高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第22课)直线与平面所成的角和二面角(3) 6页

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(三) ‎ 教学目的：‎ ‎ 1．两个平面垂直的定义、画法．‎ ‎2．两个平面垂直的判定定理．‎ ‎3．两个平面垂直的性质定理．理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题 教学重点：两个平面垂直的判定和性质 教学难点：两个平面垂直的判定及应用 ‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．直线和平面所成角 ‎（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角 直线和平面所成角范围： [0，] ‎（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 ‎2．公式：已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有 ‎3 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；二面角的图形表示：‎ 第一种是卧式法，也称为平卧式：‎ 第二种是立式法，也称为直立式：‎ ‎4．二面角的平面角：‎ ‎ （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 ‎（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 说明：（1）二面角的平面角范围是；‎ ‎（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 二、讲解新课：‎ ‎1 两个平面垂直的定义：‎ 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 ‎2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 已知：直线平面，平面，垂足为，‎ 求证：．（线面垂直面面垂直）‎ 证明：如图所示，令，则，‎ 在内过作，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ 又∵，∴是直角，‎ 所以，与所成的二面角是直角，即．‎ 实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直 ‎3．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 已知：于点，‎ 求证：．（面面垂直线面垂直）‎ 证明：在内过作，则由题意得是的平面角，‎ ‎∵知，又∵， ∴．‎ 三、讲解范例：‎ 例1 如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任一点，求证：平面平面．‎ 分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可 解：∵是圆的直径，∴，‎ 又∵垂直于所在的平面，∴，‎ ‎∴平面，又在平面中，‎ 所以，平面平面．‎ 说明：由于平面与平面相交于，所以如果平面平面，则在平面中，垂直于的直线一定垂直于平面，这是寻找两个平面的垂线的常用方法 例2．已知，求证：．‎ 证明：设，‎ 在内取点，过作于，于点，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，同理可得，‎ ‎∴．‎ 例3．已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长 解：由已知 ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值 解：过点作于点，连接，‎ 则，，为所求与所成角，记为，‎ 令，则，‎ 则在中，有 在中，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值.‎ ‎2．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为 ‎，求二面角的大小 分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理 解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时，‎ ‎∵ ∴‎ ‎∵ ∴面 同理，面 而面面 ‎∴面与面应重合 即在同一平面内，‎ 则是二面角的平面角 在中， ∴‎ 在中， ∴‎ 故（图1）或（图2）‎ 即二面角的大小为或 说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角 ‎3．如图，正方体的棱长为1，，求：‎ ‎（1）与所成角；‎ ‎（2）与平面所成角的正切值；‎ ‎（3）平面与平面所成角 解：（1）∵ ∴与所成角就是 ‎∵平面 ∴（三垂线定理）‎ 在中， ∴‎ ‎（2）作，平面平面 ‎∴平面，为与平面所成角 在中， ∴‎ ‎（3）∵ ∴平面 又∵平面 ∴平面平面 即平面与平面所成角为 说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即在线线成角中找到答案 五、小结 ：‎ ‎1．两个平面垂直的定义、画法 ‎2．两个平面垂直的判定方法（判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．）‎ ‎3．应用两个平面垂直的判定定理的关键是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题；‎ ‎4．两个平面垂直的性质.‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