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- 2021-06-22 发布
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
淇县一中高二下学期理数第一次月考试卷
时间：120 满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与直线相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．在长方体中，为与的交点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，曲线在点处的切线方程为，则实数，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6.已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．1
11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若
，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．对，设是关于的方程的实数根，，（符号表示不超过的最大整数）．则（ ）
A．1010 B．1012 C．2018 D．2020
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．定积分的值为_________．
14．已知曲线的一条切线的斜率为1，则切点的纵坐标为__________．
15．长方体中，，，，，分别是，的中点，是上的点，，若平面与平面的交线为，则与所成角的余弦值为__________．
16．若函数图象的对称中心为，记函数的导函数为，则有，设函数，则________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数，，；
（1）求的解析式；
（2）求在处的切线方程．
18．求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．
[来源:]
19．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）
20．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（1）证明：平面
（2）已知，，求二面角的余弦值．
21．已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为、，经过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）记与的面积分别为和，求关于的表达式，并求出当为何值时有最大值．
22．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高二下学期理数第一次月考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B．
2．【答案】B
【解析】因为，
所以，故选B．
3．【答案】C
【解析】由题意，得以为直径的圆与直线相切，则，，即该椭圆的离心率为．故选C．
4．【答案】B
【解析】由向量的三角形法则可得，
即，故选A．
5．【答案】A
【解析】函数的导数为，可得在点
处的切线斜率为，切点为，由切线方程，可得，，解得，．故选：A．
6．【答案】B
【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于10，设点的坐标为，的垂直平分线交于点，．又，
．依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，故椭圆方程为，故选B．
7．【答案】D
【解析】依题意得，因此曲线在点处的切线的斜率等于，相应的切线方程是，当时，，当时，，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：，故答案为D．
8．【答案】D
【解析】双曲线中，，，，，，
，，，
，所以，故选D．
9．【答案】C
【解析】在上恒成立，所以，令，，所以当时，，即，选C．
10．【答案】D
【解析】设，，连接、，由抛物线定义，得，，在梯形中，．
由余弦定理得，，
配方得，，又，
，
得到，，即的最大值为1．故选：D．
11．【答案】C
【解析】设，则，由题可知，当时，即函数在区间上是增函数，由题是定义在上的偶函数，故是上的奇函数，则函数在区间上是增函数，而，；即，，
当时，不等式等价于，由得；
当时，不等式等价于，由，得，故所求的解集为或．故选C．
12．【答案】A
【解析】设，则，，
记，，
当，是增函数，方程只有一个实根，
，，
，即，，
．故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】0
【解析】．
14．【答案】2
【解析】∵，∴，设切点的坐标为，则，由条件可得，解得，
∴切点的纵坐标为．
15．【答案】
【解析】以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设中点为，则．
所以，，，
因此与所成角的余弦值为．
16．【答案】
【解析】由题意得，，解得，，因为，即函数的图象关于点对称，
则
，故答案为0．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．由已知得．····3分
解得，∴．········6分
（2）函数在处的切线方程为，即．····10分
18．【答案】
【解析】由，得到或，············3分
则············6分
．········12分
19．【答案】（1）在时取最小值；（2）．
【解析】（1）当时，，∴；····2分
列表得：
2
－
0
＋
单调减
极小值
单调增
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在时取最小值；··········6分[]
（2）∵根据（1）知：在上单调减，在上单调增；············8分
∵确保恰好3年不需要进行保护，∴，············10分
解得，即实数的取值范围为．············12分
20．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，
由几何关系有：，，，，，，
则直线的方向向量为：，，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，据此可得：平面．····6分
（2）结合（1）的结论可知：，，，
则平面的一个法向量为．········8分
由平面可知平面的一个法向量为：，····10分
据此可得：，，，
则，
观察可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．············12分
21．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）当时，有最大值．
【解析】（1）∵椭圆的焦点为，∴，········1分
又，∴，············2分
∴椭圆的方程为．············3分
（2）依题意知，设直线方程为，
由消去整理得：，
∵直线与椭圆交于，两点，
∴，
且，，············6分
由题意得
，············ 9分
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，有最大值．············12分
22．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）．
【解析】（1）时，，定义域为，
．············2分
∴时：，时，，
∴的单调增区间为，单调减区间为．········4分
（2）函数在上有两个极值点，
．
由．得，············6分
当，时，，············7分
，，
由，∴．
∴，可得，，········8分
，··9分
令，则，
因为．，，，又．
所以，即时，单调递减，
所以，即，
故实数的取值范围是．············12分