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- 2021-06-21 发布
第十五章 推理与证明
1.（2017•新课标Ⅱ,7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A、乙可以知道四人的成绩
B、丁可以知道四人的成绩
C、乙、丁可以知道对方的成绩
D、乙、丁可以知道自己的成绩
1.D 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选D．
2．（2018浙江，11）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则x+y+z=100,5x+3y+13z=100,当z=81时，x=___________，y=___________．
2. 8 11 ∵z=81,∴x+y=195x+3y=73,∴x=8y=11.
3.（2017•北京,14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1 ， Q2 ， Q3中最大的是________．
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1 ， p2 ， p3中最大的是________．
3.Q1；p2 ①若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；
Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，
Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，
由已知中图象可得：Q1 ， Q2 ， Q3中最大的是Q1 ，
②若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，
故p1 ， p2 ， p3中最大的是p2.
4.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
4.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.]
5.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
5.A [至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.]
6.（2017•江苏,14）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是________．
6. 8 ∵在区间[0，1）上，f（x）= ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；
故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8.
7.(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
7.1和3 [由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.]
8.(2015·山东，11)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41;
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，C＋C＋ C＋…＋ C＝________.
8.4n－1 [观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，
第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，
第4个等式右边为43＝44－1，所以第n个等式右边为4n－1.]
9.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.
9.5 [(ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，
∴x5错误，故k等于5.]
10.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________.
10.F＋V－E＝2 [三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2;立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F＋V－E＝2.]
11．（2018天津，18）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.
（I）求{an}和{bn}的通项公式；
（II）设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，
（i）求Tn；
（ii）证明k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n∈N*).
11.（I）设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,
可得q2-q-2=0.因为q>0，可得q=2，故an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，可得b1+3d=4.
由a5=b4+2b6，可得3b1+13d=16,
从而b1=1,d=1, 故bn=n.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1，
数列{bn}的通项公式为bn=n.
（II）（i）由（I），有Sn=1-2n1-2=2n-1，
故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.
（ii）因为(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1，
所以k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(233-222)+(244-233)+⋯+(2n+2n+2-2n+1n+1)=2n+2n+2-2.
12．（2018江苏，20）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q
的等比数列．
（1）设a1=0,b1=1,q=2，若|an−bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2]，证明：存在d∈R，使得|an−bn|≤b1对n=2,3,⋯,m+1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）．
12.（1）由条件知：an=(n-1)d,bn=2n-1．
因为|an-bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，
即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1，2，3，4均成立，
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得73≤d≤52．
因此，d的取值范围为[73,52]．
（2）由条件知：an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1．
若存在d，使得|an-bn|≤b1（n=2，3，···，m+1）成立，
即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,⋯,m+1)，
即当n=2,3,⋯,m+1时，d满足qn-1-2n-1b1≤d≤qn-1n-1b1．
因为q∈(1,m2]，则10，对n=2,3,⋯,m+1均成立．
因此，取d=0时，|an-bn|≤b1对n=2,3,⋯,m+1均成立．
下面讨论数列{qn-1-2n-1}的最大值和数列{qn-1n-1}的最小值（n=2,3,⋯,m+1）．
①当2≤n≤m时，qn-2n-qn-1-2n-1=nqn-qn-nqn-1+2n(n-1)=n(qn-qn-1)-qn+2n(n-1)，
当10．
因此，当2≤n≤m+1时，数列{qn-1-2n-1}单调递增，
故数列{qn-1-2n-1}的最大值为qm-2m．
②设f(x)=2x(1-x)，当x>0时，f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0，
所以f(x)单调递减，从而f(x)1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，
故知ln (1＋x)≥不恒成立.
综上可知，a的取值范围是(－∞，1].
(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln (n＋1)，
比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln (n＋1).
证明如下：
法一 上述不等式等价于＋＋…＋，x>0.
令x＝，n∈N*，则，x>0.
令x＝，n∈N*，则ln >.
故有ln 2－ln 1>，
ln 3－ln 2>，
……
ln(n＋1)－ln n>，
上述各式相加可得ln (n＋1)>＋＋…＋，结论得证.
法三 如图，
dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和.
∴＋＋…＋>dx＝(1－)dx＝n－ln (n＋1)，
结论得证.
15.(2014·重庆，22)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*).
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)f(a2k＋1)＝a2k＋2，
a2(k＋1)＝f(a2k＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，
所以a2n＋1>－1.解得a2n＋1>.④
综上，由②、③、④知存在c＝使a2n