高考数学二轮复习测试题(文科)+三角函数专题+专题复习测试题 22页

高考数学二轮 复习测试题(文科)+三角函数专题+专题复习测试题 高考数学二轮复习测试题(附参考答案) 数学(文科) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 1.集合 { | 1}P x y x   ，集合 { | 1}Q y y x   ，则 P 与 Q 的关系是 A. P ＝ Q B. P Q C. P  Q D. P∩Q＝ 2.复数 1 2 1 i i   的虚部是（ ）． A． 2i B． 1 2 C． 1 2 i D． 3 2 3.已知平面向量 1, ma=（ ） r ， 2 ,m mb=（ ） r ， 则向量 a b r r A．平行于 x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于 y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 4.（文）下列函数中，在 (0, ) 上是增函数的是 A. siny x B. 1y x  C. 2xy  D. 2 2 1y x x   5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的 体积为 A.24 B. 80 C. 64 D. 240 6.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 2 5 8 15a a a   , 则 9S = A．18 B．36 C．45 D．60 7. 角 终边过点 ( 1, 2)P  ，则 sin = A . 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5  D. 2 5 5  8. 在△ ABC中，角 , ,A B C的对边边长分别为 3, 5, 6a b c   , 则 cos cos cosbc A ca B ab C  的值为 A．38 B．37 C．36 D．35 9.方程 1( ) 2 0 2 x x   的根所在的区间为（ ）。 A． ( 1,0) B. (0,1) C． (1,2) D. (2,3) 10.将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ………………………………… 则数表中的数字 2010 出现的行数和列数是 A．第 44 行 75 列 B．45 行 75 列 C．44 行 74 列 D．45 行 74 列 二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 4小题，每小题 5分，满分 20 分. （一）必做题（11—13 题） 11. 已知点 M（1，0）是圆 C: 2 2 4 2 0x y x y    内的一点，那么过点 M 的最短弦所在的 直线方程是 。 12. 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为 100 分 的数学试题，他们所得分数的分组区间为  45,55 ，     55,65 , 65,75 , 75,85 ， 85,95 ， 由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 . 13. 在左下侧程序框图中，输入 2010n  , 按程序运行后输出的结果是 。 （二）选做题（14—15 题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=4 被直线θ＝ π 4 分成 两部分的面积之比是 ． 15. （几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线，切点为 A， PO 交圆 O 于 B，C 两点， 2AC  ，∠PAB=30 0 ，则圆 O 的面积为 。 二、解答题：本大题共 6小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分）已知角 (0, )  ,向量 (2 , cos )m   ， 2(cos ,1 )n   ，且 1m n    ， ( ) 3 sin cosf x x x  。 （Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）求函数 ( )f x  的单调递减区间。 分数 开始 i=0 输入 n n 为偶数 n=(n-3)/2 n=n/2 i=i+1 n=60? 输出 i 结束 是 否 是 否 17. （本小题满分 13 分）在 10 支罐装饮料中，有 2 支是不合格产品，质检员从这 10 支饮料中 抽取 2支进行检验。（Ⅰ）求质检员检验到不合格产品的概率； （Ⅱ）若把这 10 支饮料分成甲、乙两组，对其容量进行测量，数据如下表所示（单位：ml）： 甲 257 269 260 261 263 乙 258 259 259 261 263 请问哪组饮料的容量更稳定些？并说明理由. 18. （本小题满分 13 分）在直四棱柱 1111 DCBAABCD  中， 1 2AA  ，底面是边长为1的正 方形， E、 F 分别是棱 BB1 、DA的中点. (Ⅰ) 直线 BF // 平面 EAD1 ； (Ⅱ)求证： 1D E 面 AEC . F E A B D C 1C 1A 1B 1D 19.（本小题满分 14 分）在直角坐标系 xOy中，以 ( 1,0)M  为圆心的圆与直线 3 3 0x y   相切． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）如果圆M 上存在两点关于直线 1 0mx y   对称,求m的值. （Ⅲ）已知 ( 2,0)A  、 (2,0)B ，圆内的动点 P满足 2| | | | | |PA PB PO  ，求 PBPA  的取 值范围． 高考冲刺强化训练试卷六 文科数学（广东） 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷（选择题） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1、若集合 I＝R， }02sin|{  A ，则下列元素属于 AC I 的是（ ） A、0 B、 2  C、 3  D、 2．