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- 2021-06-23 发布
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《作业推荐》—椭圆的几何意义A卷基础篇
一、单选题(共 50 分)
1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1 , F2在x轴上，离心率为 22，过F1的直线l交椭圆于A , B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为( )
A.x28+y24=1 B.x216+y24=1
C.x28+y216=1 D.x216+y28=1
【答案】D
【解析】
【分析】
结合椭圆定义可知ΔABF2的周长为4a，由此求得a；利用离心率可求得c；根据椭圆b2=a2−c2可求得b2，进而得到椭圆方程.
【详解】
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0
由椭圆定义知：AF1+AF2=BF1+BF2=2a ∴ΔABF2的周长为4a
即4a=16，解得：a=4
∵e=ca=22 ∴c=22 ∴b2=a2−c2=16−8=8
∴椭圆C的方程为x216+y28=1
故选：D
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.
2.已知，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若ΔPF1F2为等边三角形，则C的离心率为（ ）
A.12 B.22 C.32 D.3−1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得出P为椭圆短轴的两个顶点之一，再由勾股定理得出b2+c2=(2c)2，结合a2=b2+c2得出a=2c，最后由离心率公式即可得出答案.
【详解】
因为ΔPF1F2为等边三角形，F1，F2是椭圆C的两个焦点
所以P为椭圆短轴的两个顶点之一
由勾股定理得b2+c2=(2c)2，并且a2=b2+c2，即a=2c
所以e=c2c=12
故选：A
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的离心率，属于基础题.
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的右焦点F2作圆O的切线，切点分别为A,B，若四边形F2AOB为正方形，则椭圆的离心率为( )
A.13 B.63 C.12 D.22
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知圆的半径为b,OF2=c,由正方形性质即可求得椭圆的离心率.
【详解】
以O为圆心,短半轴长为半径作圆O
则圆O的半径为b,且OF2=c
四边形F2AOB为正方形,由正方形性质可得OF2=2b
即c=2b,椭圆中满足a2=b2+c2
代入化简可得a2=32c2
所以ca=23=63
故选:B
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质应用,椭圆离心率的求法,属于基础题.
4.已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF1=2PF2，若ΔPF1F2为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A.23 B.23或13 C.12 D.12或22
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义即可求得，注意分类讨论，以免形成错解.
【详解】
①若PF2=F1F2=2c，则PF1=4c=2c+2c，这样的三角形不存在；
②若PF1=F1F2=2c，则PF1+PF2=2c+c=3c=2a，此时离心率e=23.
故该椭圆的离心率为23.
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，属基础题.
5.已知点F是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，直线y=2b3与椭圆交于A，B两点，且∠AFB=90°，则该椭圆的离心率为（ ）
A.14 B.33 C.12 D.55[来源:学科网ZXXK]
【答案】D
【解析】
【分析】
令椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0中的y=2b3，可解得A、B两点的坐标，根据kAF⋅kBF=-1，即可求得a,b,c之间的关系式，利用b2=a2-c2，得到a,c关系式，即可得离心率.
【详解】
令x2a2+y2b2=1a>b>0中的y=2b3，可解得x=±53a，
不妨设A-53a,2b3,B(53a,2b3)，又F(-c,0)
根据∠AFB=90°，故可得kAF⋅kBF=-1
即2b3-53a+c⋅2b353a+c=-1，整理得49b2=59a2-c2
又b2=a2-c2，代入可得a2=5c2，
故e2=15,e=55.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，其重点是根据斜率之积为-1，建立a,b,c的齐次式.
6.已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点M在E上（不与顶点重合），ΔMF1F2为等腰直角三角形，则E的离心率为（ ）
A.2+1 B.2−1 C.3−12 D.3+12
【答案】B[来源:学科网]
【解析】
【分析】
先根据ΔMF1F2为等腰直角三角形可得MF1,MF2，结合椭圆的定义可求离心率.
【详解】
由题意ΔMF1F2为等腰直角三角形，不妨设MF1⊥F1F2，则MF1=F1F2=2c,MF2=22c，
由椭圆的定义可得22c+2c=2a，解得ca=12+1=2−1.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建a,b,c间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.
7.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，上顶点为B，且OA=3OB（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A.233 B.63 C.22 D.33
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得a=3b以及a2=b2+c2,消去b,结合离心率的定义可得答案.
【详解】
依题意可知a=3b,即b=33a,
又c=a2−b2=a2−(33a)2=63a,
所以该椭圆的离心率e=ca=63.
故选:B
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率,关键是由OA=3OB得到a=3b,属于基础题.
8.椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，点F1，F2为椭圆C在左、右焦点，在椭圆C上存在点P，使PF1⋅PF2=2c2，则椭圆的离心率范围是（ ）
A.12,+∞ B.33,22 C.12,33 D.1,33
【答案】C
【解析】
【分析】
设P(x,y)，根据椭圆的焦点坐标以及数量积公式得出x2+y2=3c2，则点P在以原点为圆心，3c为半径的圆上，确定3c的大小，使得该圆与椭圆有交点，得出b≤3c≤a，由a,b,c的关系化简得出椭圆的离心率范围.
