数学理卷·2018届湖南省衡阳县第一中学高二12月学科竞赛（2016-12） 10页

衡阳县一中2016年下学期高二学科竞赛 数学试题 ‎ 分值：150分 时量：120分钟 命题人：‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在等差数列中，，则等于（ b ）‎ A．12 B．‎21 C．15 D．18‎ ‎2.已知公比为2的等比数列的前项和为，则等于（ a ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（ D ）‎ A．命题的逆命题是：若，则 B．命题的否命题是：若，则 C．命题的否命题是：若，则 D．命题的逆否命题是真命题 ‎4.若实数满足约束条件，则的最小值为（ a ）‎ A． 0 B． C. D．-1‎ ‎5.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（ C ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎6．M是抛物线上一点，且在轴上方，F是抛物线的焦点，以轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为60°则 （ c ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．6‎ ‎7.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是以坐标原点O(0,0)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是正三角形,则此椭圆的离心率为(　d　)‎ A. B. C.-1 D.-1‎ ‎8.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（ b ）‎ A．16 B．‎64 C．32 D．128‎ ‎9.在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则等于（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知，且，则的最小值为（ a ）‎ A．8 B．‎6 C．5 D．4‎ ‎11.已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（ c ）‎ A．64 B．‎72 C．80 D．90‎ ‎12.若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为　(　c　)‎ A.(,+∞) B.[,+∞)‎ C.(1,] D.(1,)‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在数列中，，且数列是等差数列，则___ ______．‎ ‎14.在中，角的对边分别为，则的最大值为____2_________．‎ ‎15.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k=　 　　　.‎ ‎16.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,且‎2a+b≤4,则的取值范围为　[,2 )　　　‎ ‎　由2x+b-1在R上单调递增,f(x)=loga(2x+b-1)在R上单调递增,得a>1.由2x+b-1>0,得b-1≥0,即b≥1,所以画出可行域,如图,由=,得的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范围,由图可知kOB最大,kOA最小,由得B(1,2),所以kOB=2,由得A(,1),所以kOA=,结合图形得∈[,2).‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设条件；条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎.解：设，，‎ 则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又当或时，，‎ 故实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知向量=(cosx,-1),向量=(sinx,),函数f(x)=(+)‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期T.‎ ‎(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=1,c=,且f(A)恰是f(x)在[0,]上的最大值,求A和b的大小.‎ ‎【解析】(1)f(x)=(m+n)·m=cos2x+sinxcosx+‎ ‎=+sin2x+‎ ‎=cos2x+sin2x+2‎ ‎=sin(2x+)+2.‎ 因为ω=2,所以T==π.‎ ‎(2)由(1)知:f(A)=sin(‎2A+)+2,‎ 当A∈[0,]时,≤‎2A+≤,‎ 由正弦函数图象可知,‎ 当‎2A+=时f(A)取得最大值3,‎ 所以‎2A+=,A=.‎ 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,‎ 所以1=b2+3-2×b××cos.‎ 解得b=1或b=2.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设等差数列的前项和为，，求的值．‎ 解：（1）∵① ，∴当时， ②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎①—②得，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∴数列是首项为1，公比为4的等比数列，‎ 则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设数列的公差为，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 设内角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若，且边的中点为，求的长.‎ ‎.解：∵，∴，．．．．．．．1分 则，‎ ‎∴，又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎∴，即，∴‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（1）∵，∴，‎ 的面积．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（2）∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．8分 即，解得或（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎∴，得．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知数列中，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）若存在，使关于的不等式成立，求常数的最小值．‎ ‎.解：（1）∵，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 两式相减得，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∴数列从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）由（1）可知当时，，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 两式相减得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又∵也满足上式，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎（3）等价于，‎ 由（1）可知当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设，‎ 则，‎ ‎∴，又及，‎ ‎∴，∴‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22.(12分)(2015·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点O,求证:点O到直线AB的距离为定值.‎ ‎(3)在(2)的条件下,求△OAB面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)因为椭圆的右焦点为(,0),离心率为,‎ 所以 所以a=,b=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,‎ 消元可得(1+3k2)x2+6kmx+‎3m2‎-3=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 所以x1+x2=-,‎ x1x2=.‎ 因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以·=0,‎ 所以x1x2+y1y2=0,‎ 所以(1+k2)-km×+m2=0,‎ 所以‎4m2‎=3(k2+1),‎ 所以原点O到直线的距离为d==.‎ 当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性可知x1=x2,y1=-y2,‎ 因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以·=0,‎ 所以x1x2+y1y2=0,‎ 所以-=0.‎ 因为+3=3,所以|x1|=|y1|=,‎ 所以原点O到直线的距离为d=|x1|=,‎ 综上,点O到直线AB的距离为定值.‎ ‎(3)直线AB斜率存在时,由弦长公式可得|AB|=|x1-x2|‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎≤=2,‎ 当且仅当k=±时,等号成立,所以|AB|≤2,‎ 直线AB斜率不存在时, |AB|=|y1-y2|=<2,‎ 所以△OAB面积=|AB|d≤×2×=,所以△OAB面积的最大值为.‎