高三数学模拟试题精选精析第02期专题4 19页

模拟试题精选精析 专题四 【精选试题】 1. 三个内角 所对的边为 ，已知 且 ，则角 等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】由正弦定理可得： ，则 ，又 ，所以 ，故选 A。 2.已知倾斜角为 的直线l 过 x 轴上一点 A （非坐标原点O ），直线l 上有一点  0 0cos130 ,sin50P ，且 030APO  ，则 等于（ ） A．100° B．160° C．100°或 160° D．130° 【答案】C 3. 如图，设 ,A B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧河岸选定一点 C ，测出 AC 的距离为 50 米， 045ACB  ， 0105CAB  ，则 ,A B 两点的距离为（ ） A. 50 2 米 B. 50 米 C. 25 米 D. 25 2 2 米 【答案】A 【解析】在△ABC 中，∵∠ACB=45°，∠CAB=105°，∴∠B=30°，由正弦定理可得： AC sin sin AB B ACB  ， *sin 50 2.sin AC ACBAB B   故答案为：A. 4. 若两个非零向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ，则 ，得 ，所以 ； 根据条件得到图象，不妨设 ， ，则 ， 则 ，故选 D。 5. 若等比数列 na 的前 5 项的乘积为 1， 6 8a  ，则数列 na 的公比为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 1 2 【答案】B 6．函数 的零点是 和 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，得 ，即 ，则 ， 所以 ，故选 C。 7.在 ABC 中，内角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ，若 0sin2sin  AbBa ， cb 3 ，则  a c （ ） A．1 B． 3 3 C． 2 2 D． 2 【答案】A 【解析】由 0sin2sin  AbBa 得 2 sin cos sin 0a B B b A  ，由正弦定理得 2sin sin cos sin sin 0A B B B A  ，所以 1cos 2B   ，由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B   即 2 2 23c a c ac   ， 2 2 1 0c c a a        ，解之得 1c a  ，故选 A. 8. 把函数 2 2sin cos6 6y x x              的图像向左平移 ( 0)   个单位就得到了一个奇函数的图 象，则 的最小值是（ ） A. 5 12  B. 6  C. 12  D. 3  【答案】C 9.曲线 xy e 在点 2(2 )e， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A、 29 4 e B、 22e C、 2e D、 2 2 e 【答案】D 【解析】 2 2 2 2 2 2 2' | ( 2) (1,0), (0, )x xy e y e y e e x y e x e A B e            2 21 12 2 eS e     ，故选 D. 10. 设有一个正方形网格(线条宽度忽略不计，部分网格如图)，其中每个最小正方形 的边长都等于 .现用目前流通的直径是 的—元硬币投掷到此网格上，则 硬币完全落入网格内（与格线没有公共点）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】一个小正方形内的完全落入的区域为 ，一个小正方形面积 ， 所以概率为 ，故选 A。 11. 函数 2sin , ,2 2y x x x         的图象大致为（ ） A. B. C D. 【答案】D 12．如图，过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线l 交抛物线于点 ,A B ， 交其准线于点C ，若 2BC BF ，且 3AF  ，则此抛物线的方程为（ ） A. 2 3 2y x B. 2 3y x C. 2 9 2y x D. 2 9y x 【答案】B 【解析】由题意，过点 ,A B 分别作准线的垂线，垂足为 A B ， ，如图所示，根据抛物线定义得 BB BF  ， 又 2 2BC BF BB   ，则 30BCB   ，即 60AFx  ，所以直线 AB 的斜率为 tan 3k AFx   ，又点 ,02 pF      ，所以直线 AB 的方程为 3 2 py x     ，联 立直线与抛物线的方程 2 2 { 3 2 y px py x       ，解得 1 2 3 ,2 6 p px x  ，结合图形知，点 A 的横坐标为 3 2 p ，又 3AA AF   ，则 3 332 2 2 p p p    ，所以抛物线的方程 为 2 3y x ，故选 D. 点睛：此题主要考查抛物线方程，直线与抛物线位置关系中焦点弦与抛物线交点坐标关系、弦长问题等， 以及直线方程、解方程、数形结合等能力有关方面知识，属于中档题型，也是高频考点.在解决此类问题 过程中，注意结合抛物线定义和焦点弦性质的应用，再配合数形结合法，从而解决问题. 13. 若函数 在 上的图象与直线 恰有两个交点.则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知， 在 存在两个最大值， 则 ，所以 ，故选 A。 点睛：三角函数的图象问题利用图象辅助解题，由题意可知，在 存在两个最大值，则在图象上得到第二个最大值 和第三个最大值 ，因为在 恰有两个最大值，则得到 ，解得答 案。 14. 设角 , ,A B C 为锐角 ABC 的三个内角，则点  sin cos ,cos sinP A B A C  在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 15. 已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则  PA PB PC    的最小值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 8 3  【答案】B 【解析】如图建立坐标系，      0,2 3 , 2,0 , 2,0A B C ，设  ,P x y ，则      ,2 3 , 2 , , 2 ,PA x y PB x y PC x y            ，       2 2,2 3 2 , 2 2 2 4 3PA PB PC x y x y x y y               222 3 6 6x y         ，最小值为 6 ，故选 B。 