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- 2021-06-20 发布
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2018 年重庆市九校联盟高考一模数学文
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A={-1,0,1,2},B={x| 1
x
<1},则 A∩B=( )
A.{0,1}
B.{1,2}
C.{-1,0}
D.{-1,2}
解析:求出集合,利用集合的交集定义进行计算即可.
由 1
x
<1 x>1 或 x<0,
即 B={x|x>1 或 x<0},
∵A={-1,0,1,2},
∴A∩B={-1,2}.
答案:D
2.已知 i 为虚数单位,且(1+i)z=-1,则复数 z 对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数 z 对应的点的坐标得
答案.
由(1+i)z=-1,得
11 11
11221
izi
i i i
,
∴复数 z 对应的点的坐标为( 1
2
, 1
2
),位于第二象限.
答案:B
3.log2(cos 7
4
)的值为( )
A.-1
B. 1
2
C. 1
2
D. 2
2
解析:利用诱导公式、对数的运算性质,求得所给式子的值.
1
2
2 2 2 2
71log cos log cos log log 2
44
2
2 2
.
答案:B
4.已知随机事件 A,B 发生的概率满足条件 P(A∪B)= 3
4
,某人猜测事件 AB发生,则此人
猜测正确的概率为( )
A.1
B. 1
2
C. 1
4
D.0
解析:∵事件 AB与事件 A∪B 是对立事件,
随机事件 A,B 发生的概率满足条件 P(A∪B)= 3
4
,
∴某人猜测事件 发生,则此人猜测正确的概率为:
31
44
11 P A B P A B .
答案:C
5.双曲线 C:
22
221xy
ab
(a>0,b>0)的一个焦点为 F,过点 F 作双曲线 C 的渐近线的垂线,
垂足为 A,且交 y 轴于 B,若 A 为 BF 的中点,则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 6
2
解析:根据题意,双曲线 C: (a>0,b>0)的焦点在 x 轴上,
过点 F 作双曲线 C 的渐近线的垂线,垂足为 A,
且交 y 轴于 B,如图:
若 A 为 BF 的中点,则 OA 垂直平分 BF,
则双曲线 C 的渐近线与 x 轴的夹角为
4
,
即双曲线的渐近线方程为 y=±x,
则有 a=b,
则 22 2 c a b a ,
则双曲线的离心率 2ce
a
.
答案:A
6.某几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图是全等的正三角形,其俯视图中,半圆的
直径是等腰直角三角形的斜边,若半圆的直径为 2,则该几何体的体积等于( )
A. 31
3
B. 32
3
C. 3 1
6
D. 32
6
解析:由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体,
其体积为 2 2
1 2 1
31 1 1 3
3 2 2 6
V .
答案:D
7.将函数 sin
4
yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右
平移
6
个单位,则所得函数图象的解析式为( )
A. 5sin
2 24
xy
B. sin
23
xy
C. 5sin
2 12
xy
D. 7sin 2
12
yx
解析:由题意利用 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,得出结论.
把函数 经伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
可得 sin
24
xy ,再向右平移 个单位,
得 1
2
sin sin
6 4 2 3
xyx 的图象.
答案:B
8.执行如图所示的程序框图,若输出的 s=6,则 N 的所有可能取之和等于( )
A.19
B.21
C.23
D.25
解析:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出
23cos 2 cos 3 cos
2 2 2
S 得值,
由题意, 23cos 2 cos 3 cos 6
2 2 2
S ,
可得:0-2+4-6+8-10…=6,
可得: 2 3 12cos 2 cos 3 cos 12 cos
2 2 2 2
S ,
或 2 3 12 13cos 2 cos 3 cos 12 cos 13 cos
2 2 2 2 2
S ,
可得:N 的可取值有且只有 12,13,其和为 25.
答案:D
9.已知抛物线 C:y=2px2 经过点 M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A. 1
8
B. 1
4
C. 1
2
D.1
解析:根据题意,抛物线 C:y=2px2 经过点 M(1,2),
则有 2=2p×12,解可得 p=1,
则抛物线的方程为 y=2x2,其标准方程为 x2= y,
其焦点坐标为(0, ),准线方程为 y= 1
8
,
该抛物线的焦点到准线的距离等于 1
4
.
