2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（普通班）下学期期中考试数学试题 7页

‎ ‎ ‎2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（普通班）下学期期中考试数学试题 ‎ 满分：150分 考试时间：120分钟 ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.给出下面几种说法：‎ ‎①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；‎ ‎③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．‎ 其中正确说法的个数是(　　)‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎2.已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)‎ A． [0，] B． [0,2] C． [1,2] D． [，2]‎ ‎3.在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)‎ A．＋ B．－ C．－ D．＋‎ ‎4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)‎ A．a－b B．a－b C．a＋b D．a＋b ‎5.将函数y＝sin的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为(　　)．‎ A．　B．　C．　D．‎ ‎6.菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于(　　)‎ A． －a2 B． －a2 C．a2 D．a2‎ ‎7.已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎8.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形 ‎10.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　)‎ A ． －2 B． 1 C． －1 D． 0‎ ‎11.已知向量a，b为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)‎ A． －7 B． 7 C． 25 D． －25‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)．若A、C、D三点共线，则k＝________.‎ ‎14.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cosA，2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)．若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝________ .‎ ‎15.已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．‎ ‎16.如图，在平行四边形中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 三、解答题(共6小题,共70分) ‎ ‎17.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；(2)求的值．‎ ‎19.如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．‎ ‎(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标．‎ ‎20.在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值 ‎.‎ ‎21.已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)．‎ ‎(1)求|a－b|；‎ ‎ (2)求向量a＋b与向量a－b的夹角．‎ ‎22.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.‎ ‎(1)若＝，求x，y的值；‎ ‎(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．‎ 答案 ‎1.C ‎2.D ‎3.C ‎4.D ‎5.D ‎6.D ‎7.B ‎8.C ‎9.A ‎10.C ‎11.B ‎12.D ‎13.4‎ ‎14.±‎ ‎15.1‎ ‎16.22‎ ‎17.解　(1)由已知ka－b＝(k,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋(4,2)＝(5,2)．‎ 当ka－b与a＋2b共线时，‎ ‎2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.‎ ‎(2)由已知可得＝2a＋3b＝(2,0)＋(6,3)＝(8,3)，‎ ‎＝a＋mb＝(1,0)＋(2m，m)＝(2m＋1，m)．‎ ‎∵A、B、C三点共线，∴∥，‎ ‎∴8m－3(2m＋1)＝0，得m＝.‎ ‎18.解　(1)由题意得cosα＝，cosβ＝.‎ 因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，‎ 因此tanα＝2，tanβ＝，‎ 所以tan(α＋β)＝＝＝－.‎ ‎(2)＝×＝×tan[(α＋β)－α]＝×tanβ＝×＝.‎ ‎19.解　(1)作AM⊥x轴于点M，‎ 则OM＝OA·cos 45°‎ ‎＝4×＝2，‎ AM＝OA·sin 45°‎ ‎＝4×＝2.‎ ‎∴A(2，2)，故a＝(2，2)．‎ ‎∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，‎ ‎∴∠COy＝30°.‎ 又∵OC＝AB＝3，‎ ‎∴C，∴＝＝，‎ 即b＝.‎ ‎(2)＝－＝.‎ ‎(3)＝＋＝(2，2)＋‎ ‎＝.‎ ‎20.答案（1）∵，‎ ‎∴，‎ 即．…………2分 由正弦定理，得，‎ ‎∴．…………4分 又∵，∴．‎ ‎∴，即．…………7分 ‎（2）∵，∴．‎ ‎∴．…………9分 ‎∴，即．‎ ‎∴．………… 10分 由 （1） ，得，解得：．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．…………12分 ‎21.解　(1)因为a＋b＝(，1)，所以|a＋b|＝2，‎ 所以a2＋2a·b＋b2＝4，‎ 即1＋2a·b＋3＝4，得a·b＝0.‎ 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2.‎ ‎(2)设向量a＋b与向量a－b的夹角为θ，则有 cosθ＝＝＝＝－，‎ 因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量a＋b与向量a－b的夹角为.‎ ‎22.解　(1)若＝，则＝＋，‎ 故x＝y＝.‎ ‎(2)若＝3，‎ 则＝＋，‎ ‎·＝·‎ ‎＝－2－·＋2‎ ‎＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22‎ ‎＝－3.‎