2020届二轮复习专题一第2讲　曲线运动与万有引力课件（81张） 81页

第 2 讲 曲线运动与万有引力 总纲目录 考点一 运动的合成与分解、平抛运动 考点二 圆周运动 考点四 人造卫星和宇宙航行 素养提升 竖直平面圆周运动的重要模型 —— “ 绳、杆”模型 考点三 万有引力定律及其应用 考点一　运动的合成与分解、平抛运动 1.(多选)(2019课标Ⅱ,19,6分)如图(a),在跳台滑雪比赛中,运动员在空中滑翔 时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同 一跳台起跳,每次都从离开跳台开始计时,用 v 表示他在竖直方向的速度,其 v - t 图像如图(b)所示, t 1 和 t 2 是他落在倾斜雪道上的时刻。则   (　　) A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D.竖直方向速度大小为 v 1 时,第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 答案     BD　本题考查曲线运动知识和利用数形结合处理物理问题的能力, 体现了模型构建、科学推理的核心素养。 v - t 图线与时间轴包围的面积表示运动员在竖直方向上的位移,由图像可知第 二次包围的格数较多,故A错。设雪道的倾角为 θ ,则水平位移 x =   ,故B正 确。 v - t 图线的斜率表示加速度,由图像明显看出,第一次在竖直方向上的平均 加速度较大,故C错。 v = v 1 时,斜率 k 1 > k 2 ,结合牛顿第二定律 mg - f = ma 可知,第二 次所受阻力较大,D正确。 2.(2018课标Ⅲ,17,6分)在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以 v 和   的速度 沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球 落至斜面时速率的   (　 A 　) A.2倍　    B.4倍　    C.6倍　    D.8倍 答案     A　本题考查平抛运动规律的应用。 小球做平抛运动,其运动轨迹如图所示。 设斜面的倾角为 θ 。 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直方向的自由落体运动, x = v 0 t , h =   gt 2 ,由图中几何关系,可得tan θ =   ,解得 t =   ;从抛出到落到斜面 上,由动能定理可得: mgh =   mv ' 2 -   m   ,可得 v '=   =   · v 0 ,则   =   =   =   ,选项A正确。   1.关联速度问题 物体的实际运动即合运动,对于用绳、杆相连的物体,在运动过程中,两物体 的速度通常不同,但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等(原因是绳和杆 的长度不发生变化)。   2.熟悉斜面上的平抛运动问题的几个二级结论 (1)若平抛的物体垂直打在斜面上,此时水平速度与竖直速度之比等于斜面倾 角的正切值。 (2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的物体,其竖直位移与水平位移之比等于 斜面倾角的正切值;速度偏角的正切值一定为位移偏角(斜面倾角)的正切值 的2倍。 考向一　运动的合成与分解 1.(2019河北保定模拟)一物体在光滑的水平桌面上运动,在相互垂直的 x 方向 和 y 方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动, 下列说法中正确的是   (　 C 　) A.物体运动的初速度大小是7 m/s B.物体做变加速直线运动 C.物体做匀变速曲线运动 D.物体运动的加速度大小是5 m/s 2 答案     C　由 v - t 图像可得   =3 m/s,   =4 m/s,则初速度 v 0 =   =5 m/s,选 项A错误; x 方向的匀速直线运动和 y 方向的匀变速直线运动合成为匀变速曲 线运动,选项B错误,C正确; a x =0, a y =2 m/s 2 ,物体的加速度 a =   =2 m/s 2 ,选 项D错误。 2.(2019山东潍坊一模)如图所示,物体 A 与物体 B 通过跨过光滑定滑轮的轻绳 相连,在水平力 F 的作用下,物体 B 沿水平面向右运动,物体 A 恰好匀速上升,那 么以下说法正确的是   (　 D 　) A.物体 B 正向右做匀减速运动 B.物体 B 正向右做加速运动 C.地面对 B 的摩擦力减小 D.轻绳与水平方向成30 ° 时, v A ∶ v B =   ∶2 答案     D　将 B 的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向,沿绳子方向上的 分速度等于 A 的速度,如图所示,根据平行四边形定则有 v B cos α = v A ,所以 v B =   ,当 α 减小时,物体 B 的速度减小,但 B 不是匀减速运动,选项A、B错误;在竖 直方向上,对 B 有 mg = F N + F T sin α , F T = m A g , α 减小,则支持力 F N 增大,根据 F f = μF N 可 知摩擦力 F f 增大,选项C错误;根据 v B cos α = v A ,轻绳与水平方向成30 ° 时, v A ∶ v B =   ∶2,选项D正确。 