已知向量 )2,3(),3,1(   ba ,则   ba 2 等于( ) A.(-4,5) B.(5,-1) C.(-7,7) D.(-7,-7) 3.三个数 a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则 a，b，c 间的关系为 ( ) A．b-a=c-b B．b2=ac C．a=b=c D．a=b=c≠0 4． 已知函数 )1,0(log)(,)(,)(  aaxxhaxgxxf a xa 其中 在同一坐标系中画出 其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是 （ ） 5. 若 ”1 22 “”2“, 22 表示双曲线方程是则      k y k xkRk 的 （ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 6．已知命题 p：“ 0],2,1[ 2  axx ”，命题 q：“ 022, 2  aaxxRx ”． 若命题“ p且 q”是真命题，则实数 a的取值范围为（ ） A． 2a 或 1a B． 2a 或 21  a C． 1a D． 12  a 7．已知 x、y 的取值如下表： 从散点图分析，y 与 x 线性相关，且回归方程为  0.95y x a  ，则 a  ( ) A.2.6 B.2.2 C. 3.25 D.0 8．现有甲、乙两骰子，从 1 点到 6 点出现的概率都是 1/6，掷甲、乙两颗骰子，设分别出 现的点数为 a、b时，则满足 a aba 10|2| 2  的概率为（ ） A、 18 1 B、 12 1 C、 9 1 D、 6 1 9．已知函数 )(xf 的导函数为 2' 2)( xxf  ,  1,1x ,如果 )1()( xfxf  ,则实数 x的取值 范围为（ ） A．（ 2 1 ， ） B．       2 10， C． ) 2 1,1( D．(-1,1) 10.已知一几何体的三视图如下,则这几何体的外接球的表面积为( ) A.2 B.6 C .8 D.16 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（11—13 题） 11. 如右图所示的算法流程图中 x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 E D B C A O （注：“ 1A  ”也可写成“ : 1A  ” 或“ 1A ”, 均表示赋值语句）， 第 4 个输出的数是________． 12.复数(2-i)i=m+ni(i 为虚数单位，m,n 为实数)，则 m+n= ． 13．已知实数 x，y 满足条件         3 01234 04 x yx yx ，Z= 22 yx  的最小值是 ． （二）选做题（14—15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知 A 是曲线ρ=3cosθ上任意一点，则点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的最大值是___________． 15．(几何证明选讲选做题)如图，BD为⊙O的直径，AB AC ，AD交 BC于 E， 2AE  ， 4ED  ．则 AB的长为 ． （第 15 小题） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知函数            2 0,00,A 222cos xAxf 的最大值为 3，  xf 的图像的相邻两对称轴间的距离为 2，在 y 轴上的截距为 2. （Ⅰ）求函数  xf 的解析式； （Ⅱ）若 m= 4 2log ,求 f(m)+f(m+1)的值． 17. （本小题满分 12 分） 某市场搞国庆促销活动,一个人同时转动如图 2 所示 的两个转盘，记转盘（甲）得到的数 x，转盘（乙） 得到的数为 y，设 6 yx 为中一等奖、 yx  为中二等奖． （Ⅰ）求中一等奖的概率； （甲） 图 2 （乙） （Ⅱ）求中二等奖的概率． 18（本小题满分 14 分） 如图,已知三棱锥 P—ABC 中，PA⊥平面 ABC，设 AB、PB、PC 的中点分别为 D、E、F， 若过 D、E、F 的平面与 AC 交于点 G． （Ⅰ）求证点 G 是线段 AC 的中点； （Ⅱ）判断四边形 DEFG 的形状，并加以证明； （Ⅲ）若 PA=8，AB=8，BC=6，AC=10，求几何体 BC-DEFG 的体积． 高考数学二轮复习：三角函数的专题(附参考答案) 一、关于 )2sin(cossincossin  或与 的关系的推广应用： 1、由于  cossin21cossin2cossin)cos(sin 222  故知道 )cos(sin   ，必可推出 )2sin(cossin  或 ，例如： 例 1 已知  33 cossin, 3 3cossin  求 。 分析：由于 )coscossin)(sincos(sincossin 2233   ]cossin3)cos)[(sincos(sin 2   其中，  cossin  已知，只要求出  cossin 即可，此题是典型的知 sin -cos ，求 sin cos 的题型。 解：∵  cossin21)cos(sin 2  故： 3 1cossin 3 1) 3 3(cossin21 2   ]cossin3)cos)[(sincos(sincossin 233   G F E D C B A P 1 2 4 3 1 2 4 3 3 9 4 3 1 3 3] 3 13) 3 3[( 3 3 2  例 2 若 sin +cos =m2，且 tg +ctg =n，则 m2 n 的关系为（ ）。 A．m2=n B．m2= 12  n C． n m 22  D． 2 2 m n  分析：观察 sin +cos 与 sin cos 的关系： sin cos = 2 1 2 1)cos(sin 22    m 而： nctgtg    cossin 1 故： 121 2 1 2 2   n m n m ，选 B。 例 3 已知：tg +ctg =4，则 sin2的值为（ ）。 A． 2 1 B． 2 1  C． 4 1 D． 