点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用。坐标 法后得到函数关系，求函数的最小值。向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法。 16. 如果对于任意实数  ,x x 表示不超过 x 的最大整数，那么“   =x y ”是“ 1x y  成立”的( )． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“   x y ”，设   x a y a x a b y a c     ， ， ， 其中 [01b c， ，）， 1x y b c x y      ＜ 即“   x y ”成立能推出“  1x y  ”成立，反之，例如 1.2 2.1x y ， 满足  1x y  但   1 2x y ， ，即  1x y  成立，推不出   x y ，故 “   x y ”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件，故选 A 17. 已知 1 2,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点 2F 关于渐近线的 对称点 P 恰好落在以 1F 为圆心、 1OF 为半径的圆上，则双曲线 的离心率为（ ） A. 3 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】C 点睛：这是圆锥曲线中的常见题型，求离心率的值，求离心率的范围问题；无论是求值或者求范围，都 是找 a,b,c 的方程或不等式；一般的方法有：通过定义列方程，由焦半径的范围列不等式，根据图形特 点找等量关系，例如中位线，等腰三角形，直角三角形的勾股定理的单。 18. 将函数 sin 2 6y x      图象上的点 3 π, (0 )2 4M         向右平移 ( 0)t t  个单位长度得到点 M  ，若 M  位于函数 sin2y x 的图象上，则（ ） A. π 12   ， t 的最小值为 π 12 B. π 12   ， t 的最小值为 π 6 C. π 6   ， t 的最小值为 π 6 D. π 6   ， t 的最小值为 π 12 【答案】A 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所 以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言. 19. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规 则表上数字标签：原点处标 0 点 处标 1，点 处标 2，点 处 标 3，点 处标 4，点 点标 5，点 处标 6，点 处标 7， 以此类推，则标签 的格点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得 ，选 A. 20. 已知    x xf x x Re   ，若关于 x 的方程    2 1 0f x mf x m    恰好有 4 个不相等的实数解， 则实数 m 的取值范围为（ ） A.  1 ,2 2,ee      B. 1 ,1e      C. 11, 1e     D. 1 ,ee      【答案】C 【解析】化简可得 f（x）= x x e = , 0 { , , 0 x x x xe x xe    当 x≥0 时，f′（x）= 1 x x e  ， 当 0≤x＜1 时，f′（x）＞0，当 x≥1 时，f′（x）≤0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞） 单调递减；当 x＜0 时，f′（x）= 1 x x e  ＜0，f（x）为减函数，∴函数 f（x）= x x e 在（0，+∞）上有一 个最大值为 f（1）= 1 e ， 1 e 且 0＜m2＜ 1 e ，设 g（m）=m2﹣tm+t﹣1，则   2 0 1 0 1 1 1 1{ 1 0 { 0 02 g t t t eg t te e e e tt                  ，解得 1＜t＜ 1+ 1 e ， 故答案选：C。 点睛：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了 学生分析问题和解决问题的能力，一般对于这种复合函数题目，利用换元法转化为一元二次方程，是解 决本题的关键，这样内层是分式型的函数，外层是二次型的，对应内外层函数找对应的根的个数即可。 21. 函数 与 的图象关于直线 对称， 分别是函数 图象上 的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得当 P 点处切线平行直线 ，Q 为 P 关于直线 对称点时， 取 最小值. ， 的最小值为 ， 选 D. 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图 象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 22. 刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的 奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九 章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一 为鳖臑.” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其 实这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为 直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥 A BCD 中， AB 垂直于平面 BCD， AC 垂直于CD ，且 1AB BC CD   ，则三棱锥 A BCD 的外接球的球面面积为__________. 【答案】 3 23.已知双曲线 的渐近线过圆 的圆心，则 __________． 【答案】4 【解析】由题可知， ，圆心为 ，所以双曲线的一条渐近线方程 ，得 ， 所以 。 24.设正实数 x ， y 满足 4x y xy  ，则 x y 的最小值是 ． 【答案】9 【解析】 4 14 1x y xy y x      ，所以 4 1 4 4( )( ) 5 5 2 9x y x yx y x y y x y x y x           ，当且 仅当 4x y y x  时，取最小值 9. 【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的 条件才能应用，否则会出现错误. 