考向二　平抛运动基本规律 3.(多选)(2019河北石家庄质检)如图所示,一带电小球自固定斜面顶端 A 点以 某速度水平抛出,落在斜面上 B 点。现加上竖直向下的匀强电场,仍将小球自 A 点以相同速度水平抛出,落在斜面上 C 点。不计空气阻力,下列说法正确的 是   (　 CD 　) A.小球带正电 B.小球所受电场力可能大于重力 C.小球两次落在斜面上所用的时间不相等 D.小球两次落在斜面上的速度大小相等 答案     CD　不加电场时,小球做平抛运动,加电场时,小球做类平抛运动,设斜 面的倾角为 α ,根据tan α =   ,则 t =   ,因为水平方向上做匀速直线运动, 可知 t 2 > t 1 ,则 a < g ,可知小球一定带负电,所受的电场力向上,且小于重力的大小, 故A、B错误,C正确;因为做类平抛运动或平抛运动时,小球在某时刻的速度 方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,由于位 移方向相同,则小球两次落在斜面上的速度方向一定相同,根据平行四边形定 则知,初速度相同,则落在斜面上的速度大小相等,故D正确。 考向三　平抛运动中的临界问题 4.(多选)(2019广东肇庆三模)如图所示,水平屋顶高 H =5 m,围墙高 h =3.2 m,围 墙到房子的水平距离 L =3 m,围墙外马路宽 x =10 m,为使小球从屋顶水平飞出 落在围墙外的马路上,小球离开屋顶时的速 度 v 0 的大小的可能值为( g 取10 m/s 2 ,不计墙的 厚度,小球可视为质点)   (　 CD 　) A.3.1 m/s　　B.4.7 m/s C.7.2 m/s　　D.11.5 m/s 答案     CD　小球落在马路上, v 的最大值 v max 为小球落在马路最右侧时的平抛 初速度,小球做平抛运动,设运动时间为 t 1 ,则小球的水平位移 L + x = v max t 1 ,小球的 竖直位移 H =   g   ,联立解得 v max =( L + x )   =(10+3) ×   m/s=13 m/s;小球要落 在围墙外的马路上, v 0 的最小值 v min 为球恰好越过围墙的最高点落在马路上时 的平抛初速度,设小球运动到围墙最高点所需时间为 t 2 ,则此过程中小球的水 平位移 L = v min t 2 ,小球的竖直方向位移 H - h =   g   ,联立解得 v min = L   =5 m/s, 故C、D正确,A、B错误。 考点二　圆周运动 1.(2017课标Ⅱ,17,6分)如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径 与地面垂直。一小物块以速度 v 从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞 出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时对应的轨 道半径为(重力加速度大小为 g )   (　 B 　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     B　小物块由光滑轨道最低点到最高点的过程中,以水平地面为重力 势能参考平面,则由机械能守恒定律有   mv 2 = mg ·2 R +   m   小物块从最高点水平飞出做平抛运动,有 2 R =   gt 2 x = v 1 t ( x 为落地点到轨道下端的距离) 得 x 2 =   R -16 R 2 当 R =-   ,即 R =   时, x 具有最大值,选项B正确。 2.(2016课标Ⅱ,16,6分)小球 P 和 Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上, P 球的 质量大于 Q 球的质量,悬挂 P 球的绳比悬挂 Q 球的绳短。将两球拉起,使两绳均 被水平拉直,如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点   (　 C 　)   A. P 球的速度一定大于 Q 球的速度 B. P 球的动能一定小于 Q 球的动能 C. P 球所受绳的拉力一定大于 Q 球所受绳的拉力 D. P 球的向心加速度一定小于 Q 球的向心加速度 答案     C　设小球的质量为 m ,绳长为 L ,根据动能定理得 mgL =   mv 2 ,解得 v =   , L P < L Q ,所以 v P < v Q ,故A项错误。小球动能 E k = mgL ,其中 m P > m Q , L P < L Q ,所以 无法判断它们的动能大小关系,B项错误。 F 拉 - mg =   ,将 v =   代入得 F 拉 =3 mg ,因为 m P > m Q ,所以 P 球所受绳的拉力大于 Q 球所受绳的拉力,故C项正确。向 心加速度 a =   =2 g ,所以在轨迹的最低点, P 、 Q 两球的向心加速度相同,故D项 错误。   1.解决圆周运动问题的关键 (1)正确进行受力分析,明确向心力的来源,确定圆心以及半径。 (2)列出正确的动力学方程 F = m   = mrω 2 = mωv = mr   。结合 v = ωr 、 T =   =   等基本公式进行求解。 2.水平面内圆周运动临界问题的分析方法 (1)水平面内做圆周运动的物体,其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供,常 涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态。 (2)常见临界条件:绳的临界:张力 F T =0;接触面滑动的临界: F = f ;接触面分离的 临界: F N =0。 3. 竖直平面内圆周运动的分析方法 解决竖直平面内的圆周运动的基本思路是“两点一过程”。“两点”即最 高点和最低点 , 在最高点和最低点对物体进行受力分析 , 确定向心力 , 根据牛 顿第二定律列方程 ;“ 一过程”即从最高点到最低点 , 往往由动能定理或机械 能守恒定律将这两点联系起来。 考向一　水平面内的圆周运动 1.(多选)(2019河北石家庄一模)如图所示,两个质量均为 m 的小球 A 、 B 套在半 径为 R 的圆环上,圆环可绕竖直方向的直径旋转,两小球随圆环一起转动且相 对圆环静止。已知 OA 与竖直方向的夹角 θ =53 ° , OA 与 OB 垂直,小球 B 与圆环间 恰好没有摩擦力,重力加速度为 g ,sin 53 ° =0.8,cos 53 ° =0.6。下列说法正确的 是   (　　) A.圆环旋转角速度的大小为   B.圆环旋转角速度的大小为   C.小球 A 与圆环间摩擦力的大小为   mg D.小球 A 与圆环间摩擦力的大小为   mg 答案     AD　小球 B 与圆环间恰好没有摩擦力,由圆环对小球的支持力和小球 重力的合力提供向心力,有 mg tan 37 ° = mω 2 R sin 37 ° ,解得 ω =   ,则A正确,B 错误;对小球 A 受力分析,水平方向有 N sin θ - f cos θ = mω 2 R sin θ ;竖直方向有 N cos θ + f sin θ - mg =0,联立解得 f =   mg ,故C错误,D正确。   考向二　竖直面内的圆周运动 2.(2019辽宁大连模拟)如图甲所示,轻杆一端固定在 O 点,另一端固定一小球, 现让小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与 小球间弹力大小为 F ,小球在最高点的速度大小为 v ,其 F - v 2 图像如图乙所示。 不计空气阻力,则   (　 A 　) A.小球的质量为   B.当地的重力加速度大小为   C. v 2 = c 时,杆对小球的弹力方向向上 D. v 2 =2 b 时,小球受到的弹力与重力大小不相等 答案     A　由题图可知,当小球在最高点时,速度为零,有 mg = a ;当杆对小球无 作用力时,有 mg = m   = m   ;联立两式可解得 m =   , g =   ,选项A正确,B错误。当 v 2 = c > b 时,杆对球是拉力,方向向下,选项C错误; v 2 =2 b 时,则 F + mg = m   = m   =2 mg ,则 F = mg ,即小球受到的弹力与重力大小相等,选项D错误。 考向三　圆周运动中的临界极值问题 3.(多选)(2019江西红色七校二模)如图所示,三个物块 a 、 b 和 c (可视为质点), 其中 a 、 b 质量为 m ,放在水平圆盘上并用轻杆相连, c 的质量为2 m , a 、 c 与转轴 OO '间的距离为 r , b 与转轴间的距离为2 r ,物块与圆盘间的最大静摩擦力为物 块所受重力的 k 倍,重力加速度大小为 g 。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加 速转动,用 ω 表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是   (　　) A. a 、 b 一定比 c 先开始滑动 B. a 、 b 所受的摩擦力始终相等 C. ω =   是 b 开始滑动的临界角速度 D.当 ω =   时, a 所受摩擦力的大小为 kmg 答案     AD　当 ω 较小时, a 、 b 相对圆盘静止, a 、 b 各自静摩擦力提供各自的向 心力,由向心力大小 F n = mω 2 r 知, f ∝ r ,B错误;先对 c 受力分析,2 kmg =2 m   r ,可得 c 的临界角速度 ω c =   ,同理对 a 、 b 受力分析有 kmg - F = m   r , kmg + F =2 m   r ,可 得 a 、 b 的临界角速度 ω a = ω b =   ,综上,C错误,A、D正确。 考向四　圆周运动和平抛运动的综合问题 4.如图所示,质量为 m 的小球从四分之一光滑圆弧轨道顶端静止释放,从轨道 末端 O 点水平抛出,击中平台右下侧挡板上的 P 点。以 O 为原点在竖直面内建 立如图所示的平面直角坐标系,挡板形状满足方程 y =6- x 2 (单位:m),小球质量 m =0.4 kg,圆弧轨道半径 R =1.25 m, g 取10 m/s 2 。求: (1)小球对圆弧轨道末端的压力大小; (2)小球从 O 点到 P 点所需的时间(结果可保留根号)。 答案 　(1)12 N　(2)   s 解析 　(1)对小球分析,从释放到 O 点过程中 由机械能守恒 mgR =   mv 2 v =   =   m/s=5 m/s 小球在圆弧轨道最低点时由牛顿第二定律有 F N - mg = m   F N = mg + m   =12 N 由牛顿第三定律有,小球对轨道的压力 F N '= F N =12 N (2)小球在 P 点时满足 y =   gt 2 x = vt 又有 y =6- x 2 联立得 t =   s 考点三　万有引力定律及其应用 1.(2019课标Ⅱ,14,6分)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着 陆。