2020九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程中的思想方法同步辅导素材新人教版 1页

一元二次方程中的思想方法 ‎ 一、转化思想 例1 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2-ab，例如1※3=12-1×3.若x※4=0，则x=______.‎ 分析：观察“新运算”的要求，将新运算转化为我们熟悉的运算，再解方程可得x的值.‎ 解：由题意，得x※4=x2-4x=0，解得x1=0，x2=4.‎ 故答案为0或4.‎ 二、 整体思想 例2 已知x2-2x-3＝0，则2x2-4x的值为 （ ）‎ A．-6 B．‎6 C．-2或6 D．-2或30‎ 分析：先将条件变形为x2-2x＝3，再将2x2-4x转化为2（x2-2x）的形式，把x2-2x＝3整体代入即可．‎ 解：将x2-2x-3＝0，变形为x2-2x＝3，所以2x2-4x＝2（x2-2x）=2×3＝6，故选 B．‎ 三、分类讨论思想 例3 等腰三角形一条边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x＋k=0的两个解，则k的值是 （ ） ‎ A．27 B．‎36 C．27或36 D．18‎ 分析：题中没有说明已知的边长3是腰还是底边，故需要分腰为3，或底边为3两种情况讨论，分别代入求出k的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边舍去不符合题意的答案.‎ 解：当等腰三角形的腰长为3时，则x=3也是一元二次方程x2-12x＋k=0的一个解，把x=3代入x2-12x＋k=0，解得k=27.此时方程的另一解为9，则三角形的底边长为9.因为3+3＜9，所以不能组成三角形，故k≠27.‎ 当等腰三角形底边长为3时，一元二次方程x2-12x＋k=0有两个相等的实数根，则=0，即122-4k=0，解得k=36，此时方程的解为x1=x2=6，等腰三角形的三边长分别为3，6，6，满足三角形的三边关系.‎ 故选B.‎ 例4 已知关于的方程有实数根,试求的取值范围.‎ 分析：方程“有实数根”,既可以是“有一个实数根”,也可以是有“有两个实数根”,即方程既可以是一元一次方程,也可以是一元二次方程,故需按和来分类讨论.‎ 解： 当=0时，原方程为 ，这时有一个实数根.‎ 当时,方程有两个实数根，则≥0，解得≤，且≠0.‎ 综上所述, 的取值范围应为≤.‎ 1‎