2012年广东省河源市中考数学试题（含答案） 9页

2012 年中考数学试题（广东河源卷） （本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟） 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 1． ＝【 】 A．－2 B．2 C．1 D．－1 【答案】C。 2．下列图形中是轴对称图形的是【 】 【答案】C。 3．为参加 2012 年“河源市初中毕业生升学体育考试”，小峰同学进行了刻苦训练， 在投掷实心球时，测得 5 次投掷的成绩(单位：m)为：8、8.5、9、8.5、9.2．这组数据的众数和中位数依次 是【 】 A．8.64，9 B．8.5，9 C．8.5，8.7 5 D．8.5，8.5 【答案】D。 4．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【 】 A．150º B．210º C．105º D．75º 【答案】A。 5．在同一坐标系中，直线 y＝x＋1 与双曲线 y＝1 x的交点个数为【 】 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D． 不能确定 【答案】A。 0 2 1     −− 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分 ，满分 20 分） 6．若代数式－4x6y 与 x2ny 是同类项，则 常数 n 的值为 ▲ ． 【答案】3。 7．某市水资源十分丰富，水力资源的理论发电量约为 775 000 千瓦，这个数据用 科学记数法表示为 ▲ 千瓦． 【答案】7.75×105。 8．正六 边形的内角和为 ▲ 度． 【答案】720。 9．春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投 影实验，这块正方形木板在 地面上形成的投影可能是 ▲ (写出符合题意的两个图形即可)． 【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。 10．如图，连接在一起的两个正方 形的边长都为 1cm，一个微型机器人由点 A 开 始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边 循环移动．①第一次到达点 G 时，微型机器人移动了 ▲ cm； ②当微型机器人移动了 2012cm 时 ，它停在 ▲ 点． 【答案】7；E。 三、解答题（一）（本大题共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分） 11．计算： ． 【答案】解：原式= 。 12．解不等式组：{x＋3＞0， 2(x－1)＋3 ≥ 3x． 解不等式组： ，并判断﹣1、 这两个数是否为该不等式组的解． 【答案】解： ， 1 3 160sin2123 −     ++−−  33 2 3+2 +3= 3 2 3+ 3+3=32 − ⋅ − ( ) x+3 0 2 x 1 +3 3x > − ≥ 2 ( ) x+3 0 2 x 1 +3 3x > − ≥ ① ② 由①得 x＞﹣3；由②得 x≤1。 ∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1， 13．我市某中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、木棉树和柳树，为了解 学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如下统计图：[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 请呢根 据统计图提供的信息，解答以下问题(直接填写答案)： (1)该中学一共随机调查了 人； (2)条形统计图中的 m＝ ，m＝ ； (3)如果在该校随机调查一位学生，那么该学生喜爱香樟树的概率是 ． 【答案】解：（1）200。 （2）70；30。 （3） 。 14．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△AOB 的 三个顶点均在格点上， 点 A、B 的坐标分别为(3，2)、(1，3)．△AOB 绕点 O 逆时针旋 转 90º 后得到△A1OB1． (1)点 A 关于 O 点中心对称的点的坐标为 ； (2)点 A1 的坐标为 ； (3)在旋转过程中，点 B 经过的路径为弧 BB1，那么弧 BB1 的长为 ． 7 20 【答案】解：（1） （﹣3，﹣2）。 （2） （﹣2，3）。 （3） 。 15．如图，已知 AB＝CD，∠B＝∠C，AC 和 BD 交于点 O，E 是 AD 的中点，连接 OE． (1)求证：△AOD≌△DOC； (2)求∠AEO 的度数． 【答案】解：（1）证明：在△AOB 和△COD 中，∵∠B＝∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC， ∴△AOB≌△COD（AAS）。 （2）∵△AOB≌△COD，∴AO=DO。 ∵E 是 AD 的中点，∴OE⊥AD。∴∠AEO=90°。 四、解答题（二）（本大题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分） 16．如图所示的曲线 是函数 y＝m－5 x (m 为常数)图象的一支． (1)求常数 m 的取值范围； (2)若该函数的图象与正比例函数 y＝2x 的图象在第一象限的交点为 A(2，n)，求点 A 的坐标及反比例 函数的解析式． 【答案】解：（1）∵函数 y＝m－5 x (m 为常数)图象的一支在第一象限， ∴m－5＞0，解得 m＞5。 （2）∵函数 y＝m－5 x 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象在第一象限的交点为 A(2，n)， ∴ ，解得 。 10 2 π m 5n= 2 n=4 −  n=4 m=13    ∴ 点 A 的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为 y＝ 。 17．解方程： 4 x2－1＋x＋2 1－x＝－1． 【答案】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得 4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1）， 整理，得，3x=1，解得 。[来源:Z,xx,k.Com] 经检验， 是原方程的根。 ∴原方程的解是 。 18．如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD 交 AC 于点 E． (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)若 AD2＝AC·AE，求证：BC＝CD． 