4 1  分析：tg +ctg = 4 1cossin4 cossin 1    故： 2 12sincossin22sin   。 答案选 A。 例 4 已知：tg +ctg =2，求  44 cossin  分析：由上面例子已知，只要  44 cossin  能化出含 sin ±cos 或 sin  cos  的 式 子 ， 则 即 可 根 据 已 知 tg  +ctg  进 行 计 算 。 由 于 tg +ctg =  2 cossin 1  2 1cossin  ，此题只要将  44 cossin  化成含 sin cos的式子即可： 解：  44 cossin  =  44 cossin  +2 sin 2 cos 2 -2 sin 2 cos 2 =（sin 2 +cos 2）- 2 sin 2 cos 2 =1-2 (sin cos ) 2 =1- 2) 2 1(2 = 2 11 = 2 1 通过以上例子，可以得出以下结论：由于  cossin  ，sin cos 及 tg +ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此 三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知 sin cos，求含  cossin  的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于 （  cossin  ） 2 =1±2sin cos，要进行开方运算才能求出  cossin  二、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需 把含 tg（或 ctg）与含 sin（或 cos）的式子的互化中，本文把这种添 配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： 例 5 已知：tg =3，求   cossin2 cos3sin   的值。 分析：由于   cos sin tg ，带有分母 cos，因此，可把原式分子、分母各项 除以 cos，“造出”tg，即托出底：cos； 解：由于 tg =3 0cos 2   k 故，原式= 0 132 33 12 3 cos cos cos sin2 cos cos3 cos sin                    tg tg 例 6 已知：ctg = -3，求 sin cos -cos 2 =? 分析：由于   sin cos ctg ，故必将式子化成含有   sin cos 的形式，而此题与例 4 有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式： 1cossin 22   及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以 sin，造 出 ctg： 解：   22 2 222 cossin coscossincoscossin1cossin    2sin,分母同除以分子         2 2 2 2 1) sin cos(1 ) sin cos( sin cos ctg ctgctg      5 6 )3(1 )3(3 2 2     例 7 （95 年全国成人高考理、工科数学试卷） 设 2 0, 2 0   yx ， ) 6 sin() 3 sin(sinsin yxyx   且 求： )3)( 3 3(  ctgyctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托 底法”，由于 2 0, 2 0   yx ，故 0sin,0sin  yx ，在等式两边同除以 yx sinsin ，托出分母 yx sinsin 为底，得： 解：由已知等式两边同除以 yx sinsin 得： 1 sin sin 6 coscos 6 sin sin sin 3 coscos 3 sin 1 sinsin ) 6 sin() 3 sin(       y yy x x yx yx  3 3 4)3)( 3 3( 1)3)( 3 3( 4 3 1)3)(13( 4 1 1 sin sin3cos sin sincos3 4 1         ctgyctgx ctgyctgx ctgyctgx y yy x xx “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互 化的计算。由于   cos sin tg ，   sin cos ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比 值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母 的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方 法主要有两种：一种利用 1cossin 22   ，把  22 cossin  作为分母，并不 改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产 生分母。 三、关于形如： xbxa sincos  的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用： 可 以 从 公 式 )sin(sincoscossin xAxAxA  中 得 到 启 示 ： 式 子 xbxa sincos  与上述公式有点相似，如果把 a，b 部分变成含 sinA，cosA 的式 子，则形如 xbxa sincos  的式子都可以变成含 )sin( xA  的式子，由于-1≤ )sin( xA  ≤1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把 a 当成 sinA，b 当成 cosA，如式子： xx sin4cos3  中，不能设 sinA=3，cosA=4，考虑： -1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：           x ba bx ba abaxbxa sincossincos 2222 22 由于 1)()( 2 22 2 22     ba b ba a 。 