答案:B
10.已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,asinB= 3 bcosA,当 b+c=4 时,△ABC
面积的最大值为( )
A. 3
3
B. 3
2
C. 3
D.2 3
解析:由:asinB= bcosA,利用正弦定理可得:sinAsinB= sinBcosA,
又 sinB≠0,可得:tanA= ,
因为:A∈(0,π ),
所以:A=
3
.
故
2
1 3 3
24
3
24
V ABC
bcS bcsinA bc ,(当且仅当 b=c=2 时取等号).
答案:C
11.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)的导函数 f′(x)满足 xf′(x)>1,则( )
A.f(2)-f(1)>ln2
B.f(2)-f(1)<ln2
C.f(2)-f(1)>1
D.f(2)-f(1)<1
解析:根据题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
即 x>0,则 xf′(x)>1 f′(x)> 1
x
=(lnx)′,
故 21ln 2 ln 1 ln 2
2 1 2 1
>ff ,即 f(2)-f(1)>ln2.
答案:A
12.设 m,θ ∈R,则 22
2 cos2 s22 in mm的最小值为( )
A.3
B.4
C.9
D.16
解析:令点 P(2 2 -m,2 2 +m),Q(cosθ ,sinθ ).
点 P 在直线 x+y-4 2 =0 上,点 Q 的轨迹为单位圆:x2+y2=1.
因此 22
2 cos2 s22 in mm的最小值为:单位圆上的点到直线 x+y-4
=0 的距离的平方,
故其最小值
2
24 192
2
41
.
答案:C
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量
r
a =(1,-2),
r
b =(2,m),且
rr
Pab,则
rr
gab= .
解析:利用平面向量的共线定理和坐标表示求出 m 的值,再计算
rr
gab的值.
向量 =(1,-2), =(2,m),且 ,
∴1×m-(-2)×2=0,
解得 m=-4,
∴ =1×2+(-2)×(-4)=10.
答案:10
14.已知实数 x,y 满足
2 3 5
0
0
xy
xy
y
,则目标函数 z=3x+y 的最大值为 .
解析:作出约束条件不是的可行域,判断目标函数结果的点,然后求解目标函数的最大值即
可.
实数 x,y 满足 作出可行域:
目标函数 z=3x+y,由 0
2 3 5 0
y
xy
解得 A( 5
2
,0),
的最优解对应的点为( 5
2
,0),
故 5 1530
22
maxz .
答案:15
2
15.已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,当 x∈[0,3]时,f(x)=-x,则 f(-16)= .
解析:根据题意,由 f(x)图象的对称性以及奇偶性分析可得 f(x)的最小正周期是 12,进而
有 f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2),由函数的解析式分析可得答案.
根据题意,函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,
则有 f(x)=f(6-x),
又由函数为奇函数,则 f(-x)=-f(x),
则有 f(x)=-f[-(6-x)]=-f(x-6)=-f(12-x)=f(x-12),
则 f(x)的最小正周期是 12,
故 f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2),
即 f(-16)=-(-2)=2.
答案:2
16.半径为 R 的球 O 放置在水平平面α 上,点 P 位于球 O 的正上方,且到球 O 表面的最小距
离为 R,则从点 P 发出的光线在平面α 上形成的球 O 的中心投影的面积等于 .
解析:∵半径为 R 的球 O 放置在水平平面α 上,点 P 位于球 O 的正上方,且到球 O 表面的最
小距离为 R,
∴轴截面如下图所示,
MN=NT=TP= 3 R,
∴从点 P 发出的光线在平面α 上形成的球 O 的中心投影的面积为:S=3π R2.
答案:3π R2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.第 17~21 题为必考题,每小题 12 分,共 60 分;第
22、23 题为选考题,有 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,S5=35,a1,a4,a13 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意列出方程组,求出公差和首项的值,即可得到
数列{an}的通项公式.
答案:(1)S5=35 5a3=35 a3=7,
设公差为 d,a1,a4,a13 成等比数列 a4
2=a1a13 (7+d)2=(7-2d)(7+10d) d=2(舍去 d=0).
∴an=2n+1.
(2)求数列{ 1
nS
}的前 n 项和 Tn.
解析:(2)由(1)求出
1 1 11 1
222
nS n n n n
,利用裂项相消求出和.
答案:(2) 24
2
2
n
nn
S n n ,
∴ ,
∴ 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 4
1 1 1 1 1
5 1 23 1
nT
n n n n
1 1 1 1 3 2 31
2 2 1 2 4 1 2
n
n n n n
.
