗 ? 提示 : 不一定成立 . 比如 z 1 =1,z 2 =i 满足 但 z 1 ≠0,z 2 ≠0. (3) 两个复数一定不能比较大小对吗 ? 提示 : 不一定 , 当两个复数都是实数时 , 可以比较大小 ; 两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小 , 即两个复数除去都是实数外 , 没有大小关系 . 【 即时练 】 如果 (x+y)i=x-1, 则实数 x,y 的值分别为 ( ) A.x=1,y=-1 B.x=0,y=-1 C.x=1,y=0 D.x=0,y=0 【 解析 】 选 A. 由已知得 所以 x=1,y=-1. 【 题型示范 】 类型一 复数的概念 【 典例 1】 (1) 给出下列三个命题 :① 若 z∈C, 则 z 2 ≥0;②2i-1 虚部是 2i;③2i 的实部是 0. 其中真命题的个数为　 ( 　　 ) A.0 　　　　　 B.1 　　　　　 C.2 　　　　　 D.3 (2)(2014 · 启东高二检测 ) 已知复数 z=a 2 -(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3, 则实数 a,b 的值分别是 　　　　 . (3) 判断下列命题的真假 . ① 若 x,y∈C, 则 x+yi=1+2i 的充要条件是 x=1,y=2; ② 若实数 a 与 ai 对应 , 则实数集与纯虚数集一一对应 ; ③ 实数集的补集是虚数集 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中虚数的平方是否大于等于 0 ，代数式中的虚部是否一定为实数 ? 2. 题 (2) 中复数 z=a 2 -(2-b)i 实部与虚部分别是什么？ 3. 题 (3) 中实数能否比较大小？①中数 x,y 是否一定为实数？ 【 探究提示 】 1. 虚数的平方不一定大于等于 0 ，实数的平方一定大于等于 0 ，代数式中的虚部一定为实数 . 2. 实部为 a 2 , 虚部为 -(2-b). 3. 实数能够进行大小比较 . 数 x,y 不一定为实数也可能是虚数 . 【 自主解答 】 (1) 选 B. 对于① , 当 z∈R 时 ,z 2 ≥0 成立 , 否则不成 立 , 如 z=i,z 2 =-1<0, 所以①为假命题 ; 对于② ,2i-1=-1+2i, 其虚部为 2, 不是 2i, 所以②为假命题 ; 对于③ ,2i=0+2i, 其实部是 0, 所以③为真命题 . (2) 由题意得 :a 2 =2,-(2-b)=3, 所以 a=± b=5. 答案 : ± 5 (3)① 由于 x,y 都是复数 , 故 x+yi 不一定是代数形式 , 因此不符合 两个复数相等的充要条件 , 故①是假命题 . ② 当 a=0 时 ,ai=0 为实数 , 故②为假命题 . ③ 由复数集的分类知 ,③ 正确 , 是真命题 . 【 方法技巧 】 判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1) 举反例 : 判断一个命题为假命题 , 只要举一个反例即可 , 所以解答这类型题时 , 可按照 “ 先特殊 , 后一般 , 先否定 , 后肯定 ” 的方法进行解答 . (2) 化代数式 : 对于复数实部、虚部的确定 , 不但要把复数化为 a+bi 的形式 , 更要注意这里 a,b 均为实数时 , 才能确定复数的实、虚部 . 【 变式训练 】 下列命题中 : ①1+i 2 =0; ② 若 a,b∈R, 且 a>b, 则 a+i>b+i; ③ 若 x 2 +y 2 =0, 则 x=y=0; ④ 两个虚数不能比较大小 . 其中 , 正确命题的个数是　 ( 　　 ) A.1 　　　　 B.2 　　　　 C.3 　　　　 D.4 【 解析 】 选 B. 对于① , 因为 i 2 =-1, 所以 1+i 2 =0, 故①正确 . 对于② , 两个虚数不能比较大小 , 故②错 . 对于③ , 当 x=1,y=i 时 x 2 +y 2 =0 成立 , 故③错 .④ 正确 . 【 误区警示 】 复数概念易错点 (1) 注意虚部不是 bi, 而是 b. 