故可设： 22 sin ba aA   ，则 AA sin1cos  ，即： 22 cos ba bA   ∴ )sin()sincoscos(sinsincos 2222 xAbaxAxAbaxbxa  无论 xA  取何值，-1≤sin(A±x)≤1， 22 ba  ≤ )sin(22 xAba  ≤ 22 ba  即： 22 ba  ≤ xbxa sincos  ≤ 22 ba  下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例 1（98 年全国成人高考数学考试卷） 求：函数 xxxy cossincos3 2  的最大值为（AAAA ） A． 2 31 B． 13  C． 2 31 D． 13  分析： xxxx 2sin 2 1cossin2 2 1cossin  ，再想办法把 x2cos 变成含 xcso2 的 式子： 2 12coscos1cos22cos 22   xxxx 于是： xxy 2sin 2 1 2 12cos3    xx 2sin 2 1 2 32cos 2 3  2 3)2sin 2 12cos 2 3(  xx 由于这里： 1) 2 1() 2 3(, 2 1, 2 3 2222  baba 则 ∴ 2 3)2sin 2 12cos 2 3(1  xxy 设： 2 1cos, 2 3 1 2 3 sin 22    A ba aA 则 ∴ 2 32sincos2cossin  xAxAy 2 3)2sin(  xA 无论 A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故 2 31 ≤ y≤ 2 31 ∴ y的最大值为 2 31 ，即答案选 A。 例 2 （96 年全国成人高考理工科数学试卷） 在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA= 3 ，分别在边 AB、BC、CA 上任取点 D、 E、F，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD 的边长 最短？并求此最短边长。 分析：首先，由于 22222 4)3(1 ABCABC  ，可知△ABC 为 Rt△， 其中 AB 为斜边，所对角∠C为直角，又由于  30, 2 1sin A AB BCA 故 ，则∠B= 90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF 的最短边长，故必要设正△DEF 的边长 为 l，且要列出有关 l为未知数的方程，对 l进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°， DE= l，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于 l的 方程。在图中，由于 EC= l·cosα，则 BE=BC-EC=1- l·cosα。 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α ∠B=60°，∠DEF=60° ∴在△BDE 中，根据正弦定理：        60sinsin cos1 sinsin ll B DE BDE BF    sincos 2 3 2 3sin)cos1( 2 3  llll  sincos 2 3 2 3   l 在这里，要使 l有最小值，必须分母：  sincos 2 3  有最大值，观察： 2 71) 2 3(1, 2 3,sincos 2 3 2222  baba ∴ )sin 7 72cos 7 21( 2 7sincos 2 3   设： 7 21sin A ，则 7 72cos A 故： )sincoscos(sin 2 7sincos 2 3  AA  )sin( 2 7  A ∴  sincos 2 3  的最大值为 2 7 。 即： l的最小值为： 7 21 2 7 2 3  而 )sin( A 取最大值为 1时， AkkA  2 2 2 2  ∴ 7 72cos) 2 2sin(sin  AAk  即： 7 72sin  时，△DEF 的边长最短，最短边长为 7 21 。 从以上例子可知，形如 xbxa sincos  适合于计算三角形函数的极值问题。 计算极值时与式子的加、减是无关，与 22 ba  的最值有关；其中最大值为 22 ba  ，最小值为 22 ba  。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形 如 xbxa sincos  的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。 三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式. 1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)； 3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线 y+x=0 的上方（或下方）; 2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线 y-x=0 的上方（或下方）; 3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内. 三、见“知 1求 5”问题，造 Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4， 5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。 五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知 tanα,求 sinα与 cosα的齐次式， 有些整式情形还可以视其分母为 1，转化为 sin 2 α+cos 2 α. 六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式： 1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β. 