18.某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”,从辖区住户的离退休
老人中随机抽取了 100 位老人进行调查,获得了每人每天的平均户外“活动时间”(单位:
小时),活动时间按照[0,0.5)、[0.5,1)、…、[4,4.5]从少到多分成 9 组,制成样本的
频率分布直方图如图所示.
(1)求图中 a 的值.
解析:(1)由频率分布直方图,可知,平均户外“活动时间”在[0,0.5)的频率为 0.04.在
[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为 0.08,
0.20,0.25,0.07,0.04,0.02,由 1-(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5×a+0.5
×a,能求出 a 的值.
答案:(1)由频率分布直方图,可知,平均户外“活动时间”在[0,0.5)的频率为 0.08×
0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别
为 0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02,
由 1-(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a.
解得 a=0.30.
(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数.
解析:(2)设中位数为 m 小时,前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,
前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5,从而 2≤m<2.5.由 0.50×
(m-2)=0.5-0.47,能估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数.
答案:(2)设中位数为 m 小时.
因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,
而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5,所以 2≤m<2.5.
由 0.50×(m-2)=0.5-0.47,解得 m=2.06.
故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为 2.06 小时.
(3)在[1,1.5)、[1.5,2)这两组中采用分层抽样抽取 7 人,再从这 7 人中随机抽取 2 人,
求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.
解析:(3)由题意得平均户外活动时间在[1,1.5),[1.5,2)中的人数分别有 15 人、20 人,
按分层抽样的方法分别抽取 3 人、4 人,记作 A,B,C 及 a,b,c,d,从 7 人中随机抽取 2
人,利用列举法能出抽取的两人恰好都在同一个组的概率.
答案:(3)由题意得平均户外活动时间在[1,1.5),[1.5,2)中的人数分别有 15 人、20 人,
按分层抽样的方法分别抽取 3 人、4 人,记作 A,B,C 及 a,b,c,d,
从 7 人中随机抽取 2 人,共有 21 种,分别为:
(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,C),(B,a),(B,b),(B,c),
(B,d),
(C,a),(C,b),(C,c),(C,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),
同时在同一组的有:
(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d).共 9 种,
故抽取的两人恰好都在同一个组的概率 93
21 7
P .
19.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 是正方形,A1B1⊥A1C1.
(1)证明:AB1⊥BC1.
解析:(1)只需证明 AB1⊥BA1,AB1⊥A1C1,即可得 AB1⊥平面 BA1C1,AB1⊥BC1.
答案:(1)证明:如图,由 ABB1A1 是正方形得 AB1⊥BA1,
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥A1C1,又 AA1∩A1B1=A1,
∴A1C1⊥平面 ABB1A1,且 AB1 平面 ABB1A1,
故 AB1⊥A1C1,且 BA1∩A1C1=A1,
故 AB1⊥平面 BA1C1,且 BC1 平面 BA1C1,
∴AB1⊥BC1.
(2)当三棱锥 A-A1B1C1 的体积为 2,AA1=2 时,求点 C 到平面 AB1C1 的距离.
解析:(2)由三棱锥 A-A1B1C1 的体积为 2 得 2
1 1 1 1
11
2
2 2 3
3
A C A C .设点 A1 到平面
AB1C1 的距离为 d,由 11 21 3 22
3
21
12
2
1
dd ,由对称性知点 C 到平面 AB1C1
的距离.
答案:(2)∵三棱锥 A-A1B1C1 的体积为 2,得 .
如图,设 AB1∩BA1=O,连接 OC1,则 22
1 3 2 11 OC ,
设点 A1 到平面 AB1C1 的距离为 d,
则 11 21 3 22
3
21
12
2
1
dd ,
由对称性知:点 C 到平面 AB1C1 的距离为 3 22
11
.
20.如图,A,B 是椭圆 C:
2
2 1
4
x y 长轴的两个端点,P,Q 是椭圆 C 上都不与 A,B 重合
的两点,记直线 BQ,AQ,AP 的斜率分别是 kBQ,kAQ,kAP.
(1)求证:kBQ·kAQ= 1
4
.
解析:(1)设 Q(x1,y1),由题意方程求出 A,B 的坐标,代入斜率公式即可证明 kBQ·kAQ= .
答案:(1)证明:设 Q(x1,y1),
由椭圆 C: ,得 B(-2,0),A(2,0),
∴
2
1
2
1 1 1
22
1 1 1 1
1
4
2 2 4
1
4 4
ggBQ AQ
x
y y ykk
x x x x
.
