2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析) 17页

2020 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若 i 为虚数单位，则 1 1 1 A. 1 1 B. 1 1 C. 1 1 D. 1 1 . 已知集合 ሼሼ Tሼ u eT ， 1T 3， T ，则 A. 1T B. 쳌T C. 쳌TT D. 1TT 쳌. 如图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 ， 的前 n 项和 为 ，则下列说法中正确的是 A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 的最大项是 11 D. 数列 的最大项是 11 T. 已知双曲线 的离心率为 쳌 ，则该双曲线的渐近线方程为 A. ሼ e B. ሼ e C. ሼ ± e D. ሼ ± e 5. 如图，抛物线 ሼ ሼ 1 与直线 1 形成一个闭合图形 图中的阴影部分 ，则该闭合 图形的面积是 A. 1 B. T 쳌 C. 쳌 D. 2 6. 函数 ሼ cos ሼ ሼ 1 ሼ 的图象大致是 A. B. C. D. . 执行下面的程序框图，若输入 S，a 的值分别为 1，2，输出的 n 值为 4，则 m 的取值范围为 A. 쳌 u 䁥 B. u 䁥 15C. 15 u 䁥 쳌1D. 쳌1 u 䁥 6쳌 8. 已知 1 ，则 tan T A. 3 B. 쳌 C. 1 쳌 D. 1 쳌 9. 下列命题不正确的是 A. 若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线 B. 若直线 l 上有一点在平面 外，则 l 在平面 外 C. 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 若直线 a，b，c 中，a 与 b 共面且 b 与 c 共面，则 a 与 c 共面 1e. 在 䁨 中，点 D 为边 AB 上一点，若 䁨 䁨 ， 䁨 쳌 ， 쳌 ， sin䁨 쳌 쳌 ，则 䁨的面积是 A. 9 B. 15 C. 6 D. 1 11. 过抛物线 ሼ e 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是原点，如果 쳌 ， ， 䁡 쳌 ，那么 的值为 A. 1 B. 쳌 C. 3 D. 6 1. 已知 ሼ 是定义在 R 上的偶函数，则 5 5 A. 0 B. 5 C. 5 D. e二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1쳌. 函数 ሼ 1 쳌 ሼ 쳌 ሼ 的极大值为________． 1T. ሼ 是奇函数，当 ሼ e 时， ሼ ሼ 쳌 ሼ 1 ，则 1 __________ 15. 䁨 中， 9e ， 䁨 ，D 为边 BC 的中点，则 䁨 ______． 16. 一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍，则圆柱的侧面积是其底面 积的_____________倍 .三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 1. 为了解某地区某种农产品的年产量 ሼ 单位：吨 对价格 单位：千元 吨 的影响，对近五年该 农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 y 8 6 5 4 2 已知 x 和 y 具有线性相关关系． 1 求 y 关于 x 的线性回归方程 ሼ ； 若年产量为 T.5 吨，试预测该农产品的价格． 参考公式： 1 ሼ ሼ 1 ሼ ሼ 1 ሼሼ 1 ሼሼ ， ሼ. 18. 已知正项数列 T 满足 T 1 ． 1 求数列 T 的通项公式； 设 1 1 ，求数列 T 的前 n 项和 ． 19. 如图，棱长为 2 的正方体 䁨 11䁨11 中，P 为 11 的中点． 1 求证： 1䁨1 平面 1䁨 ； 求三棱锥 1 䁕䁨1 的体积． 20. 已知椭圆 C： ሼ 1 e 的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三 角形． 1 求椭圆 C 的标准方程． 设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 ሼ 쳌 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P， . 证明：OT 平分线段 䁕 其中 O 为坐标原点 ． 21. 已知函数 ሼ ሼ ሼ ． 1 若 ሼ 在 eT 单调递增，求实数 a 的取值范围； 证明：当 e 时， ሼ ሻሼ ． 