七、见“sinα±cosα与 sinαcosα”问题，起用平方法则： (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故 1.若 sinα+cosα=t,(且 t2≤2),则 2sinαcosα=t2-1=sin2α; 2.若 sinα-cosα=t,(且 t 2 ≤2),则 2sinαcosα=1-t 2 =sin2α. 八、见“tanα+tanβ与 tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？ 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0) 1.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行 于 y轴的直线分别成轴对称； 2.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别 成中心对称； 3.同样，利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+φ)和函数 y=Acot(wx+φ)的 对称性质。 十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx) 2 =(a 2 +b 2 )sin2(x+φ)≤(a 2 +b 2 ); 3.asinx+bcosx=c 有解的充要条件是 a2+b2≥c2. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 1.cos2x=1-2sin 2 x=2cos 2 x-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等 角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-co sα)/(1+cosα) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 高考数学第二轮专题复习测试题(附参考答案) A 级 基础达标演练 (时间：40 分钟 满分：60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2012·福州调研)若 x＞0，则 x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析 ∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x的值为( )． A.1 3 B.1 2 C.3 4 D.2 3 解析 ∵0＜x＜1，∴1－x＞0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 x＋1－x 2 2＝ 3 4 . 当 x＝1－x，即 x＝1 2 时取等号． 答案 B 3．把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的 最小值为( )． A．4 B．8 C．16 D．32 解析 设截成的两段铁丝长分别为 x,16－x,16＞x＞0，则围成的两个正方形面积 之和为 S＝ x 4 2＋ 16－x 4 2≥ x 4 ＋ 16－x 4 2 2 ＝8，当且仅当 x 4 ＝ 16－x 4 ，即 x＝8 时，等 号成立．故两个正方形面积之和的最小值为 8. 答案 B 4．(2012·合肥模拟)若正实数 a，b满足 a＋b＝1，则( )． A.1 a ＋ 1 b 有最大值 4 B．ab有最小值 1 4 C. a＋ b有最大值 2 D．a2＋b2有最小值 2 2 解析 由基本不等式，得 ab≤a2＋b2 2 ＝ a＋b2－2ab 2 ，所以 ab≤1 4 ，故 B 错； 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b ab ＝ 1 ab ≥4，故 A 错；由基本不等式得 a＋ b 2 ≤ a＋b 2 ＝ 1 2 ，即 a＋ b≤ 2，故 C 正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×1 4 ＝ 1 2 ，故 D 错． 答案 C 5．(2011·重庆)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C.9 2 D．5 解析 依题意得 1 a ＋ 4 b ＝ 1 2 1 a ＋ 4 b (a＋b)＝1 2 5＋ b a ＋ 4a b ≥ 1 2 5＋2 b a × 4a b ＝ 9 2 ，当 且仅当 a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即 a＝2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 ，选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．若 x＞1，则 x＋ 4 x－1 的最小值为________． 解析 x＋ 4 x－1 ＝x－1＋ 4 x－1 ＋1≥2 x－1· 4 x－1 ＋1＝5，等号当且仅当 x－1＝ 4 x－1 ，即 x＝3 时成立． 答案 5 7．函数 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A在直线 mx＋ny－1＝0(mn ＞0)上，则 1 m ＋ 1 n 的最小值为________． 解析 ∵y＝a1－x恒过点 A(1,1)，又∵A在直线上， ∴m＋n＝1.而1 m ＋ 1 n ＝ m＋n m ＋ m＋n n ＝2＋n m ＋ m n ≥2＋2＝4，当且仅当 m＝n＝1 2 时， 取“＝”，∴ 1 m ＋ 1 n 的最小值为 4. 答案 4 8．(2011·浙江)若实数 x，y满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y的最大值为________． 解析 由 x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1， 即 xy＝(x＋y)2－1≤x＋y2 4 ，所以 3 4 (x＋y)2≤1， 故－ 2 3 3 ≤x＋y≤2 3 3 ， 当 x＝y时“＝”成立，所以 x＋y的最大值为 2 3 3 . 