在探测器“奔向”月球的过程中,用 h 表示探测器与地球表面的距离, F 表示它所受的地球引力,能够描述 F 随 h 变化关系的图像是   (　 D 　) 答案     D　本题考查了万有引力定律公式。考查了学生对万有引力定律的 理解能力,体现了运动和相互作用的物理观念及科学推理的核心素养。 由万有引力定律可知,探测器受到的万有引力 F =   ,其中 R 为地球半径。 在探测器“奔向”月球的过程中,离地面距离 h 增大,其所受的万有引力非线 性减小,故选项D正确。 2.(2018课标Ⅲ,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星 P ,其 轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的4 倍。 P 与 Q 的周期之比约为       (　 C 　) A.2∶1　    B.4∶1　    C.8∶1　    D.16∶1 答案     C　本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式。卫星 P 、 Q 围 绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即 G   = m   R ,则 T =   ,   =   =   ,选项C正确。 3.(2018课标Ⅱ,16,6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒 脉冲星“J0318+0253”,其自转周期 T =5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的 球体,已知引力常量为6.67 × 10 -11 N·m 2 /kg 2 。以周期 T 稳定自转的星体的密度最 小值约为   (　 C 　) A.5 × 10 9 kg/m 3 　     B.5 × 10 12 kg/m 3 C.5 × 10 15 kg/m 3 　     D.5 × 10 18 kg/m 3 答案     C　本题考查万有引力定律在天体中的应用。以周期 T 稳定自转的星 体,当星体的密度最小时,其表面物体受到的万有引力提供向心力,即   = m   R ,星体的密度 ρ =   ,得其密度 ρ =   =   kg/m 3 =5 × 1 0 15 kg/m 3 ,故选项C正确。 4.(多选)(2018课标Ⅰ,20,6分)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合 并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它 们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做 是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估 算出这一时刻两颗中子星   (　 BC 　) A.质量之积　    B.质量之和 C.速率之和　    D.各自的自转角速度 答案     BC　本题考查万有引力定律的应用等知识。双星系统由彼此间万有 引力提供向心力,得   = m 1   r 1 , G   = m 2   r 2 ,且 T =   ,两颗星的周期及角 速度相同,即 T 1 = T 2 = T , ω 1 = ω 2 = ω ,两颗星的轨道半径 r 1 + r 2 = L ,解得   =   , m 1 + m 2 =   ,因为   未知,故 m 1 与 m 2 之积不能求出,则选项A错误,B正确。各自的自转 角速度不可求,选项D错误。速率之和 v 1 + v 2 = ωr 1 + ωr 2 = ω · L ,故C项正确。 1.估算天体质量和密度时要注意三点 (1)不考虑自转时,有 G   = mg ;若考虑自转,则在两极上才有 G   = mg ,而赤道 上则有 G   - mg = m   R 。 (2)利用 G   = m   r 只能计算中心天体的质量,不能计算绕行天体的质量。 (3)注意区分轨道半径 r 和中心天体的半径 R ,计算中心天体密度时应用 ρ =   而不是 ρ =   。 2. 如果天体的运行轨迹为椭圆,则只能应用开普勒行星运动定律解决,如果运 行轨迹为圆,则可用开普勒行星运动定律或万有引力定律解决。 3. 对于双星或多星问题 , 解决的关键是正确分析系统内每一个天体做圆周运 动所需的向心力 ( 由其他天体对这个天体的万有引力的合力提供 ) 。 考向一　开普勒行星运动定律 1.(2019山东历城模拟)如图所示,卫星携带一探测器在半径为3 R ( R 为地球半 径)的圆轨道上绕地球飞行。在 a 点,卫星上的辅助动力装置短暂工作,将探测 器沿运动方向射出(设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略)。之后卫星沿 新的椭圆轨道运动,其近地点 b 距地心的距离为 nR ( n 略小于3),已知地球质量 为 M ,引力常量为 G ,则卫星在椭圆轨道上运行的周期为   (　　) A.π(3+ n ) R   　     B.π(3+ n ) R   C.6π R   　     D.π R   答案     B　卫星在圆轨道上运行时的周期为 T 1 ,根据万有引力提供向心力 G   = m   (3 R ),在椭圆轨道上运行的周期为 T 2 ,根据开普勒第三定律   =   ,由以上两式联立解得 T 2 =π(3+ n ) R   ,故B正确。 