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- 2021-06-21 发布
钢城四中2018—2019学年（下）期中考试卷
学科
数学（理）
年级
高二
时间
120
分值
150’
第I卷（选择题)
一、单选题
1．“”是“”成立的 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
2．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题是真命题
B．命题“”的否定是“”
C．若为真命题，则为真命题
D．“使”是“”的必要不充分条件
3．双曲线的焦点到渐近线的距离为
A．1 B． C．2 D．3
4．直线：与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为（ ）
A． B．- C． D．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．如图，在正方体中，下面结论错误的是( )
A． B．
C． D．向量与的夹角为
7．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为( )
A． B． C． D．
8．在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面（如图），则下列命题中正确的是（ ）
A．直线，且直线
B．直线，且直线
C．平面，且平面
D．平面，且平面
10．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是的中点，点与分别是和上的动点．若
，则线段长度的最小值为 ( )
A． B． C． D．
11．已知双曲线：，为左，右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，与 在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为______．
14．已知 的二面角的棱上有，两点，直线， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知 ，，，则线段 的长为__________．
15．三棱锥中，，，则直线与底面所成角的大小为________________．
16．已知是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为______．
三、解答题
17．已知方程表示焦点在轴上的椭圆；方程表示双曲线．若“”为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
A
P
C
D
B
，、分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值。
19．已知抛物线，双曲线.若抛物线与双曲线在第一象限的交点是，直线过点，斜率为2．
（1）求双曲线的渐近线方程及其离心率.
（2）求直线被抛物线所截得的弦长．
20．如图，在四棱锥中，平面，，
为中点，
（1）证明：直线AB∥平面PCO；
（2）求二面角P－CD－A的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线
段BN的长度；若不存在，说明理由.
21．设是抛物线上的一点，抛物线在点处的切线方程为。
（1）求的方程；
（2）已知过点（0，1）的两条不重合直线的斜率之积为1，且直线分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点.是否存在常数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆，过点的直线交椭圆于，两点，
为坐标原点.
（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；
（2）若A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线的斜率分别为，求证为定值.
2018-2019钢城四中下学期期中考试理科数学参考答案
BCACBDAACADB
13．4 14． 15．45° 16．
17．若为真，即方程表示焦点在轴上的椭圆，可得；
若为真，即方程表示双曲线，可得
解得或
若“”为假命题，且“”为真命题，则一真一假，
若真假，则，解得；
若假真，则，解得，
综上或．
∴实数的取值范围为．
18．（1）由题意，△是等边三角形，因为是的中点，所以， 又平面，所以，所以平面．
（2）异面直线与所成角的大小为．
19．双曲线：，则渐近线方程为，离心率，
由，解得，
点P在第一象限，
，
直线l的方程为，即，
由，消y可得，从而，，
直线l被抛物线所截得的弦长
20．（1）因为AC=CD，O为AD中点，所以．又AB⊥AD，
所以AB∥CO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB∥平面PCO．
（2）因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC=CD，所以CO⊥AD.
如图建立空间直角坐标系O－.
则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.
设平面PCD的法向量为，
则，得'
令z=2，则．
又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以.
由图形得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN⊥平面PCD，
则存在∈[0，1]使得，
因此.
由（2）得平面PCD的法向量为.
因为AN⊥平面PCD，
所以∥，即.
解得=∈[0，1]，
所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=.
21．（1）【解法一】由消得.
由题意得，因为，所以.
故抛物线
【解法二】
设，由得，.
由解得.
故抛物线.
（2）假设存在常数使得成立，
则.
由题意知，，的斜率存在且均不为零，
设的方程为，则由，消去得，.
设,，则，.
所以 .
（也可以由，得到.）
因为直线，的斜率之积为，所以.
所以.
所以，存在常数使得成立.
22．(1) 椭圆上顶点为，所以直线：，
联立消去整理得,
解得，,
所以的面积.
（2）由题知，，，设，，直线的斜率为.
由题还可知，直线的斜率不为0，
故可设：.
由，消去，得,
所以
所以 ,
又因为点在椭圆上，所以， 所以为定值.