【答案】证明：（1）∵∠A 与∠B 都是弧 所对的圆周角， ∴∠A=∠B， 又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。 （2）∵AD2=AE•AC，∴ 。 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。 又∵AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ADC=90°。∴∠AED=90°。 ∴直径 AC⊥BD，∴CD=CB。 8 x 1x= 3 1x= 3 1x= 3 CD AE AD=AD AC 19．一辆警车在高速公路的 A 处加满油，以每小时 60 千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油 箱内的余油量 y( 升)与行驶的时间 x(小时)的函数关系的图象是如图所示的直线 l 的一部分． (1)求直线 l 的 函数表达式；[来源:学_科_网] (2)如果警车要回到 A 处，且要求警车的余油量不能少于 1 0 升，那么警车可以以行驶到离 A 处的最远 距离是多少？ 【答案 】解：（1）设直线 l 的解析式是 y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得 ，解得 。 ∴直线 l 的解析式是：y=﹣6x+60。 （2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得 x≤ 。 ∴警车最远的距离可以到： 千米。 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，满分 27 分） 20．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以 A、C 为圆心，以大于 1 2AC 的长为半径在 AC 的两边 作弧，交于点 M、N；②连接 MN，分别交 AB、AC 于点 D、O；③过点 C 作 CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD． (1)求证：四边形 ADEC 是菱形； (2)当∠ACB＝90º，BC＝6，△ACD 的周长为 18 时，求四边形 ADEC 的面积． k+b=45 3k+b=42    k= 6 b=60 −   25 3 25 160 =2503 2 × × 【答案】（1）证明：由作法可知：直线 DE 是线段 AC 的垂直平分线， ∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且 AD=CD，AO=CO。 又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。[来源:学科网 ZXXK] ∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四边形 ADCE 是菱形。 （2）解：当∠ACB=90°时， 由（1）知 AC⊥DE，∴OD∥BC。 ∴△ADO∽△ABC。∴ 。 又∵BC=6，∴OD=3。 又∵△ ADC 的周长为 18，∴AD+AO=9， 即 AD=9﹣AO。 ∴ ，解得 AO=4 ∴ 。 21．(1)已知方程 x2＋px＋q ＝0(p2－4q≥0)的两根为 x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q． (2)已知抛物线 y＝x2＋px＋q 与 x 轴交于点 A、B，且过点(―1，―1)，设线段 AB 的长为 d，当 p 为 何值时，d2 取得最小值并求出该最小值． 【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0， ∴ 。 （2）解：把（﹣1，﹣1）代入 y=x2+px+q 得 p﹣q=2，即 q=p﹣2。 设抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A、B 的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。 ∵d=|x1﹣x2|， ∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。 ∴当 p=2 时，d 2 的最小值是 4。 OD AO 1 CB AC 2 = = ( )22 2 2OD= AD AO 9 AO AO 3− = − − = ADCE ADO 1 1S 4S 4 OD AO=4 3 4 242 2∆= = ⋅ ⋅ ⋅ × × × = 1 2 1 2 b cx x = p x x =qa a + = − − ⋅ =， 22．如图，矩形 OABC 中，A(6，0)、C(0，2 3)、 D(0，3 3)，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行， 点 P、Q 分 别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º． (1)点 B 的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ； (2)设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应 的自 变量 x 的取值范围． 【答案】解：（1）（6，2 ）。 30。（3，3 ）。 （2）当 0≤x≤3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 l∥BC∥OA， 可得 ，∴EF= （3+x）， 此时重叠部分是梯形，其面积为： 当 3＜x≤5 时，如图 2， 当 5＜x≤9 时，如图 3， 3 3 EF PE DC 3 1= =OQ PO DO 33 3 = = 1 3 EFQO 1 4 3 4 3S S EF OQ OC 3 x x 4 32 3 3 = = + ⋅ = + +梯形 （ ） （ ）= ( ) HAQEFQO EFQO 2 2 1S S S S AH AQ2 4 3 3 3 13 3 3x 4 3 x 3 x x3 2 2 3 2 ∆= − = − ⋅ ⋅ = + − − − + − = 梯形 梯形 。 1 2S BE OA OC 3 12 x2 3 2 3= x 12 33 = + ⋅ = − − + （ ） （ ） 。 当 x＞9 时，如图 4， 。[来源:学科网] 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 。 1 1 18 3 54 3S OA AH 6 =2 2 x x = ⋅ = ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 x 4 3 0 x 33 3 13 3 3x x 3 x 52 3 2S 2 3 x 12 3 5 x 93 54 3 x 9x < < >  + ≤ ≤   − + − ≤=  − + ≤   