2014届高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆（教师版） 29页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆 一、选择题 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 解：当点P位于椭圆的两个短轴端点时，为等腰三角形，此时有2个。,若点不在短轴的端点时，要使为等腰三角形，则有或。此时。所以有，即，所以，即，又当点P不在短轴上，所以，即，所以。所以椭圆的离心率满足且，即，所以选 D．‎ 二、填空题 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆 的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则△的面积是______． ‎ ‎【答案】‎ 解：由椭圆的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形为直角三角形，所以△的面积。‎ ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,的小大为_____________.‎ ‎【答案】【解析】椭圆的,,所以.因为,所以,所以.所以,所以 ‎ 三、解答题 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分分)‎ 已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.‎ ‎【答案】(本题满分分) ‎ 解:(Ⅰ)因为满足, , ‎ ‎.解得,则椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ)(1)将代入中得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为中点的横坐标为,所以,解得 ‎ ‎(2)由(1)知, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，‎ 由解得,所以.‎ 因为△的面积为，解得.‎ 所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由得，显然.…………………5分 设,‎ 则，………………………………………………6分 ‎,. ‎ 又直线的方程为，由解得，‎ 同理得.所以,……………………9分 又因为 ‎.…………………………13分 所以,所以以为直径的圆过点. …………………………………14分 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求 ‎(为原点)面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2, ‎ 一内角为 的菱形的四个顶点, ‎ 所以,椭圆的方程为 ‎ ‎(II)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率, ‎ 当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则 ‎ 所以 ‎ 因为, ‎ 所以,当且仅当时,取得最大值为 ‎ 当直线的斜率不为时,则设的方程为 ‎ 所以,代入得到 ‎ 当, 即 ‎ 方程有两个不同的解 ‎ 又, ‎ 所以,又,化简得到 ‎ 代入,得到 ‎ 又原点到直线的距离为 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 化简得到 ‎ 因为,所以当时,即时,取得最大值 ‎ 综上,面积的最大值为 ‎ ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆:的离心率为,且过点.直线 交椭圆于,(不与点重合)两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ), ,,, ‎ ‎(Ⅱ)设 , ,由 ‎ ‎ , ① ② ‎ ‎, ‎ 设为点到直线BD:的距离, ‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立 ‎ ‎∴当时,的面积最大,最大值为 ‎ ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分)‎ 如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率 ‎,为椭圆的左焦点,且 .‎ ‎(I)求此椭圆的方程;‎ ‎(II)设是此椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得. 连接并延长交直线于点为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由题意可知,, ,, ‎ ‎ 又, ,解得 ‎ 所求椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ)设,则 由 ‎ 所以直线方程由得直线 ‎ ‎ 由 ‎ 又点的坐标满足椭圆方程得到: ,所以 ‎ ‎ 直线的方程: ‎ 化简整理得到: 即 ‎ 所以点到直线的距离 ‎ 直线与为直径的圆相切 ‎ ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．‎ ‎（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分 C1 ,C2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分 C2的方程为．‎ 当m=时，A,C． .………………………………………….5分 又,所以，，解得a=2或a=(舍)， ………….…………..6分 C1 ,C2的方程分别为，．………………………………….7分 ‎（Ⅱ）A(-,m), B(-,m) ． …………………………………………9分 OB∥AN,, ‎ ‎, ． …………………………………….11分 ‎，，． ………………………………………12分 ‎，，．........................................................13分 ．（2013北京西城高三二模数学理科）如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.‎ ‎(Ⅰ)若点的坐标为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)解:依题意,是线段的中点, ‎ 因为,, ‎ 所以 点的坐标为 ‎ 由点在椭圆上, ‎ 所以 , ‎ 解得 ‎ ‎(Ⅱ)解:设,则 ,且. ① ‎ 因为 是线段的中点, ‎ 所以 ‎ 因为 , ‎ 所以 . ② ‎ 由 ①,② 消去,整理得 ‎ 所以 , ‎ 当且仅当 时,上式等号成立. ‎ 所以 的取值范围是 ‎ ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;‎ ‎(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;‎ ‎(Ⅲ)若∆BME面积是∆AMF面积的5倍,求m的值. