【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）5平行四边形1 8页

1 一、平行四边形的性质 平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的 2 倍． 平行四边形的面积：底乘以高． 二、平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 例题精讲 一、平行四边形的性质 【例 1】 如图所示，已知四边形 ABCD ，从⑴ AB DC∥ ；⑵ AB DC ；⑶ AD BC∥ ；⑷ AD BC ；⑸ A C   ；⑹ B D   中取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有哪几种 情形？请写出具体组合。 A D B C 【解析】 本题 6 个条件中任取 2 个，共有 15 种组合情形，其中能证明是平行四边形的有 9 种情况： ① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵； ⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹． 【答案】① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵； ⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹． 【例 2】 如图，在平行四边形 ABCD 中， EF BC GH AB EF∥ ， ∥ ， 与 GH 相交于点O ，图中共有 个 平行四边形 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平行四边形 会识别平行四边形 掌握平行四边形的概念、判定和性质， 会用平行四边形的性质及判定解决简 单问题 会运用平行四边形 的性质及判定解决 有关问题 平行四边形 2 【解析】省略 【答案】 9 个 【例 3】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【解析】省略 【答案】B 【例 4】 如图，在平行四边 ABCD 中， AC 、 BD 为对角线， 6BC  ， BC 边上的高为 4 ，则阴影部分的 面积为（ ）． A．3 B．6 C．12 D．24 【解析】利用平行线的性质及割补法可得 C． 【答案】C 【例 5】 如图，在平行四边 ABCD 中，已知 8cmAD  ， 6cmAB  ， DE 平分 ADC 交 BC 边于点 E ，则 BE 等于 cm ． 【解析】过E 作EF AB∥ 交 AD 于点F，由于DE 平分 ADC ，有 ADE EDC CED FED       即， 6EF FD EC AB    ，即 2BE AF AD AF    【答案】见解析 【例 6】 如图，在平形四边形 ABCD 中， CE AB ， E 为垂足．如果 125A   ，则 BCE  ． 3 【解析】过A 作 AF CE∥ 交CD 于点F，可得四边形AECF 为矩形，从而有 (BCE AFD HL ≌ ） 则 125 90 35o o oBCE FAD      【答案】见解析 【例 7】 如图，平行四边形 ABCD 的周长是 28cm ， ABC△ 的周长是 22cm ，则 AC 的长为 ． 【解析】略 【答案】8cm 【例 8】 如图，平行四边形 ABCD 中， 3 5AB BC AC ， ， 的垂直平分线交 AD 于 E ，则 CDE△ 的 周长是 【解析】由中垂线定理可知 AE=EC，则 CDE△ 的周长为 8AD CD  【答案】8 【例9】 M 为平行四边形 ABCD 两个角平分线 AM 和BM 的交点，AM 3 ， 4BM  ，平行四边形 ABCD 的周 长为18，则BC  ． 【解析】由于 AM、BM 均为角平分线，故 90oAMB  ，则由勾股定理可得 AB=5 即可得 BC=4 【答案】4 【例 10】 平行四边形的两个邻边得长分别为 16 和 20，两条长边间的距离为 8，则短边间的距离 为 ． 【解析】由平行四边形面积公式即可得 【答案】10 4 【例 11】 如图，在平行四边形 ABCD 中， AE BC 于 E ， AF CD 于 F ，若 4, 6AE AF  ，平行四 边形的周长为 40，则平行四边形 ABCD 的面积为 。 【解析】连接 AC，将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和 可设 BC x ，则 20CD x  ，有 4 6(20 )x x  ，可得 12BC  ， 8CD  则平行四边形的面积为：(12 4) / 2 (8 6) / 2 48    【答案】48 【例 12】 如图，平行四边形 ABCD 中，BE CD 于 E ，BF AD 于点 F ， 2, 1, 60 ,CE DF EBF     则平行四边形 ABCD 的面积为 。 【解析】由于 60EBF   且 BE CD ，则 30ABF   ， 60A   ， 30EBC   又有 2CE  ，可得 4CB  。又由 1DF  ，可得 3 3BF  则平行四边形的面积为： 4 3 3 12 3  【答案】12 3 【例 13】 如图，点 E F， 是平行四边形 ABCD 对角线上的两点，且 BE DF ，那么 AF 和CE 相等吗？ 