还要特别注意 , 要保证实部、虚部有意义 . (2) 形如 bi 的数不一定是纯虚数 , 只有限定条件 b∈R 且 b≠0 时 , 形如 bi 的数才是纯虚数 . (3) 不要将复数与虚数的概念混淆 , 实数也是复数 , 实数和虚数是复数的两大构成部分 . 【 补偿训练 】 若复数 z=3+bi>0(b∈R), 则　 ( 　　 ) A.b>0 B.b=0 C.b<0 D. 以上都不正确 【 解析 】 选 B. 只有实数才可以比较大小 , 既然有 3+bi>0, 则说明 z=3+bi 为实数 , 故 b=0. 类型二 复数的分类 【 典例 2】 (1) 复数 z=a 2 -b 2 +(a+|a|)i(a,b∈R) 为纯虚数的充要条件是　 ( 　　 ) A.|a|=|b| 　　　　　　　　 B.a<0 且 a=-b C.a>0 且 a≠b D.a>0 且 a=±b (2) 实数 m 取什么值时 , 复数 (m 2 -3m+2)+(m 2 -4)i 是 : ① 实数 ;② 虚数 ;③ 纯虚数 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中复数 z 为纯虚数满足的条件是什么 ? 2. 复数 z=a+bi(a,b∈R),a,b 为什么时 z 为实数 ,a,b 为什么时 z 为虚数 ?a,b 为什么时 z 为纯虚数 ? 【 探究提示 】 1. 2.b=0 时 z 为实数 ,b≠0 时 z 为虚数 ,a=0,b≠0 时 z 为纯虚数 . 【 自主解答 】 (1) 选 D.a 2 -b 2 =0, 且 a+|a|≠0. 故得 a>0 且 a=±b. (2) 设 z=(m 2 -3m+2)+(m 2 -4)i. ① 要使 z 为实数 , 必须有 m 2 -4=0, 得 m=-2 或 m=2, 即 m=-2 或 m=2 时 ,z 为实数 . ② 要使 z 为虚数 , 必有 m 2 -4≠0, 即 m≠-2 且 m≠2. 故 m≠-2 且 m≠2 时 ,z 为虚数 . ③ 要使 z 为纯虚数，必有 所以 所以 m ＝ 1 ，故 m ＝ 1 时， z 为纯虚数． 【 延伸探究 】 把题 (1) 中的 “ 纯虚数 ” 改为 “ 实数 ” , 则结果如何 ? 【 解析 】 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0, 而 |a|=-a, 所以 a≤0. 【 方法技巧 】 1. 解决复数分类问题的方法与步骤 (1) 化标准式 : 解题时一定 要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R) 的形式 , 以确定实部和虚部 . (2) 定条件 : 复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 , 只需把复数化为代数形式 , 列出实部和虚部满足的方程 ( 不等式 ) 组即可 . (3) 下结论 : 设所给复数为 z=a+bi(a,b∈R),①z 为实数 ⇔ b=0; ②z 为虚数 ⇔ b≠0;③z 为纯虚数 ⇔ a=0 且 b≠0. 2. 复数分类的应用 (1) 参数自身 : 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数 , 首先要保证参数值使表达式有意义 , 其次对参数值的取舍 , 是取 “ 并 ” 还是 “ 交 ” , 非常关键 , 解答后进行验算是很必要的 . (2) 整体与局部 : 对于复数 z=a+bi(a,b∈R), 既要从整体的角度去认识它 , 把复数 z 看成一个整体 , 又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 . 这是解复数问题的重要思路之一 . 【 变式训练 】 m 取何实数时，复数 (1) 是实数？ (2) 是虚数？ (3) 是纯虚数？ 【 解析 】 (1) 因为 z 为实数，所以 所以 所以 m ＝ 5. 所以当 m ＝ 5 时， z 是实数． (2) 因为 z 为虚数，所以 所以 所以 m≠5 且 m≠-3. 