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- 2021-06-02 发布
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例 2011年上海市长宁区中考模拟第25题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于C点,顶点为D.过点C、D的直线与x轴交于E点,以OE为直径画⊙O1,交直线CD于P、E两点.
(1)求E点的坐标;
(2)联结PO1、PA.求证:△BCD∽△PO1A;
(3) ①以点O2 (0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2与⊙O1相切,当⊙O2经过点C时,求实数m的值;②在①的情形下,试在坐标轴上找一点O3,以O3为圆心画⊙O3,使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11长宁25”,拖动圆心O2在y轴上运动,可以改变⊙O1与⊙O2的位置关系.双击按钮“⊙O1与⊙O2外切”和“⊙O1与⊙O2内切”可以准确显示⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切时的位置.双击按钮“第(2)题”和“第(3)题”可以切换.
请打开超级画板文件名“11长宁25”,
思路点拨
1.这是一道超级难题,放弃可惜,努力又不会有圆满的结果,先拿回第(1)题.
2.第(2)题如果没有规范、准确的图形,很难判断∠BCD=∠PO1A.事实上,△CBE与△O1PE是有公共底角的两个等腰三角形,顶角的邻补角相等,即∠BCD=∠PO1A.
3.第(3)题有几个符合条件的⊙O3呢?画两个坐标系,准确画出C、E两点和⊙O1,一个画出⊙O1与⊙O2外切,另一个画出⊙O1与⊙O2内切,然后仔细端详、思考,能想出几个⊙O3就算出几个.好不容易想到了,如果因为计算错误,那是白劳!
满分解答
(1)由y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8=-2(x+1) (x-3),
得A(-1,0),B(3,0),C(0,6),D(1,8).
直线CD的解析式为y=2x+6,点E的坐标为(-3,0).
(2)已知B(3,0),C(0,6),D(1,8),由两点间的距离公式,可得、.
如图2,⊙O1的直径OE=3,OA=1,所以PO1=,O1A=.
因此.
因为B(3,0)、E(-3,0)关于y轴对称,所以∠B=∠E.所以∠BCD=2∠E.
因为O1E=O1P,所以∠O1PE=∠E.所以∠PO1A=2∠E.
于是证得∠BCD=∠PO1A.
根据两边对应成比例且夹角相等,得到△BCD∽△PO1A.
(3)①对于⊙O1,r1=;对于⊙O2,r2=6-m;圆心距O1O2=.
如图3,当两圆外切时,r1+r2=O1O2.解方程,得.
如图4,当两圆内切时,| r1+r2 |=O1O2.解方程,得.
图2 图3 图4
②符合条件的点O3有7个,坐标为 ,,,,,,.
考点伸展
第(3)②题的⊙O3的示意图如下:图5中,当⊙O1与⊙O2(阴影两圆)外切时,与两圆同时外切的⊙O3有两个,同时内切的⊙O3有两个.
图5中,当⊙O1与⊙O2(无阴影两圆)内切时,与两圆同时内切的⊙O3有四个(阴影四个圆),其中圆心O3在x轴、y轴各有两个.图5与图6中,重合的圆有一个.
图5 图6
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