25. 对于任意两集合 ，定义 且 ， 记 ，则 __________． 【答案】 【解析】 ， ，所以 26. 已知 ，则 __________． 【答案】 27. 已知 是正数，且函数   sin 3cosf x x x   在区间 ,4 2       上无极值，则 的取值范围是 _____. 【答案】  5 10 110, ,3 3 3     【解析】函数   sin 3cosf x x x   2sin 3wx      ，在区间 ,4 2       上无极值，即函数在区间 上无零点。假设在区间上有零点， ,3 4 3 2 3wx w w           ，则应满足： 4 w   ， ,2 4 3 2 3k w w             4 { 5 102 4 ,3 3 w k w k k Z       结合两个式子，及对 k 赋值，得到 5 10 11, ,43 3 3k            ，因为是假设的反面，故应该取补集，得到：  的取值范围是  5 10 110, ,3 3 3     。 故结果为：  5 10 110, ,3 3 3     。 点睛：这个题考查了三角函数的化一公式，两角和差公式，三角函数的最值极值，是一道比较好的题目。 值得一提的是，解题的思想：正难，则反的思想。对于三角函数的最值和零点问题，多数是应用图像的 整体思想，来解决，将相位看作一个整体，放到 sinx 中，相当于 x 的位置去考虑。 28. 若 表示不超过 的最大整数（如： 等等）， 则 __________． 【答案】 【解析】 所以 ，因此 2017 29. 方程 的实数解的个数为__________． 【答案】 30.在△ ABC 中，点 D 在直线 AB 上，CD BC ， 5 3AC  ， 5CD  , 2BD AD ，则 AD 的长 为 ． 【答案】5 或 35 【解析】如图所示： 延长 BC ，过 A 做 AE BC ，垂足为 E，∵ / / 5 2CD BC CD AE CD BD AD   ， ， ， ，∴ 2 3 CD AE  ， 解得 15 2AE  ，在 2 2 2 15 525 3 4 2 3Rt ACE CE AC AE      ， ，由 2BC CE  得 2 5 3BC CE  ，在 Rt BCD 中， 2 2 25 3 25 10BD BC CD      ，则 5AD  ． 【思路点睛】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，根据题意画出图象， 延长 BC 、过 A 做 AE BC 、垂足为 E ，根据平行线的性质和勾股定理依次求出 AE CE BC BD、 、 、 ， 由条件求出 AD 的长． 31. 设 ABC 三个内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， ABC 的面积 S 满足 2 2 24 3S a b c   . （1）求角 C 的值； （2）求sin cosB A 的取值范围. （1） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 1cos , 2 cos sin2 24 3 4 3 a b c a b c ab CC a b c ab C S ab Cab          ， 3tan 3C  ， 6C  . （2）sin cos cos 3B A A        或者 sin 6A     ， sin 3B     ， cos 6 B    ，因为 50, 6A     ， 所以 7,3 3 6A        ， 1cos ,13 2A             ，所以 1sin cos ,12B A       . 32. 2016 年 6 月 22 日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息 化大会”，某机构随机抽取了年龄在 15-75 岁之间的 100 人进行调查，经统计“青少年”与“中老年” 的人数之比为 9: 11. （1）根据已知条件完成下面的 2 2 列联表,并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加 关注“国际教育信息化大会”； （2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查.在这 9 人中再选取 3人进行面对面 询问，记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 附:参考公式        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 临界值表： 试题解析：（1）依题意可知，抽取的“青少年”共有 9100 4520   人，“中老年”共有100 45 55  人 . 完成的 2 2 列联表如下： 则        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2100 30 35 20 15 9.09155 50 55 45        ， 因为  2 6.635 0.01,9.091 6.635P K    ,所以有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注 “国际教育信息化大会”. （2）根据题意知选出关注的人数为 3，不关注的人数为 6，在这 9 人中再选取 3 人进行面对面询问， X 的取值可以为 0，1，2，3，则   3 6 3 9 20 50 84 21 CP X C     ，   1 2 3 6 3 9 45 151 84 28 C CP X C     ，   2 1 3 6 3 9 18 32 84 14 C CP X C     ，   3 3 3 9 13 84 CP X C    .所以 X 的分布列为 数学期望   20 45 18 1 45 36 30 1 2 3 184 84 84 84 84E X            . 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有 可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式， 求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列 的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 33. 已知数列 满足 ，其中 为 的前 项和 . （1）求 及数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求 的最大值和最小值. 试题解析：（1）数列 满足 ，则 ， 即数列 为以 1 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，所以 . （2）在数列 中， ， 为 的前 项和，则 ， 显然 时 ， 时 . 