【详解】
设P(x,y)，则PF1⋅PF2=x2+y2−c2，∴x2+y2=3c2
∴点P在以原点为圆心，3c为半径的圆上，该圆与椭圆有交点，
∴b≤3c≤a，则131−e2≤e≤33，解得12≤e≤33
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的离心率的范围，属于基础题.
9.椭圆x216+y212=1的左、右顶点分别为A1、A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角A1−B1B2−A2的平面角大小为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程可求得a,c.由折叠所得二面角中A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点,可得cos∠A1OA2,即可求得二面角A1−B1B2−A2的平面角大小.
【详解】
由椭圆x216+y212=1的方程可知,a=4,c=2
将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角A1−B1B2−A2的大小即为∠A1OA2
因为A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点
则cos∠A1OA2=24=12
所以∠A1OA2=60∘,即二面角A1−B1B2−A2的平面角大小60∘.
故选:B
【点睛】
本题考查了椭圆方程的简单性质,二面角大小及求法,属于基础题.
10.倾斜角为π6的直线经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且AF→=3FB→，则椭圆的离心率为（ ）
A.32 B.22 C.23 D.33
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线AB的方程y=33(x−c)，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得a2＝3c2，即可求得椭圆的离心率；
【详解】
设直线AB的方程：y＝33（x﹣c），A(x1，y1),B(x2，y2)
联立y=33(x−c)b2x2+a2y2=a2b2，整理得：（a2+3b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣3a2b2＝0，
x1+x2=2a2ca2+3b2，①，
x1x2=a2c2−3b2a2+3b2，②
由AF=3FB，得(c−x1,−y1)=3(x2−c,y2)，则3x2+x1=4c，③
解得：x1=a2c−6b2ca2+3b2，
x2=a2c+6b2ca2+3b2，
则a2c−6b2ca2+3b2•a2c+6b2ca2+3b2＝a2c2−3b2a2+3b2，
整理得：2a2＝3b2，可得a2＝3c2，
椭圆的离心率e＝ca＝33．
故选：D
【点睛】
本题考查椭圆的性质的应用，考查向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，选择合适的方程，代入椭圆方程，可以简化运算，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
二、填空题(共 25 分)
11.设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B,满足BF1=F1F2，且AB⊥AF2，则椭圆的离心率为______.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可构造出关于a,c的齐次方程，由此可求得离心率.
【详解】
∵BF1=F1F2 ∴F1为BF2中点，又AB⊥AF2 ∴AF1=F1F2
即b2+c2=a=2c ∴e=ca=12
故答案为：12
【点睛】
本题考查离心率的求解问题，关键是能够根据直角三角形斜边中线等于斜边一半构造出关于a,c的齐次方程.
12.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，左顶点为A，上顶点为B，若BF1是ΔBAF2的中线，则该椭圆的离心率为_______________.
【答案】13
【解析】
【分析】
利用AF1=F1F2可得a,c的关系，从而得到离心率的值.
【详解】
因为BF1是ΔBAF2的中线，所以AF1=F1F2即a−c=2c，故ca=13.
故答案为：13.
【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a,b,c的不等式或不等式组．
13.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|=34|AF|，则该椭圆的离心率是__________．
【答案】14
【解析】
根据椭圆几何性质可知|PF|=b2a，|AF|=a−c，所以b2a=34(a+c) ，即4b2=3a2−3ac ，由因为b2=a2−c2，所以有4(a2−c2)=3a2+3ac，整理可得4c2+3ac−a2=0 ，两边同除以a2得：4e2+3e−1=0 ，所以(4e−1)(e+1)=0，由于0b>0)的离心率为32，直线y=x被椭圆C截得的线段长为4105，则椭圆C的方程为________.[来源:学科网]
【答案】x24+y2=1
【解析】
【分析】
由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
【详解】
由题意有ca=a2−b2a=32，得a2=4b2 [来源:Zxxk.Com]
所以椭圆的方程可化为：x2+4y2=a2.
由y=xx2+4y2=a2得：x2=a25,y2=a25
由直线y=x被椭圆C截得的线段长为4105
即4105=2a25+a25，解得：a=2，则b=1
所以椭圆的方程为：x24+y2=1
故答案为：x24+y2=1
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，属于基础题.
15.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF1//AB，则此椭圆的离心率为______．
【答案】55
【解析】
【分析】
先求得P点的坐标，根据两直线平行，斜率相等列出方程，化简这个方程后可求得离心率.
【详解】
如图所示，把x=-c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）可得P-c,b2a，
又A0,b，Ba,0，F2c,0，∴kAB=-b2ac，
∵PF2∥AB，∴-ba=-b22ac，化简得b=2c.[来源:学科网]
∴4c2=b2=a2-c2，即a2=5c2，∴e=c2a2=55.