请说明理由 【解析】因为 ABCD 是平行四边形 所以 AD BC AD BC ， ∥ 所以 1 2   ，又因为 1 180ADF     ， 2 180EBC     所以 ADF EBC   又因为 BE DF ， 所以 ADF CBE ≌ ，所以 AF CE 【答案】 AF CE 【例 14】 已知如图：平行四边形 ABCD 中， CN AM ， AE CF ，求证：四边形 MENF 是平行四边 5 形． 【解析】 AME△ CFN≌△ ，得到 ,NF EM EF EM ∥ ，即四边形 MENF 是平行四边形 【答案】略 【例 15】 已知如图： BAD DAC   ， BE MN∥ ， BN EM∥ ，求证： AM BN ． 【解析】 BE MN∥ ，BN EM∥ ，四边形 BNME 为平行四边形，平行加角平分线得出 AME△ 为等腰三角 形，然后根据 NB ME ，故 AM BN 【答案】略 【例 16】 如图， ,E F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， AE CF . 求证：（1） ADF ≌ CBE ； （2） EB DF∥ . A F E D C B 【解析】（1）∵ AE CF ， ∴ AE EF CF FE   ，即 AF CE . 又∵ ABCD 是平行四边形， ∴ ,AD CB AD BC ∥ . ∴ DAF BCE   . ∴ ADF ≌ CBE （2）∵ ADF ≌ CBE ∴ DFA BEC   . ∴DF EB∥ . 【答案】（1）∵ AE CF ， ∴ AE EF CF FE   ，即 AF CE . 又∵ ABCD 是平行四边形， ∴ ,AD CB AD BC ∥ . ∴ DAF BCE   . ∴ ADF ≌ CBE （2）∵ ADF ≌ CBE ∴ DFA BEC   . 6 ∴DF EB∥ . 【例 17】 如图，已知：在平行四边形 ABCD 中， BCD 的平分线CE 交边 AD 于 E ， ABC 的平分线 BG 交 CE 于 F ，交 AD 于G ．求证： AE DG ． F G E D C B A 【解析】⑴ ①（答案不惟一） ⑵ ∵四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ∴ AD BC∥ ， AB CD （平行四边形的对边平行且相等） ∴ GBC BGA   ， BCE CED   （两直线平行，内错角相等） 又∵ BG 平分 ABC ，CE 平分 BCD （已知） ∴ ABG GBC   ， BCE ECD   （角平分线定义） ∴ ABG AGB   ， ECD CED   ． ∴ AB AG ， CE DE （在同一个三角形中，等角对等边） ∴ AG DE ∴ AG EG DE EG   ，即 AE DG 【答案】⑴ ①（答案不惟一） ⑵ ∵四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ∴ AD BC∥ ， AB CD （平行四边形的对边平行且相等） ∴ GBC BGA   ， BCE CED   （两直线平行，内错角相等） 又∵ BG 平分 ABC ，CE 平分 BCD （已知） ∴ ABG GBC   ， BCE ECD   （角平分线定义） ∴ ABG AGB   ， ECD CED   ． ∴ AB AG ， CE DE （在同一个三角形中，等角对等边） ∴ AG DE ∴ AG EG DE EG   ，即 AE DG 课后作业 【习题 1】如图，四边形 ABCD 为平行四边形，即 AB CD∥ ， AD BC∥ ．通过证明三角形全等来说明： ⑴ AB CD ， AD BC ．（对边相等） ⑵ AO CO ， BO DO ．（对角线互相平分） O D C B A 【解析】省略 【答案】⑴ ∵ AB CD∥ ， AD BC∥ ∴ ABD CDB   ， ADB CBD   在 ABD 和 CDB 中， ABD CDB BD DB ADB CBD         7 ∴ ABD CDB ≌ ∴ AB CD ， AD BC ． ⑵ 在 ABO 和 CDO 中， ABO CDO AOB COD AB CD         ∴ AO CO ， BO DO ． 【习题 2】在平行四边形 ABCD 中，点 1A 、 2A 、 3A 、 4A 和 1C 、 2C 、 3C 、 4C 分别为 AB 和 CD 的五等分点， 点 1B 、 2B 和 1D 、 2D 分别是 BC 和 DA 的三等分点，已知四边形 4 2 4 2A B C D 的面积为1，则平行四 边形 ABCD 面积为（ ） A．2 B． 3 5 C． 5 3 D．15 【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得 C． 【答案】C 【习题 3】如图，已知： AD 是 ABC 的角平分线， DE AB∥ ，在 AB 上截取 BF AE ，连接 DE EF， ，求 证：四边形 BDEF 是平行四边形 【解析】省略 【答案】因为 AD 平分 BAC 所以 BAD CAD   因为 DE AB∥ ，所以 BAD ADE   所以 EAD ADE DE AE   ， 因为 BF AE ，所以 DE BF 因为 DE BF∥ ，所以 BDEF 是平行四边形 【习题 4】如图， ABC 中， D 是 AB 的中点， E 是 AC 上任意一点， EF ∥ AB ， DF ∥ BE ．求证： DF 与 AE 互相平分． 8 【解析】省略 【答案】连结 AF 、 DE ． ∵ EF ∥ AB ， DF ∥ BE ，∴四边形 BDFE 是平行四边形 ∴ EF BD ∵ AD BD ，∴ AD EF ∵ AD ∥ EF ，∴四边形 ADEF 是平行四边形 ∴ DF 与 AE 互相平分