点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再 求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合 在一起. 34. 如图，五面体 中， 平面 为直角梯形， . （1）若 为 的中点，求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，因为 分别是 的中点，所以 且 ， 因为 ，所以 且 ，所以 ,又 平面 平面 ，所以 平面 . （2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴和 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ， 则 ， , 设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 ， 同理可求平面 的一个法向量为 ，平面 和平面 为同一个平面，所以二面角 的余弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐 标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 35. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 2，且过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）若点 分别是椭圆 的左右顶点，直线 经过点 且垂直与轴， 点 是椭圆上异于 的任意一点，直线 交 于点 . ①设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值； ②设过点 垂直于 的直线为 ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标. 试题解析：（1）由题意椭圆 的焦距为 2，且过点 ，所以 ， 解得 ，所以椭圆 的标准方程为 . （2）①设 ，则直线 的方程为 ，令 得 ，因为 ， 因为 ，所以 ，因为 在椭圆上，所以 ，所以 为 定值， ②直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，所以直线 过定点 . 点睛：1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ，然后利用条件建立 等量关系进行消元，借助于 直线系的思想找出定点． (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 36.己知函数   1ln  axxxf 。 (1)试探究函数  xf 的单调性； (2)若  xf 的图象与 x 轴交于 ))(0,(),0,( 2121 xxxBxA  两点，AB 中点为 )0,( 0xC ，设函数  xf 的导函 数为 )(xf  , 求证： 0)( 0  xf . 究    2 1 ln1 th t tt   的性质，从而证明 0'( )f x 的正负． 试题解析：定义域为  ,0 ， x axaxxf  11)( (1)当 时0a ， 0)(  xf 恒成立。 )(xf 在  ,0 单调递增; 当 时0a )(xf 在      a 1,0 递增，在      ,1 a 递减。 (2)由 1 1 1 2 2 2 ( ) 0 ln 1 0, ( ) 0 ln 1 0, f x x ax f x x ax           得 1 2 1 2 ln lnx xa x x   1 2(0 )x x  ' 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2 ln ln1 2 2( ) x xf x a ax x x x x x x         1 2 1 1 2 1 2 2 2( )1 [ ln ]x x x x x x x x    = 1 2 1 11 2 2 2 2( 1)1 [ ln ] 1 x x x xx x x x    ，令 1 2 (0,1)x tx   ，设 2( 1)( ) ln1 th t tt   ， (0,1)t  则 2 ' 2 2 4 1 ( 1)( ) ( 1) ( 1) th t t t t t      ，又 (0,1)t  ， ' ( ) 0h t  ， ( ) (1) 0h t h   ，即 1 2 1 1 2 2 2( 1) ln 0 1 x x x x x x     ，又 1 2 1 0x x  ， 0( ) 0f x  。 【思路点睛】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在 对 0 1a  进行研究时，一定要注意到  f x 的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2） 中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令 1 2 ( )01x tx   ， 的化简和换元，使得原本比较复杂的式子 变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求． 37. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点 ,M N 的极坐标分别为  2 32,0 , ,3 2       .圆 C 的参数方程为 2 2 { 3 2 x cos y sin        ( 为参数). （1）设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系. （1） ,M N 的平面直角坐标为  2 32,0 , 0, 3       ，于是 P 的坐标为 31, 3       所以 OP 的平面直角坐标方程为：  3 3 03y x x y   （2）直线l 的方程为： 3 2 0x y   ，圆C 的方程为：    222 3 4x y    ， C 到l 的距离 3 22d   ，所以l 与C 相交. 38. 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. （1）当 时，不等式 化为 ，解得 ，当 时，不等式 化为 ，无解，当 时，不等式 化为 ，解得 ，综上，不等式的解集为 或 （2）由上述可知 的最小值为 9，因为不等式 恒成立，所以 ，所以 ， 故实数 的取值范围为 点睛：绝对值问题最常用的方法就是去绝对值得到分段函数，本题中得到分段函数后，再分段解不等式， 注意观察各自分段的范围即可；函数不等式恒成立问题，只需 即可，本题中通过前面的 讨论得到 ，解绝对值不等式即可。