22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ሼ 쳌 쳌 T 为参数 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 䁨1 的极坐标方程为 Tܿ ． 1 求 l 的极坐标方程和 䁨1 的直角坐标方程； 若曲线 䁨 的极坐标方程为 6 ， 䁨 与 l 的交点为 A，与 䁨1 异于极点的交点为 B，求 ． 23. 1 求关于 x 的不等式 ሼ 1 ሼ u 5 的解集； 若关于 x 的不等式 ሼ ሼ 1 䁥 在 ሼ 时恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题． 解： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 故选 C． 2.答案：B 解析： 本题考查交集的运算，属于基础题． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 解： ሼሼ Tሼ u eT ሼe u ሼ u TT ， 1T 3， T ， 쳌T ． 故选：B． 3.答案：C 解析：解：因为 1 月 28 日新增确诊人数小于 1 月 27 日新增确证人数，即 8 ，所以 T 不是递 增数列，所以 A 错误； 因为 2 月 23 日新增确诊病例为 0，即 쳌쳌 쳌T ，所以 T 不是递增数列，所以 B 错误； 因为 1 月 31 日新增确诊病例最多，从 1 月 21 日算起，1 月 31 日是第 11 天，所以数列 T 的最大项 是 11 ，所以 C 选项正确， 数列 T 的最大项是最后一项，所以选项 D 错误， 故选：C． 结合变化曲线图，根据数列的知识即可分别判断． 本题考查了数列的知识和合情推理的问题，属于中档题． 4.答案：D 解析： 本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程，考查计算能力．属于基础题． 利用双曲线的离心率，求出 a，b 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程． 解：双曲线 ሼ 1 eT e 的离心率为 쳌 ， 可得 쳌 ，即 쳌 ，可得 ． 则该双曲线的渐近线方程为： ሼ ± e ． 故选：D． 5.答案：B 解析： 本题考查定积分的应用 .首先联立两方程，求出交点坐标，确定出积分公式中 x 的取值范围为 eT ；再根据定积分的几何意 义，得到闭合图形的面积 e ሼ ሼ 1ሼ e 1 ሼ ， 求解即可． 解：由 1T ሼ ሼ 1T 知 ሼ eT 1 或 ሼ T 1. 故所求面积 e ሼ ሼ 1ሼ e 1 ሼ 1 쳌 ሼ 쳌 ሼ ሼ e ሼe T 쳌 ． 故选 B． 6.答案：C 解析：解：函数 ሼ cos ሼ ሼ 1 ሼ 是奇函数，排除 A，D． 当 ሼ 1 时， 1 1 e ，函数的图象的对应点在第一象限，排除 B． 故选：C． 判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的特殊值判断即可． 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性，特殊点等等是解题的常用方法． 7.答案：B 解析： 本题考查程序框图的应用，属基础题． 直接利用程序框图求出结果． 解：根据程序框图： 1 ， ， 1 ， 当 1 u 䁥 时， 1 1 쳌 ， ， ， 当 쳌 u 䁥 时， 쳌 ， ， 쳌 ， 当 u 䁥 时， 쳌 15 ， ， T ， 输出 T ， 故： u 䁥 15 ， 故选：B． 8.答案：C 解析： 本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 利用两角差的正切公式，求得 tan T 的值． 解： 1 ，则 tan T 1 1 1 1 1 1 1 쳌 ， 故选 C． 9.答案：D 解析： 本题主要考查空间点线面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的位置关系，比较基础． 根据空间点线面的位置关系进行判断． 解： . 若任意三点共线，则必有四点共面， 矛盾， A 正确． B.根据直线在平面外的定义可知，当直线和平面相交或直线和平面平行时，满足条件， B 正确． C.若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则所有直线都和平面没有公共点， 这两个平面 平行， C 正确． D.若三条直线满足两两异面，则结论不成立， 不正确． 故选：D． 10.答案：C 解析： 本题考查的是解三角形的应用和余弦定理，属于中等题． 先根据余弦定理求出 CD 的长，即可得 BD，BC 的长，后求 䁨 的面积即可． 解： 䁨 䁨 ， 䁨 ，则 cos䁨 cos䁨 sin䁨 쳌 쳌 ． 在 䁨 中， 䁨 쳌 ， 쳌 ， 由余弦定理得 쳌 쳌 䁨 쳌 䁨 쳌 쳌 ， 解得 䁨 쳌 ． 