高中数学必修1教案：第四章（第29课时）正切函数的图象和性质（1） 7页

课 题：410正切函数的图象和性质（1）‎ 教学目的：‎ ‎1．理解并掌握作正切函数和余切函数图象的方法．‎ ‎2．理解并掌握用正切函数和余切函数的图象解最简三角不等式的方法．‎ 教学重点：勇单位圆中的正切线作正切函数的图象．‎ 教学难点：作余切函数的图象．‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 正切线：‎ 首先练习正切线，画出下列各角的正切线： ‎ 正切线是AT．‎ 现在我们来作正切函数和余切函数的图象．‎ 二、讲解新课： ‎ 正切函数的图象：‎ ‎1．首先考虑定义域：‎ ‎2．为了研究方便，再考虑一下它的周期：‎ ‎ ‎ ‎ 的周期为（最小正周期）‎ ‎3．因此我们可选择的区间作出它的图象 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”‎ 正切函数的性质： ‎ ‎1．定义域：，‎ ‎2．值域：R ‎ ‎3．观察：当从小于，时，‎ ‎ 当从大于，时，‎ ‎4．周期性：‎ ‎5．奇偶性：奇函数 ‎6．单调性：在开区间内，函数单调递增 余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：‎ ‎——即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象 定义域：‎ 值域：R，‎ 当时，当时 周期： ‎ 奇偶性：奇函数 单调性：在区间上函数单调递减 三、讲解范例：‎ 例1比较与的大小 解：，，‎ 又：内单调递增，‎ 例2讨论函数的性质 略解：定义域：‎ 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在上是增函数 图象：可看作是的图象向左平移单位 例3求函数y＝tan2x的定义域 解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)‎ 得x≠＋，(k∈Z)‎ ‎∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝‎ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0‎ 解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜‎ 结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)‎ 例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小 解：∵90°＜135°＜138°＜270°‎ 又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数 ‎∴tan135°＜tan138°‎ 四、课堂练习：‎ ‎1函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为( )‎ ‎2以下函数中，不是奇函数的是( )‎ Ay＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg ‎3下列命题中正确的是( )‎ A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数 Ｃ．y＝｜cos（2x＋）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数 ‎4函数y＝sinx＋tanx，x∈［－，］的值域为 ‎ ‎5函数y＝cotx－tanx的周期为 ‎ ‎6函数y＝的周期为 ‎ ‎7作出函数y＝｜tanx｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间 ‎8试证cotx＝－tan（＋x），并指出通过怎样的图象变换可由y＝tanx的图象得到y＝cotx的图象 ‎9作出函数y＝的图象，并观察函数的周期 参考答案：‎ ‎1C 2B 3C 4［－］ ‎ ‎5 6π ‎7函数y＝｜tanx｜的图象如下图：‎ 函数y＝｜tanx｜的周期为π 单调递增区间为［kπ，＋kπ］，k∈Z 单调递减区间为(－＋kπ，kπ］，k∈Z ‎8(略)‎ ‎9函数y＝的图象如下图：‎ 周期为π 五、小结 本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用 六、课后作业：‎ ‎1正切函数在其定义域上有最值吗?‎ 答：没有，因为正切函数的值域为R且不等于kπ＋ (k∈Z)．‎ ‎2在下列函数中，同时满足的是( )‎ ‎①在(0，)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 Ay＝tanx By＝cosx Cy＝tanx Dy＝－tanx 答案：C ‎3函数y＝tan(2x＋)的图象被平行直线隔开，与x轴交点的坐标是与y轴交点的坐标是(0，1)，周期是，定义域的集合是，值域的集合是R，它是非奇非偶函数 ‎4函数y＝＋的定义域是( )‎ A(2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋，k∈Z B(2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋，k∈Z C(2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋，k∈Z D(2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋或x＝kπ，k∈Z 解：由，得(2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋‎ 答案：C ‎5已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值 解：y＝(tanx－1)2＋2‎ 当tanx＝1时，ymin＝2‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