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- 2021-06-21 发布
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
【答案】B
【解析】
2．【2017洛阳二练】曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．7 D．－7
【答案】C
【解析】
f′(x)＝＝，
又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.
3．[2017·河北质检]已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是( )
A．e B．－e
C. D．－
【答案】C
【解析】
依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有由此得ln x0＝1，x0＝e，k＝，选C.
4．【2017海南文昌模拟】曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1
【答案】A
【解析】
依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，故选A.
5.【2017上饶模拟】若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )
A．1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
6.若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【解析】
依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.
7. 已知曲线上一点，，则过点P的切线的倾斜角为（ ）
A.30° B.45° C.135° D.165°
【答案】B
【解析】，所以.由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为，即，因为，所以.故B正确.
8.【2017杭州质测】曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P
点的坐标为( )
A.(1，3) B.(－1，3)
C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)【来.源：全,品…中&高*考*网】
【答案】C
【解析】
f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
9.【2017石家庄调研】已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A.e B.－e C. D.－
【答案】C
【解析】
10.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A.－1 B.0 C.2 D.4
【答案】B
【解析】
由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
11. 在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（ ）
A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）【来.源：全,品…中&高*考*网】
【答案】D
【解析】
根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
12.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当 时，，函数在区间 上是减函数，
当 时，，函数在区间 上是增函数，
所以当时，函数在上有最小值
所以 ，故选C.【来.源：全,品…中&高*考*网】
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13.【2017广东惠州二调】已知直线与曲线相切，则的值为___________．
【答案】2
【解析】
试题分析：根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，从而求得，即.
14．【2017湖北襄阳期中】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为_______.
【答案】【来.源：全,品…中&高*考*网】
15.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．
【答案】
【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
16.若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则 ．
【答案】2
【解析】求导得，所以在点处的切线方程为.
令得，令得，，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，（舍去负值），.
三、 解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列的前n项和为，求的值.
【答案】
18.【2017长沙调研】已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
【答案】(1)3x＋3y－11＝0.(2) ∪
【解析】(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
19．【2017云南大理月考】设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】(1)f(x)＝x－.
(2)证明见解析，定值为6.
【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
20. 如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk，0)(k＝1，2，…，n).
(1)试求xk与xk－1的关系(k＝2，…，n)；
(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.
【答案】(1)xk＝xk－1－1(k＝2，…，n).(2).
【解析】(1)设点Pk－1的坐标是(xk－1，0)，
∵y＝ex，∴y′＝ex，
∴Qk－1(xk－1，exk－1)，在点Qk－1(xk－1，exk－1)处的切线方程是y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，令y＝0，则
xk＝xk－1－1(k＝2，…，n).