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)依题意知,,; ‎ ‎(Ⅱ),M (m,),且, ‎ 直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=, ‎ 直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , ‎ 由得, ‎ 由得,; ‎ ‎(Ⅲ),,, ‎ ‎,,, ‎ ‎ ‎ ‎ ,整理方程得,即, ‎ 又,, ,为所求 ‎ ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.‎ ‎【答案】解:(I)由已知得且,解得, ‎ 又,所以椭圆的方程为 ‎ ‎(II)设. ‎ 当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点在轴上,且与点不重合, ‎ 显然三点不共线,不符合题设条件. ‎ 故可设直线的方程为. ‎ 由消去整理得.① ‎ 则, ‎ 所以点的坐标为. ‎ 因为三点共线,所以,因为,所以, ‎ 此时方程①为,则, ‎ 所以, ‎ 又, ‎ 所以, ‎ 故当时,的最大值为 ‎ ．（2013北京东城高三二模数学理科）已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是. ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.‎ ‎(Ⅲ)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.‎ ‎【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为,,所以 . ‎ 因为原点到直线:的距离,解得,. ‎ 故所求椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为, ‎ 所以 解得 ,. 所以. ‎ 因为点在椭圆:上,所以. ‎ 因为, 所以.所以的取值范围为. ‎ ‎(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知. ‎ 设,,的中点是, ‎ 则,. ‎ 所以. 所以. ‎ 即 . 又因为, ‎ 所以.所以 ‎ ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足,且AB⊥AF2.‎ ‎(I)求椭圆C的离心率;‎ ‎(II)若过A、B、F2三点的圆与直线l:x=0相切,求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅲ)在(II)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆的上顶点为 ‎,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.‎ ‎【答案】解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为. ‎ 由直线与圆相切,得, ‎ 所以或(舍去). ‎ 当时,, ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, ‎ 则直线的方程为. ‎ 因为点在椭圆内, ‎ 所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点. ‎ 由得. ‎ 设点的坐标分别为,则 ‎ ‎, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 又因为点到直线的距离, ‎ 所以的面积为 ‎ 设,则且, ‎ ‎. ‎ 因为, ‎ 所以当时,的面积达到最大, ‎ 此时,即. ‎ 故当的面积达到最大时,直线的方程为 ‎ ．（2013北京高考数学（理））已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是. ‎ ‎(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为. ‎ 由消去并整理得. ‎ 设A,C,则,. ‎ 所以AC的中点为M(,). ‎ 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为. ‎ 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. ‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. ‎ ．（2011年高考（北京理））已知椭圆G:.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆G的焦点坐标和离心率;‎ ‎(Ⅱ)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.‎ ‎【答案】【命题立意】本题考查椭圆的标准方程和性质以及直线被椭圆截得的弦长的求法,运用基本不等式求解函数的最值问题.考查学生的运算能力和综合解答问题的能力. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知得, ‎ 所以椭圆G的焦点坐标为,,离心率为 ‎ ‎(Ⅱ)由题意知,. ‎ 当时,切线的方程为,点A,B的坐标分别为,,此时 ‎ 当时,同理可得 ‎ 当时,设切线的方程为, ‎ 由,得 ‎ 设A、B两点的坐标分别为,,则 ‎ 又由与圆相切,得,即 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 由于当时,,所以 ‎ 因为,当且仅当时, ‎ 所以的最大值是2 ‎ ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设,,则,. ‎ 由,得.又因为, ‎ 解得. ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)依题直线的方程为. ‎ 由得. ‎ 设,,则, ‎ 所以弦的中点为 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 直线的方程为, 由,得,则, ‎ 所以 所以 ‎ 又因为,所以. 所以. ‎ 所以的取值范围是 ‎ ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知椭圆C：，左焦点，且离心率 ‎(Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A. 求证：直线过定点,并求出定点的坐标.