在 䁨 中， 䁨 쳌 ， sin䁨 쳌 쳌 ， 则 쳌 쳌 ， 䁨 쳌 ． 故 䁨 1 䁨sin䁨 1 T 쳌 쳌 쳌 쳌 6 ． 故选 C． 11.答案：A 解析：解：如图，作 准线 l， ሻ ， 䁨 ， ， ， 䁡 쳌 ， cos䁨 1 ， 쳌 ， 1 ， 故选：A． 如图，作 准线 l， ሻ ， 䁨 ，利用抛物线的定义，及 䁡 쳌 ，即可求出 的值． 本题考查抛物线的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题． 12.答案：C 解析： 本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题． 根据 ሼ 是偶函数，则 5 5 ，即可得出答案． 解：因为 ሼ 是定义在 R 上的偶函数，所以 5 5 ， 则 5 5 5 ． 故选 C． 13.答案： 쳌 解析： 本题考查利用导数求函数的极值，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 求出导函数，得单调性，即可得极大值． 解：函数 ሼ 1 쳌 ሼ 쳌 ሼ ， 则 ㌳ሼ ሼ 1 ሼ 1ሼ 1 ， 则当 ሼ T 1 或 ሼ 1T 时， ㌳ሼ e ，函数单调递增； 当 ሼ 1T1 ， ㌳ሼ u e ，函数单调递减， 故当 ሼ 1 时，函数有极大值为 1 1 쳌 1 쳌 ． 故答案为 쳌 ． 14.答案： 쳌 解析：因为 ሼ 是奇函数， ሼ ሼ ， 1 1 ，又因为当 ሼ e 时， ሼ ሼ 쳌 ሼ 1 ， 1 쳌 ， 1 쳌 ． 15.答案：2 解析：解： 䁨 中， 9e ， 䁨 ，D 为边 BC 的中点， 则 䁨 1 䁨 䁨 1 䁨 1 䁨 1 ， 故答案为：2． 根据向量的数量积的运算法则计算即可． 本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题． 16.答案： T 解析： 本题主要考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积，难度较易，属于基础题． 根据几何体的性质，公式转化为用 r 表示的式子判断，即可求出答案． 解： 一个圆柱和一个圆锥同底等高 设底面半径为 r，高为 h， 圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍， ሻ 쳌 ， ሻ 쳌 ， 圆柱的侧面积 T ，其底面积 圆柱的侧面积是其底面积的 T 倍， 故答案为 T ． 17.答案：解： 1ሼ 1쳌T5 5 쳌 ， 865T 5 5 ， 1 ሼ ሼ 1 ሼ ሼ 615쳌5 555쳌 1.T ， ሼ 5 1.T 쳌 9. ， 故 y 关于 x 的线性回归方程是 1.Tሼ 9. ； 쳌 当 ሼ T.5 时， 1.T T.5 9. .9 千元 吨 ． 该农产品的价格为 .9 千元 吨． 解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 1 由表格中的数据求得 与 的值，则线性回归方程可求； 在 1 中的回归方程中，取 ሼ T.5 求得 值得答案． 18.答案：解： 1 正项数列 T 满足 T 1 T1 1 1 两式相减 可得 T 1 1 ， 整理得 1 T 分 又 1 1 ，得 16 分 1 ， 1 1 1 11 1 1 1 1 1 .9 分 数列 T 的前 n 项和 1 1 1 쳌 1 쳌 1 5 1 1 1 1 1 1 分 解析： 1 利用数列的前 n 项和与第 n 项的关系，转化求解数列的通项公式即可． 化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可． 本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法，递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力． 19.答案：证明： 1 如图， 在棱长为 2 的正方体 䁨 11䁨11 中， 显然 1䁨1䁨 ， 1䁨1 平面 1䁨 ， 䁨 平面 1䁨 ， 1䁨1 平面 1䁨 ； 解： 1 䁕䁨1 䁨1 1䁕T 高为 䁨11 ， 1䁕 1 1䁕 1 1 1 1 ， 1 䁕䁨1 䁨1 1䁕 1 쳌 1 쳌 ， 三棱锥 1 䁕䁨1 的体积为 쳌 ． 解析：本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 空间思维能力的培养． 1 由 1䁨1䁨 ，能证明 1䁨1 平面 1䁨 ； 由 1 䁕䁨1 䁨1 1䁕T 高为 䁨11 ，能求出三棱锥 1 䁕䁨1 的体积． 20.答案：解： 1 由已知可得， ， ， 解得 6 ， ， 所以椭圆 C 的标准方程是 ሼ 6 1 ； 证明：由 1 可得，F 的坐标是 Te ， 设 T 点的坐标为 쳌T䁥 ， 则直线 TF 的斜率 䁥e 쳌 䁥 ． 