【点睛】
本小题考查椭圆的标准方程和几何性质.通过椭圆上常见点的坐标和两直线平行这个条件，列方程后，将方程转化为ca的形式，由此求得离心率.属于基础题.
三、解答题(共 25 分)
16.焦点在x轴上的椭圆的方程为x24+y2m=1，点P(2,1)在椭圆上.
（1）求m的值.
（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长22、焦距22、离心率22
【解析】
【分析】
（1）根据题意，代入点P(2,1)，即可求解.
（2）由（1），写出椭圆方程，求解a,b,c，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.
【详解】
（1）由题意，点P(2,1)在椭圆上，代入，
得224+12m=1，解得m=2
（2）由（1）知，椭圆方程为x24+y22=1，则a=2,b=2,c=2
椭圆的长轴长2a=4；’
短轴长2b=22；
焦距2c=22；
离心率e=ca=22.
【点睛】
本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.
17.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求PF1⋅PF2的最大值与最小值.
【答案】(1)x24+y2=1；(2) 最大值为1，最小值为-2.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出a,b,c的方程组，解方程组即可求得方程；
（2）设出点的坐标，根据点在椭圆上则点的坐标满足椭圆方程，结合向量的数量积运算，即可求得.
【详解】
（1）由题可知：ca=32，a=2，a2=b2+c2，
解得a2=4,b2=1,c2=3，
故椭圆方程为x24+y2=1.
（2）设点P的坐标为x0,y0，则x024+y02=1.
根据（1）可得焦点坐标分别为F1-3,0,F2(3,0)，
则PF1⋅PF2=-3-x0,-y0⋅(3-x0,-y0)
=x02+y02-3
=34x02-2.
根据椭圆的几何性质，可知x0∈[-a,a]，即a∈[-2,2]，
故可得34x02-2∈[-2,1].
故PF1⋅PF2的最大值为1，最小值为-2.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的求解，属综合基础题.
18.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，点(1,32)在E上.
（1）求E的方程；
（2）设直线l:y=kx+2与E交于A，B两点，若OA⋅OB=2，求k的值.
【答案】（1）x24+y2=1（2）k=±426
【解析】
【分析】
（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；
（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.
【详解】
（1）解：由题意得e=ca=32，所以c=3a2，b2=a2-c2=14a2①，
又点(1,32)在E上，所以12a2+34b2=1②，联立①②，解得a=2，b=1，
所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1.
（2）解：设A，B的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，依题意得，
联立方程组x24+y2=1y=kx+2消去y，得(1+4k2)x2+16kx+12=0.
Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0，k2>34，
x1+x2=-16k1+4k2，x1x2=121+4k2，
OA⋅OB=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)⋅121+4k2+2k⋅-16k1+4k2+4
=12-20k21+4k2+4，
∵OA⋅OB=2，∴12-20k21+4k2+4=2，k2=76>34
所以，k=±426.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.已知离心率e=22的椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为(-1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为l的直线l交椭圆C于A,B两点,且AB=423,求直线l的方程.
【答案】（1）x22+y2=1；（2）y=x+1或y=x−1
【解析】
【分析】
（1）根据离心率e=22，一个焦点为（﹣1，0），求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，求出m，即可求直线l方程．
【详解】
(1)由题意知,c=1, e=ca=22,
∴a=2,b=1,
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,点Ax1,y1,Bx2,y2
联立方程组x22+y2=1,y=x+m,
化简,得3x2+4mx+2m2-2=0.
由已知得, △=16m2-122m2-2=-8m2+24>0,
即m2<3,∴-3b>0)经过点A(1,22).
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过点A的直线l:y=22x+m交椭圆E于B,C两点，求ΔABC面积的最大值.
【答案】（1）x22+y2=1，（2）22
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为22，可得ca=12,可设椭圆方程为x22n2+y2n2=1，再代入点A的坐标得代入设出的椭圆的方程，即可得椭圆E
的方程
（Ⅱ）先设点B，C的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，将直线方程与椭圆的方程联立：消去一个元，得到一个一元二次方程.再求解判别式：写出根与系数的关系.计算点A到直线l的距离，得到用m表示ΔABC的面积，利用基本不等式求出ΔABC面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）因为ca=12,所以设a=2n，c=n，则b=n，椭圆E的方程为x22n2+y2n2=1.
代入点A的坐标得12n2+12n2=1，n2=1，所以椭圆E的方程为x22+y2=1.
（Ⅱ）设点B，C的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
由y=22x+mx2+2y2=2得x2+2(12x2+2mx+m2)=2，即x2+2mx+m2−1=0，
x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2−1
Δ=2m2−4(m2−1)>0，m2<2.
|BC|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2] =32[2m2−4(m2−1)] =32(4−2m2)，
点A到直线l的距离d=|m|32，
ΔABC的面积S=12|BC|⋅d =1232(4−2m2)⋅|m|32 =22m2(2−m2)
≤22⋅m2+2−m22=22，当且仅当m2=2−m2，即m2=1时等号成立.
所以当m=±1时，ΔABC面积的最大值为22.
考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题.
【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