(2)若 kAP=4kBQ,求证:直线 PQ 恒过定点,并求出定点坐标.
解析:(2)由(1)结合 kAP=4kBQ,可得 kAP·kAQ=-1,设 P(x2,y2),直线 PQ:x=ty+m,联立直线
方程与椭圆方程,利用根与系数的关系及 kAP·kAQ=-1 列式求得 m 值,则可证明直线 PQ 恒过
定点,并求出定点坐标.
答案:(2)由(1)知: 1 1 1
4 4 4
1 ggBQ AP AP AQ AP AQk k k k k k .
设 P(x2,y2),直线 PQ:x=ty+m,
代入 x2+4y2=4,得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0,
∴ 122
2
4
mtyy
t
,
2
12 2
4
4
myy
t
,
由 kAP·kAQ=-1 得:(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
∴(t2+1)y1y2+(m-2)t(y1+y2)+(m-2)2=0,
∴(t2+1)(m2-4)+(m-2)t(-2mt)+(m-2)2(t2+4)=0,
∴5m2-16m+12=0,解得 m=2 或 m= 6
5
.
∵m≠2,∴m= 6
5
,
∴直线 PQ:x=ty+ 6
5
,恒过定点( ,0).
21.设函数 f(x)=ex-asinx.
(1)当 a=1 时,证明:∀x∈(0,+∞),f(x)>1.
解析:(1)求出函数的导数,根据函数的单调性怎么即可.
答案:(1)证明:由 a=1 知 f(x)=ex-sinx,
当 x∈[0,+∞)时,f′(x)=ex-cosx≥0(当且仅当 x=0 时取等号),
故 f(x)在[0,+∞)上是增函数,
又 f(0)=1,故∀x∈(0,+∞),f(x)>f(0)=1,
即:当 a=1 时,∀x∈(0,+∞),f(x)>1.
(2)若∀x∈[0,+∞),f(x)≥0 都成立,求实数 a 的取值范围.
解析:(2)设 y1=ex 与 y2=asinx 在点(x0,y0)处有公切线(x0∈(0,
2
)),求出 a 的范围即可.
答案:(2)当 a=0 时,f(x)=ex,符合条件;
当 a>0 时,设 y1=ex 与 y2=asinx 在点(x0,y0)处有公切线(x0∈(0,
2
)),
则
0
0
0
0
sin
cos
x
x
e a x
e a x
, tanx0=1, x0=
4
a= 42
e ,
故 0<a≤ 42
e ;
当 a<0 时,设 y1=ex 与 y2=asinx 在点(x0,y0)处有公切线(x0∈(π , 3
2
)),
同法可得
5
42
e ≤a<0;
综上所述,实数 a 的取值范围是[
5
42
e , ].
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,圆 C 的极坐标方程为ρ
=4cosθ ,直线 l 的参数方程为
3 2
5
4 1
5
xt
yt
(t 为参数).
(1)求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程.
解析:(1)直线 l 的参数方程消去参数,能求出直线 l 的直角坐标方程,圆 C 的极坐标方程
转化为ρ 2=4ρ cosθ ,由此能求出圆 C 的直角坐标方程.
答案:(1)∵直线 l 的参数方程为 (t 为参数).
∴直线 l 的直角坐标方程为 y-1= 4
3
(x-2),即 4x+3y-11=0,
∵圆 C 的极坐标方程为ρ =4cosθ ,即ρ 2=4ρ cosθ ,
∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0.
(2)设点 P(2,1),直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.
解析:(2)把直线的参数方程代入 x2+y2-4x=0,得 t2+ 8
5
t-3=0,由此能求出|PA|·|PB|.
答案:(2)将 代入 x2+y2-4x=0,
整理得:t2+ t-3=0,
∴|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1·t2|=3.
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式 f(x)>x+5.
解析:(1)去掉绝对值,求出不等式的解集即可.
答案:(1)f(x)>x+5 |2x+1|>x+5, 2x+1>x+5 或 2x+1<-x-5,
∴解集为{x|x>4 或 x<-2}.
(2)若对于任意 x,y∈R,有|x-3y-1|< 1
4
,|2y+1|< 1
6
,求证:f(x)<1.
解析:(2)根据绝对值不等式的性质证明即可.
答案:(2)证明:f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|≤2|x-3y-1|+3|2y+1|< 23
46
=1.
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