广东省中山市第一中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 9页

‎2013届中山市第一中学第五次月考 数学（理科） 2012.12‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 已知全集，集合，，则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 2. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是 （　　）‎ A．、‎ B．、‎ C．、‎ D．、‎ 3. 已知函数，若，则实数 （　　）‎ A． B． C．或 D．或 4. 直线与圆的位置关系是 （　　）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 5. 在区间上任取两个数、，则方程有实根的概率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 6. 已知，则“”是“”的 （　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 抽气机每次抽出容器内空气的％，要使容器内剩下的空气少于原来的％，则至少要抽（参考数据：，） （　　）‎ A．次 B．次 C．次 D．次 8. 在所在的平面上有一点，满足，则与 的面积之比是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．‎ 开始 ‎（一）必做题：第题为必做题，每道试题考生都必须作答．‎ 输入 1. 若复数是实数，则实数　　　　．‎ 2. 已知，则　　　　　　．‎ 3. 根据定积分的几何意义，计算：　　　　　　．‎ 4. 按如图所示的程序框图运算：‎ 若输入，则输出　　　　　；‎ 若输出，则输入的取值范围是　　　　　　．‎ ‎（注：“”也可写成“”或“”，均 否 表示赋值语句）‎ 是 ‎（二）选做题：第题为选做题，考生只能选做其中的两 ‎ 题，三题全答的，只计算前两题的得分．‎ 结束 输出、‎ 5. ‎（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点 作圆的切线，则切线的极坐标方程是　　　　　　．‎ 6. ‎（不等式选讲选做题）若、、，且，则的最小值等于　　　　　　．‎ 7. ‎（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在边上，且，与交于点，若的面积为，则的面积为　　　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 8. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数的图像经过点和．‎ ‎（Ⅰ）求实数和的值；‎ ‎（Ⅱ）当为何值时，取得最大值．‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数，其 中的各位数字中，，（）出现的概率为，出现的概率为，记，当该计算机程序运行一次时，求随机变量的分面列和数学期望．‎ 2. ‎（本小题满分14分）‎ 如图1所示，在边长为12的正方形中，点、在线段上，且，‎ ‎，作∥，分别交、于点、，作∥，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．‎ ‎ （Ⅰ）在三棱柱中，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比；‎ ‎（Ⅲ）在三棱柱中，求直线与直线所成角的余弦值．‎ 1. ‎（本小题满分14分）‎ 已知数列中，，（且）．‎ ‎（Ⅰ）若数列为等差数列，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 2. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数（其中为自然对数的底）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：．‎ 1. ‎（本小题满分14分）‎ 已知抛物线（）和点，若抛物线上存在不同的两点、‎ 满足．‎ ‎ （Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2013届中山市第一中学第五次月考 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A C B B A D C 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．‎ ‎（一）必做题：第题为必做题，每道试题考生都必须作答．‎ ‎9． 10． 11． 12．，‎ ‎（二）选做题：第题为选做题，考生只能选做其中的两题，三题全答的，只计算前两题的得分．‎ ‎13． 14． 15．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 16. 解：（Ⅰ）依题意，有 ‎；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎．‎ ‎ 因此，当，即（）时，取得最大值．‎ 17. 解：依题意，知的可能取值为，其概率分别为 表示（）中全为零，故；‎ 表示（）中恰有一个1，故；‎ 表示（）中恰有两个1，故；‎ 表示（）中恰有三个1，故；‎ 表示（）中全部为1，故．‎ 因此，的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 的数学期望为 ‎．‎ 16. 解：（Ⅰ）证明：因为，，所以，从而有 ‎，即．‎ 又因为，而，所以 平面；‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以 ‎，‎ 从而． 又因为 ‎，‎ 所以平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比为 ‎；‎ ‎（Ⅲ）如图建立空简直角坐标系，则 ‎、、‎ ‎、，‎ 所以，．‎ ‎ 设直线与直线所成角为，则 ‎．‎ 16. 解：（Ⅰ）因为（且），所以 ‎．‎ 显然，当且仅当，即时，数列为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：数列是首项为，公差为1的等差数列，‎ 故有，即 ‎（）．‎ 因此，有 ‎ ，‎ ‎ ，‎ 两式相减，得 ‎ ，‎ 整理，得 ‎（）．‎ 17. 解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 显然，当时，；当时，．因此，在上单调 递减，在上单调递增．‎ 因此，当时，取得最小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：当时，有，即，故 ‎（），‎ 从而有 ‎．‎ 16. 解：（Ⅰ）由知：是线段的中点．‎ 设直线：，则 ‎．‎ 依题意，有． ……①‎ 又由，由此及①可得 ‎，即；‎ ‎（Ⅱ）若存在满足条件的点，则因为是线段的中点，所以，即 经过的外接圆圆心，故与抛物线在点处的切线垂直，即直线与抛物线在点处的切线平行．‎ 当时，由①知：直线的斜率，从而抛物线在点处的切线的斜率 为1，故由，知：点的坐标为．‎