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- 2021-06-21 发布
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南昌十中2017-2018学年上学期期中考试试卷
高二数学试题(文科)
一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）
1．抛物线的焦点到其准线的距离是 ( )
A. B. C． D．
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（ ）
A．10 B．20 C．2 D．
4.椭圆上一点到右准线的距离为，则到左焦点的距离为( )
A. B. C. D.
5．已知双曲线的准线经过椭圆的焦点，则( )
A.3 B. C. D.
6. 直线 （t是参数）被圆截得的弦长等于（ ）
A. B. C. D.
7.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
8.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和
的最小值是（ ）
A. B. C.2 D.
9.若实数、满足： ，则的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
10.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 的值等于（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
11．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C.[ D.
12．设椭圆： 的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点， 为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13．抛物线的焦点坐标是________________.
14．曲线C1：y＝|x|，C2：x＝0，C3的参数方程为(t为参数)，则C1，C2，C3围成的图形的面积为 ．
15．已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则椭圆标准方程为___________．
16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知
是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.（10分）焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.
18.（12分）已知抛物线，过焦点F的弦的倾斜角为,且与抛物线相交于A、B两点.
（1）求证：
(2)求的最小值.
19.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求直线的方程．
20．已知椭圆C：，直线（t为参数）．
（1）写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；
（2）设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标．
21.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线方程；
（2） 若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；
（3） 在（2）的条件下求的面积.
22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，当时的斜率为．
（1） 求的方程；
（2）轴上是否存在点，使得变化时总有，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
南昌十中2016-2017学年上学期期中考试
高二文科数学答案
一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）
1-5 B C D A C 6-10 D A D A C 11-12 C B
二．填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13. 14. 15. 16.
三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)
17. 设焦点在轴上的双曲线方程为，
则渐近线方程为.
①代入方程
得
②代入方程
得
18.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0...........................2分
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=....4分
设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.........................6分
（2）解析：因|AB|=的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，当θ=时，|AB|有最小值2p................................12分
19．【答案】（1）；（2）.
解：（1）由题得，又 ，
解得，∴椭圆方程为：............6
（2）设直线的斜率为， ，∴ ，
两式相减得，∵是AB中点，
∴ ，代入上式得： ，解得 ，
∴直线 ......12
20．【答案】（1），x－y＋9＝0；（2）．
解：（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0．
（Ⅱ）设，
则，
P到直线l的距离．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得，．
故．
19. 【答案】(1)（2）见解析（3）6
试题解析：离心率为，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为
点在曲线上，代入得，
（2） 证明：点在双曲线上，
点在以为直径的圆上。
（3）
22．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO
解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．
当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，
则，于是，
所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，
所以b=1，．从而椭圆C的方程为；
（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，
化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以，，
直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．
当时，
所以存在点使得∠AQO=∠BQO
