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- 2021-06-21 发布
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衡阳八中2016-2017学年下期高二年级第二次月考试卷
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第二次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则（ ）
A．k＞8 B．k≥8 C．k＞16 D．k≥16
2.若f（x）=，则f（x）的定义域为（ ）
A．（，0） B．（，0]
C．（，+∞） D．（0，+∞）
3.已知函数f（x）=2x+3，则f（﹣1）=（ ）
A．2 B．1 C． D．
4.已知集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
5.已知函数f（x）=x2﹣2x+2，g（x）=ax2+bx+c，若这两个函数的图象关于（2，0）对称，则f（c）=（ ）
A．122 B．5 C．26 D．121
6.已知函数y=f（x）（x∈R）且在[0，+∞）上是增函数，g（x）=f（|x|），若g（2x﹣1）＜g（2），则x的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣∞，）
C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
7.设函数，则y=﹣f（x）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8.若a=30.2，b=logπ3，c=log3cosπ，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
9.
设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
A．（]B．（）C．（]D．（）
10.函数y=（x3﹣x）e|x|的图象大致是（ ）
A．B．
C． D．
11.若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，
则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列五个函数：
①f（x）=2x；②f（x）=；③；④．
其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
12.若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知集合A={y|y=x2﹣2x，x∈R}，B={y|=﹣x2+2x+6，x∈R}，则A∩B= ．
14.设表示不超过的最大整数，如，给出下列命题：
（1）对任意的实数，都有；
（2）若，则；
（3）。
其中所有真命题的序号是
15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为 ．
16.已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是 ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）
已知集合A={m|方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根}，集合B={x|log2x＞a}．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.（本题满分12分）若二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
19.（本题满分12分）
已知函数，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若当x∈（﹣1，0）时，g（x）＜tf（x）恒成立，求实数t的最大值．
20.（本题满分12分）
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数．
（1）m=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．
21.（本题满分12分）
2016年奥运会在巴西举行，某商场预计2016年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
22.（本题满分12分）
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，
（ⅰ）当x1＜1＜x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m＞；
（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，求实数b的取值范围．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
C
B
A
B
C
D
B
D
C
13.[﹣1，7]
14.（1）（2）（3）
15.9π﹣﹣
16.[﹣5，﹣2]
17.（Ⅰ）由方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，
∴△=m2﹣4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，
∴A={m|m＜﹣2或m＞2}；
（Ⅱ）B={x|log2x＞a}={x|x＞2a}，
由x∈B是x∈A的充分不必要条件，
∴2a≥2，解得：a≥1，
∴实数a的取值范围为[1，+∞）．
18.
(1)由得，.
∴.
又，
∴，
即，
∴，∴.
∴.
(2) 等价于，即，
要使此不等式在上恒成立，
只需使函数在的最小值大于即可．
∵在上单调递减，
∴，由，得.
19.
（Ⅰ）因为，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．
所以，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
因为，
所以g（x）是奇函数．
（Ⅱ）由g（x）＜tf（x）得，，（）
当x∈（﹣1，0）时，，，
（）式化为3x+1＞t（3x+1﹣1），（）
设3x=u，，则（） 式化为 （3t﹣1）u﹣t﹣1＜0，
再设h（u）=（3t﹣1）u﹣t﹣1，
则g（x）＜tf（x）恒成立等价于，，，
解得t≤1，故实数t的最大值为1．
20.（1）当m=1时，=，易求值域f（x）∈（0，1），并判断为f（x）在（﹣∞，0）上是为有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．转化为不等式（组）恒成立问题．
解：（1）当m=1时，=
∵x＜0，∴0＜2x＜1，
∴f（x）∈（0，1），满足|f（x）|≤1，
f（x）在（﹣∞，0）上是为有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，则有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．
∴﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤≤3，
化简得，即
上面不等式组对一切x∈[0，1]都成立，
故取，即m≤﹣2或m．
21.
当x=1时，f（1）=p（1）=37．
当2≤x≤12时，且x≤12）
验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N且x≤12），
令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元．
22.（Ⅰ）依题意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，
解得或1，即f（x）的不动点为和1；
（Ⅱ）（ⅰ） 由f （x）表达式得m=﹣，
∵g（x）=f（x）﹣x=a x2+（b﹣1）x+1，a＞0，
由x1，x2是方程f （x）=x的两相异根，且x1＜1＜x2，
∴g（1）＜0⇒a+b＜0⇒﹣＞1⇒﹣＞，即 m＞．
（ⅱ）△=（b﹣1）2﹣4a＞0⇒（b﹣1）2＞4a，
x1+x2=，x1x2=，
∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=22，
∴（b﹣1）2=4a+4a2（）
又|x1﹣x2|=2，
∴x1、x2 到 g（x） 对称轴 x=的距离都为1，
要使g（x）=0 有一根属于 （﹣2，2），
则 g（x） 对称轴 x=∈（﹣3，3），
∴﹣3＜＜3⇒a＞|b﹣1|，
把代入 （） 得：（b﹣1）2＞|b﹣1|+（b﹣1）2，
解得：b＜或 b＞，
∴b 的取值范围是：（﹣∞，）∪（ ，+∞）．