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由题意可知： ……1分 解得 ………2分 所以椭圆的方程为： ……3分 ‎（II）证明：由方程组 …4分 整理得 ………..5分 设 则 …….6分 由已知，且椭圆的右顶点为 ………7分 ‎ ……… 8分 ‎ 即 也即 …… 10分 整理得： ……11分 解得均满足 ……12分 当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分 当时，直线的方程为,过定点 ‎ 故直线过定点，且定点的坐标为 …….14分 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）椭圆的中心为坐标原点,右焦点为,且椭圆过点.的三个顶点都在椭圆上,设三条边的中点分别为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设的三条边所在直线的斜率分别为,且.若直线 的斜率之和为0,求证:为定值.‎ ‎【答案】解:(1)设椭圆的方程为, ‎ 由题意知:左焦点为 ‎ 所以, ‎ 解得, . ‎ 故椭圆的方程为.(方法2、待定系数法) ‎ ‎(2)设,, ‎ 由:,,两式相减,得到 ‎ ‎ ‎ 所以,即, ‎ 同理, ‎ 所以,又因为直线的斜率之和为0, ‎ 所以 ‎ 方法2: ‎ 设直线:,代入椭圆,得到 ‎ ‎ ‎ ‎,化简得 ‎ 以下同 ‎ ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆的离心率为 ‎（I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程；‎ ‎（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.‎ ‎（i）当，求b的值；‎ ‎（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.‎ ‎【答案】解：（I） ‎ ‎ 解得 椭圆的方程为 …………………………4分 ‎（II）（i）∵e椭圆的方程可化为：‎ ‎ ①‎ 易知右焦点，据题意有AB： ②‎ 由①，②有： ③‎ 设，‎ ‎ ………………………8分 ‎（2）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立.‎ 设M（x，y），‎ 又点M在椭圆上， ④‎ 由③有：‎ 则 ‎ ⑤‎ 又A，B在椭圆上，故有 ⑥‎ 将⑥，⑤代入④可得： ……………………14分 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆的左右两个顶点分别为,点是直线上任意一点,直线,分别与椭圆交于不同于两点的点,点. ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)(i)证明三点共线; ‎ ‎(Ⅱ)求面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ),,所以,. ‎ 所以,椭圆的离心率. ‎ 右焦点. ‎ ‎(Ⅱ)(i),.设,显然. ‎ 则,. ‎ 由解得 ‎ 由解得 ‎ 当时,,三点共线. ‎ 当时,, ‎ ‎, ‎ 所以,,所以,三点共线. ‎ 综上,三点共线. ‎ ‎(Ⅱ)因为三点共线,所以,△PQB的面积 ‎ ‎ ‎ 设,则 ‎ 因为,且,所以,,且仅当时,, ‎ 所以,在上单调递减. ‎ 所以,,等号当且仅当,即时取得. ‎ 所以,△PQB的面积的最大值为. ‎ ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆的离心率为,且经过点 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点,线段的垂直平分线交轴于点,求 的取值范围.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ)椭圆的方程为: ‎ ‎(Ⅱ)设,则 ,. ‎ 依题意有 ,即, ‎ 整理得 . ‎ 将,代入上式,消去, ‎ 得 . ‎ 依题意有 ,所以. ‎ 注意到 ,,且两点不重合,从而. ‎ 所以 . ‎ ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，‎ 又因为，所以，解得，‎ 故椭圆方程为． …………………4分 ‎（Ⅱ）将代入并整理得，‎ 解得． …………………7分 ‎（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明． 设，，‎ 则． …………………9分 ‎ ‎ 所以直线的斜率互为相反数． …………………14分 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.‎ ‎①求四边形APBQ面积的最大值;‎ ‎②设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为 ‎ 由已知b= 离心率 ,得 ‎ 所以,椭圆C的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为 ,,则, ‎ 设AB(),直线AB的方程为,代人 ‎ 得:. ‎ 由△>0,解得,由根与系数的关系得 ‎ 四边形APBQ的面积 ‎ 故当 ②由题意知,直线PA的斜率,直线PB的斜率 ‎ 则 ‎ ‎= ‎ ‎=,由①知 ‎ 可得 ‎ 所以的值为常数0 ‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为, ‎ 依题意得解得,. ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)显然点. ‎ ‎(1)当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,,所以 ‎ ‎(2)当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意. ‎ 由得. ‎ 设,则. ‎ 直线,的方程分别为:, ‎ 令,则. ‎ 所以, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为,所以,所以,即. ‎ 综上所述,的取值范围是 ‎ ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．‎ ‎（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．‎ ‎【答案】解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分 则 ，． …………………………………………2分 所以　， …………………………………3分 所以　椭圆方程为． …………………………………………4分 ‎（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直． …………………………………………6分 于是，设直线的方程为，点，， …7分 则 整理得， … 8分 ‎， ………………………………………… 9分 所以　． ……………………………………… 10分 因为 四边形为平行四边形，‎ 所以 ， ……………………………………… 11分 所以 点的坐标为， ……………………………12分 所以 ， ……………………………13分 解得，‎ 所以．　　　　　　　　　　　　………………………………14分