- 632.00 KB
- 2021-06-23 发布
2017-2018学年山东省枣庄市第八中学东校区高二下学期期末考试数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数，若是纯虚数，则实数等于（ ）
A．2 B．1 C．0或1 D．-1
2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
3.随机变量，若，则为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
4.某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有一名女生的选法为（ ）
A．14 B．8 C．6 D．4
5.从1，2，3，4，5中不放回地依次取2个数，事件表示“第1次取到的是奇数”，事件表示“第2次取到的是奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
6.展开式中的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.已知函数，是的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9.曲线和直线所围成图形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.6名同学安排到3个社区，，参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到社区，乙和丙同学均不能到社区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）
13.已知随机变量，且，则 ．
14.已知直线与曲线相切，则实数的值是 ．
15.若，则 ．
16.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，可解得（负值舍去）”.那么，可用类比的方法，求出的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17.在的展开式中，求：
（1）第3项的二项式系数及系数；
（2）含的项.
18.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生人数.
（1）求的分布列；
（2）求所选3个中最多有1名女生的概率.
19.某品牌新款夏装即将上市，为了对新款夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：
连锁店
店
店
店
售价（元）
80
86
82
88
84
90
销量（件）
88
78
85
75
82
66
（1）分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；
（2）在大量投入市场后，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该新夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元？（保留整数）
附：，.
20.为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
优秀
非优秀
总计
男生
40
20
60
女生
20
30
50
总计
60
50
110
（1）试判断是否有的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛.现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望.
附：.
0.500
0.400
0.100
0.010
0.001
0.455
0.708
2.706
6.635
10.828
21.一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个.每张卡片被取出的概率相等.
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片，设取次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望.
22.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；
（3）设，其中.若恒成立，求的取值范围.
高二数学（理）答案
一、选择题
1-5: BDBAD 6-10: CBACB 11、12：CB
二、填空题
13. 128 14. 15. -1 16.
三、解答题
17.解：（1）第3项的二项式系数为，
又，所以第3项的系数为240.
（2），
令，得.所以含的项为第2项，且.
18.解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2，，.
其分布列为：
0
1
2
（2）由（1）知所选3人中最多有一名女生的概率为
.
19.解：（1），，三家连锁店平均售价和销量分别为：，，，
∴，，
∴
，
∴，.
（2）设该款夏装的单价应定为元，利润为元，
则.
当时，取得最大值，故该款夏装的单价应定为80元.
20.解：（1），
因为，，
所以有的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.
（2）的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以的分布列为：
0
1
2
3
.
（或因为，所以）
21.解：（1）记“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是偶数”为事件，
事件总数为，
因为偶数加偶数，奇数加奇数，都是偶数，则事件种数为，
得.所得新数是偶数的概率.
（2）所有可能的取值为1，2，3，4，
根据题意得，，
，，
故的分布列为
1
2
3
4
.
22.解：（1）由已知.
所以，在区间上，函数在上单调递减，
在区间上，函数在区间上单调递增.
（2）设，.
，由（1）知，函数在区间上单调递增.
且，.
所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.
（3）设，，定义域为，
，
令，则，
由（2）知，在区间上只有一个零点，是增函数，
不妨设的零点为，则，
所以，与在区间上的情况如下：
-
0
+
所以，函数的最小值为，
，
由，得，
所以.
依题意，即，解得，
所以，的取值范围为.