当 䁥 e 时，直线 PQ 的斜率 䁕 1 䁥 . 直线 PQ 的方程是 ሼ 䁥 ． 当 䁥 e 时，直线 PQ 的方程是 ሼ ，也符合 ሼ 䁥 的形式． 设 䁕ሼ1T1 ， ሼT ， 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立， 消去 x，得 䁥 쳌 T䁥 e ， 其判别式 16䁥 8䁥 쳌 e ． 所以 1 T䁥 쳌䁥 ， 1 쳌䁥 ， ሼ1 ሼ 䁥1 T 1 쳌䁥 ． 设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为 6 쳌䁥 T 䁥 쳌䁥 ， 所以直线 OM 的斜率 䁡 䁥 쳌 ，又直线 OT 的斜率 䁡 䁥 쳌 ， 所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ． 解析：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，斜率公式和中 点坐标公式，考查运算能力，属于中档题． 1 由焦距的概念和 a，b，c 的关系，及正三角形的概念，即可得到关于 a，b 方程，解方程可得椭 圆的方程； 设 T 点的坐标为 쳌T䁥 ，运用直线的斜率公式，由垂直的条件，可得直线 PQ 的方程，代入椭 圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式， 设 PQ 的中点为 M，结合斜率公式，可得直线 OT 和 OM 的斜率相等，即可得证． 21.答案：解： 1 依题意， ㌳ሼ ሼ ሼ e ，即 ሼ ሼ 在 eT 恒成立， 设 ሼ ሼ ሼ ， ㌳ሼ ሼ ሼ ሼ ， 当 ሼ e 时， ㌳ሼ e ， 所以 ሼ 在 eT 上递增，所以 ሼ e 时， ሼ e e ， 所以 e ，即实数 a 的取值范围为 Te䁥 ． 要证 ሼ ሻሼ ，即要证 ሼ ሼ ሻሼ ， ሼ e ， e ，即证 ሼ ሻሼ ，即证 ሼ 1 ሻሼ 1 ， 令 ሼ ሼ ሼ 1 ， ㌳ሼ ሼ 1 ， ሼ 在 eT 上递增， ሼ e e ， 当 ሼ e 时， ሼ 1 ሼ ， 令 ሼ ሼ ሻሼ 1 ， ㌳ሼ 1 1 ሼ ，令 ㌳ሼ e 得 ሼ 1 ， ሼ 在 eT1 上弟弟递减，在 1T 上单调递增， ሼ 1 e ， ሼ ሻሼ 1 ， 当且仅当 ሼ 1 时，取“ ” ， ሼ 1 ሻሼ 1 得证． 解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题． 1 依题意， ㌳ሼ ሼ ሼ e ，即 ሼ ሼ 在 eT 恒成立，设 ሼ ሼ ሼ ，利用导数即可得出 结果； 要证 ሼ ሻሼ ，即要证 ሼ ሼ ሻሼ ，即证 ሼ ሻሼ ，即证 ሼ 1 ሻሼ 1 ，令 ሼ ሼ ሼ 1 ，利用导数证得 ሼ ሻሼ 1 ，令 ሼ ሼ ሻሼ 1 ，利用导数证得 ሼ ሻሼ 1 ，从而得 证． 22.答案：解： 1 直线 l 的参数方程为 ሼ 쳌 쳌 T 为参数 ， 转换为直角坐标方程为： ሼ 쳌 e ． 设 代入 ሼ 쳌 e ， 整理得直线 l 的极坐标方程为 ， 曲线 䁨1 的极坐标方程为 Tܿ ． 转换为直角坐标方程为： ሼ T ， 曲线 䁨 的极坐标方程为 6 ，曲线 䁨 与 l 的交点为 A， 则： cos 6 쳌sin 6 e ， 解得： 쳌 쳌 ， 与 䁨1 异于极点的交点为 B， 所以： Tܿ 6 쳌 ， 则： T 쳌 쳌 ． 解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的 恒等变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型． 1 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换， 利用线的关系建立方程组，求出极径，进一步求出结果． 23.答案：解： 1 原不等式化为： ሼ u 1 ሼ 1 ሼ u 5 或 1 ሼ ሼ 1 ሼ u 5 或 ሼ ሼ 1 ሼ u 5 T解得 u ሼ u 1 或 1 ሼ 或 u ሼ u 쳌 ． 原不等式的解集为 ሼ u ሼ u 쳌T ； 令 ሼ ሼ ሼ 1 ，由题意可得只须 䁥 ሼ䁥 即可． 当 ሼ 1 时， ሼ ሼ ሼ 1 ሼ 1 eሼ 1 时取等 ； 当 ሼ u 1 时， ሼ ሼ ሼ 1 ሼ 1 ሼ 1 时取等 ． 可得 ሼ 的最小值为 ， 䁥 ， 则实数 m 的取值范围是 T 䁥 ． 解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法， 注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 1 运用绝对值的意义，去绝对值可得 x 的不等式组，解不等式可得所求解集； 令 ሼ ሼ ሼ 1 ，由题意可得只须 䁥 ሼ䁥 即可，去绝对值结合二次函数的最值求法， 可得 m 的范围．