答案 2 3 3 三、解答题(共 23 分) 9．(11 分)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， ∴ xy≥8，∴xy≥64. 故 xy的最小值为 64. (2)由 2x＋8y＝xy，得： 2 y ＋ 8 x ＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y) 2 y ＋ 8 x ＝10＋2x y ＋ 8y x ≥10＋8＝18. 故 x＋y的最小值为 18. 10．(12 分)(2011·丽水模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上 建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10) 层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用 y关于建造层数 x的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是 多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积 ) 解 (1)依题意得 y＝(560＋48x)＋2 160×10 000 2 000x ＝560＋48x＋10 800 x (x≥10，x∈N＋)； (2)∵x＞0，∴48x＋10 800 x ≥2 48×10 800＝1 440(元)， 当且仅当 48x＝10 800 x ，即 x＝15 时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为 560＋1 440＝2 000(元)． 所以，当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值 为 2 000 元． B 级 综合创新备选 (时间：30 分钟 满分：40 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1．(2011·皖南八校联考(二))已知 x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d， y成等比数列，则 a＋b2 cd 的最小值是( )． A．0 B．1 C．2 D．4 解析 由题知 a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则 a＋b2 cd ＝ x＋y2 xy ≥ 2 xy2 xy ＝ 4，当且仅当 x＝y时取等号． 答案 D 2．(2011·厦门模拟)若直线 ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则 1 a ＋ 1 b 的最小值为( )． A.1 4 B. 2 C.3 2 ＋ 2 D.3 2 ＋2 2 解析 圆的直径是 4，说明直线过圆心(－1,2)，故 1 2 a＋b＝1，1 a ＋ 1 b ＝ 1 2 a＋b 1 a ＋ 1 b ＝ 3 2 ＋ b a ＋ a 2b ≥ 3 2 ＋ 2，当且仅当 b a ＝ a 2b ，即 a＝2( 2－1)，b＝2－ 2时取等号． 答案 C 二、填空题(每小题 4 分，共 8 分) 3．(2011·湖南)x，y∈R，且 xy≠0，则 x2＋ 1 y2 1 x2＋4y2 的最小值为________． 解析 x2＋ 1 y2 1 x2＋4y2 ＝1＋4＋4x2y2＋ 1 x2y2≥1＋4＋2 4x2y2· 1 x2y2＝9，当且仅当 4x2y2＝ 1 x2y2时等号成立，即|xy|＝ 2 2 时等号成立． 答案 9 4．(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝2 x 的图象交于 P，Q两点，则线段 PQ长的最小值是________． 解析 假设直线与函数 f(x)＝2 x 的图象在第一象限内的交点为 P，在第三象限内的 交点为 Q，由题意知线段 PQ的长为 OP长的 2 倍． 假设 P点的坐标为 x0， 2 x0 ，则|PQ|＝2|OP|＝2 x20＋ 4 x20 ≥4.当且仅当 x20＝ 4 x20 ，即 x0＝ 2时，取“＝”号． 答案 4 三、解答题(共 22 分) 5．(10 分)已知 a，b＞0，求证： a b2＋ b a2≥ 4 a＋b . 证明 ∵ a b2＋ b a2≥2 a b2· b a2＝2 1 ab ＞0， a＋b≥2 ab＞0， ∴ a b2＋ b a2 (a＋b)≥2 1 ab ·2 ab＝4. ∴ a b2＋ b a2≥ 4 a＋b .当且仅当 a b2＝ b a2， a＝b 取等号， 即 a＝b时，不等式等号成立． 6．(12 分)(2011·洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式， 某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩 形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影 部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面积 为 S平方米． (1)试用 x表示 S； (2)当 x取何值时，才能使得 S最大？并求出 S的最大值． 解 (1)由题图形知，3a＋6＝x，∴a＝x－6 3 . 则总面积 S＝ 1 800 x －4 ·a＋2a 1 800 x －6 ＝a 5 400 x －16 ＝ x－6 3 5 400 x －16 ＝1 832－ 10 800 x ＋ 16x 3 ， 即 S＝1 832－ 10 800 x ＋ 16x 3 (x＞0)． (2)由 S＝1 832－ 10 800 x ＋ 16x 3 ， 得 S≤1 832－2 10 800 x ·16x 3 ＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当 10 800 x ＝ 16x 3 ，此时，x＝45.