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- 2021-06-21 发布
牡一中2017级高二学年下学期月考试题
数学（理） 试 题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）
1．在100件产品中，有3件是次品．现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则x的值为（ ）
A．4 B．4或5 C．6 D．4或6
3．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的
概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定
5．用数学归纳法证明时，到时，
不等式左边应添加的项为（ ）
A. B．
C． D．
6．若展开式的常数项为60，则a的值为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
7． 已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（ ）
A．10 B．42 C．50 D．182
8．7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，记事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（ ）
A． B． C． D．
9.在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为
B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
11．牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（ ）种．
A．444 B．1776 C．1440 D．1560
12.下列说法中正确的个数是( )
(1) 已知，，，则
(2)将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法．
(3) 被除后的余数为．
(4) 若，则＝
(5)抛掷两个骰子，取其中一个的点数为点的横坐标，另一个的点数为点的纵坐标，连续抛掷这两个骰子三次，点在圆内的次数的均值为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．若随机变量，且，则_________________
14．已知随机变量的分布列如下表所示
则的值等于________________
15．从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的
三位数，其中奇数的个数为_____________
16.为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，
集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本不同的书，则其获奖的概率为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x
1
2
3
4
5
y
8
6
5
4
2
已知和具有线性相关关系．
（1）求关于的线性回归方程；
（2）若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．
（参考公式：＝＝，＝﹣b．）
18.(12分）某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图。 学校规定：成绩不得低于85分的为优秀
（1）根据以上数据填写下列的的列联表
甲
乙
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
（2）是否有的把握认为成绩优异与教学方式有关？”(计算保留三位有效数字)
下面临界值表仅供参考：
19．(12分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，两个坐标系取相同的单位长度．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程
（2）设直线与曲线相交于两点，时，求的值．
20.(12分）甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试,在备选的道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的道题.答对一题加分,答错一题(不答视为答错)得0分.
(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;
(Ⅱ)规定:每个人至少得分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.
21．(12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本85元；小箱每箱30瓶，批发成本65元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为（45，55]时看作销量为50瓶）．
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列；
②从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？（必须作出一种合理的选择）
22．(12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，
试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
牡一中2017级高二学年下学期月考试题答案
数学（理） 试 题
1—6 BDDCCD 7-12 AADDBC
13. 0.6 14. 1 15. 60 16.
17.解：（1）计算可得，，
（2），
∵线性回归直线过（），∴，
故y关于x的线性回归方程是；
（3）当x＝4.5时， （千元/吨）．
∴该农产品的价格为2.9千元/吨．
18.（1）
甲
乙
总计
成绩优秀
3
10
13
成绩不优秀
17
10
27
总计
20
20
40
(2)
没有有的把握认为成绩优异与教学方式有关
19.解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∵ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．
（2）∵直线L的参数方程（t为参数，0＜a＜π），
∴tanα＝，∴直线过（1，0），设l的方程为y＝k（x﹣1），
代入曲线C：y2＝4x，消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2＝1，
∵|AB|＝8．∴＝8，解得k＝±1，
当k＝1时，α＝45°；当k＝﹣1时，α＝135°．
∴α的值为45°或135°．
20.设乙的得分为,的可能值有
乙得分的分布列为:
所以乙得分的数学期望为
(2) 乙通过测试的概率为
甲通过测试的概率为
甲、乙都没通过测试的概率为
因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为
21.①
若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况．
当销量为20瓶时，利润为5×20﹣85＝15元，
当销量为30瓶时，利润为5×30﹣85＝65元，
当销量为40瓶时，利润为5×40﹣85＝115元，
当销量为50瓶时，利润为5×50﹣85＝165元．
随机变量X的分布列为：
X
15
65
115
165
P
0.3
0.4
0.2
0.1
若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况．
当销量为20瓶时，利润为5×20﹣60＝40元，
当销量为30瓶时，利润为5×30﹣60＝90元．
随机变量Y的分布列为：
Y
35
85
P
0.3
0.7
②根据①中的计算结果，所以E（X）＝15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1＝70（元），
所以E（Y）＝35×0.3+85×0.7＝70（元）．
E（X）=E（Y), D(X)>D(Y),所以早餐店应该批发一小箱．
22.解：（Ⅰ）设C方程为，则．
由，得a＝4
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，
代入，得x2+tx+t2﹣12＝0
由△＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣12．
∴＝＝．
由此可得：四边形APBQ的面积
∴当t＝0，．…（8分）
②解：当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0
∴…（10分）
同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得
∴（12分）
所以AB的斜率为定值．…（14分）