所以当 m≠5 且 m≠ － 3 时， z 是虚数． (3) 因为 z 为纯虚数，所以 所以 所以 m ＝ 3 或 m ＝－ 2. 所以当 m ＝ 3 或 m ＝－ 2 时， z 是纯虚数． 【 误区警示 】 形如 a+bi 的复数 , 一定要注意 , 只有当 a,b 是有定义的实数时才能充当复数的实部、虚部 , 在这个前提下 , 研究复数的分类才不易出错 . 【 补偿训练 】 实数 a 取什么值时，复数 z ＝ a － 1 ＋ (a ＋ 1)i 是 (1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数． 【 解析 】 (1) 当 a ＋ 1 ＝ 0 ，即 a ＝－ 1 时，复数 z 是实数． (2) 当 a ＋ 1≠0 ，即 a≠ － 1 时，复数 z 是虚数． (3) 当 即 a ＝ 1 时，复数 z 是纯虚数 . 类型三 复数的相等 【 典例 3】 (1) 已知 x,y 均是实数 , 且满足 (2x-1)+i=-y-(3-y)i, 则 x= 　　　　 ,y= 　　　　 . (2) 已知 M={(a+3)+(b 2 -1)i,8}, 集合 N={3i,(a 2 -1)+(b+2)i}, 同时满足 M∩N M,M∩N≠ , 求整数 a,b. 【 解题探究 】 1. 复数 (2x-1)+i 的实部与虚部分别是多少 ? 复数 -y-(3-y)i 的实部与虚部分别是多少 ? 2. 由条件 M∩N M,M∩N≠ 能得到的结论是什么 ? 【 探究提示 】 1. 复数 (2x － 1) ＋ i 的实部为 2x － 1 ，虚部为 1 ； 复数－ y － (3 － y)i 的实部为－ y ，虚部为－ (3 － y). 2. 由 M∩N M 知两个集合 M ， N 不能相等 . 由 M∩N≠ 能得到两 个集合 M ， N 中有公共元素 . 【 自主解答 】 (1) 由复数相等的充要条件得 答案： (2) 由条件 M∩N M,M∩N≠ 得 (a+3)+(b 2 -1)i=3i; 　　① 或 8=(a 2 -1)+(b+2)i. ② 或 (a+3)+(b 2 -1)i=(a 2 -1)+(b+2)i. 　③ 由①得 a=-3,b=±2, 当 a=-3,b=2 时 ,M={3i,8},N={3i,8+4i} 满足题意 . 经检验 ,a=-3,b=-2 不合题意 , 舍去 . 由②得 b=-2,a=-3 或 b=-2,a=3 当 b=-2,a=-3 时 M={3i,8},N={3i,8} 不合题意 , 舍去 . 当 b=-2,a=3 时 ,M={6+3i,8},N={3i,8} 满足题意 . 由③得 得 a,b 不是整数舍去 . 故 a=-3,b=2 或 a=3,b=-2. 【 方法技巧 】 化复为实转化求解 应用两个复数相等的充要条件时 , 首先要把 “ = ” 左右两侧的复数写成代数形式 , 即分离实部与虚部 , 然后确定两个独立参数列出方程 , 化复数问题为实数问题得以解决 . 【 变式训练 】 已知关于 x 的方程 x 2 +(1-2i)x+(3m-i)=0 有实根 , 求实数 m 的值 . 【 解析 】 设 x=a 为方程的一个实数根 . 则有 a 2 +(1-2i)a+(3m-i)=0, 即 (a 2 +a+3m)-(2a+1)i=0. 因为 a,m∈R, 由复数相等的充要条件 故实数 m 的值为 【 补偿训练 】 已知 P={-1,1,4i},M={1,(m 2 -2m)+(m 2 +m-2)i}. 若 M∪P=P, 求实数 m 的值 【 解析 】 因为 M∪P=P, 所以 M ⊆ P, 即 (m 2 -2m)+(m 2 +m-2)i=-1 或 (m 2 -2m)+(m 2 +m-2)i=4i. 由 (m 2 -2m)+(m 2 +m-2)i=-1 得 m 2 -2m=-1,m 2 +m-2=0, 解得 m=1. 由 (m 2 -2m)+(m 2 +m-2)i=4i 得 m 2 -2m=0,m 2 +m-2=4, 解得 m=2. 综上可知 ,m=1 或 m=2. 【 拓展类型 】 含有虚数单位 i 的不等式 【 备选例题 】 若 z 1 =m 2 -(m 2 -3m)i,z 2 =(m 2 -4m+3)i+10(m∈R), z 1