考向二　天体质量和密度的估算 2.(多选)(2019湖北宜昌模拟)某行星外围有一圈厚度为 d 的发光带(发光的物 质),简化为如图甲所示模型, R 为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带 是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群,某科学家做了精确的观测,发 现发光带绕行星中心的运行速度 v 与到行星中心的距离 r 的关系如图乙所示 (图中所标为已知),则下列说法正确的是       (　　)   A.发光带是该行星的组成部分 B.该行星的质量 M =   C.行星表面的重力加速度 g =   D.该行星的平均密度为 ρ =   答案     BC　若发光带是该行星的组成部分,则其角速度与行星自转角速度相 同,应有 v = ωr , v 与 r 应成正比,与图像不符,因此发光带不是该行星的组成部分, 故A错误;设发光带是环绕该行星的卫星群,由万有引力提供向心力,有 G   = m   ,得该行星的质量 M =   ,由题图乙知, r = R 时, v = v 0 ,则有 M =   ,故B正确;当 r = R 时有 mg = m   ,得行星表面的重力加速度 g =   ,故C正确;该行星的平均密度 为 ρ =   =   ,故D错误。 考向三　双星及多星问题 3.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系 统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量 均为 m ,半径均为 R ,四颗星稳定分布在边长为 L 的正方形的四个顶点上,其中 L 远大于 R 。已知引力常量为 G 。忽略星体自转效应,关于四星系统,下列说法 正确的是   (　　) A.四颗星圆周运动的轨道半径均为   B.四颗星圆周运动的线速度均为   C.四颗星圆周运动的周期均为2π   D.四颗星表面的重力加速度均为 G   答案     CD　四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,轨道半径 均为 r =   L 。取任一顶点上的星体为研究对象,它受到相邻的两个星体与对 角线上的星体的万有引力的合力 F 合 =   G   + G   。由 F 合 = F 向 = m   = m   r ,可解得 v =   , T =2π   ,故A、B项错误,C项正确。对 于星体表面质量为 m 0 的物体,受到的重力等于万有引力,则有 m 0 g = G   ,故 g = G   ,D项正确。 考点四　人造卫星和宇宙航行 1.(2019课标Ⅲ,15,6分)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运 动,它们的向心加速度大小分别为 a 金 、 a 地 、 a 火 ,它们沿轨道运行的速率分别为 v 金 、 v 地 、 v 火 。已知它们的轨道半径 R 金 < R 地 < R 火 ,由此可以判定        (　 A 　) A. a 金 > a 地 > a 火 　     B. a 火 > a 地 > a 金 C. v 地 > v 火 > v 金 　     D. v 火 > v 地 > v 金 答案     A　本题考查万有引力定律和匀速圆周运动,体现了物理模型建构、 科学推理等核心素养。 行星绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即 G   = ma 向 = m   ,解得 a 向 = G   , v =   ,由于 R 金 < R 地 < R 火 ,所以 a 金 > a 地 > a 火 , v 金 > v 地 > v 火 ,选项A正确。 2.(2017课标Ⅲ,14,6分)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫 二号空间实验室完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来 的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的   (　 C 　) A.周期变大　　 B.速率变大 C.动能变大　　 D.向心加速度变大 答案     C　天宫二号单独运行时的轨道半径与组合体运行的轨道半径相 同。由 G   = m   r 可得 T =2π   ,可见周期与 m 无关,周期不变,A项错误。 由 G   = m   得 v =   ,可知速率 v 与 m 无关,故速率不变,B项错误。组合体 质量 m 1 + m 2 >天宫二号质量 m 1 ,则动能变大,C项正确。由   = ma 得 a =   ,可 知向心加速度与 m 无关,故不变,D项错误。 3.(2016课标Ⅰ,17,6分)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上 任意两点之间保持无线电通讯。目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半 径的6.6倍。假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目 的,则地球自转周期的最小值约为   (　 B 　) A.1 h　　B.4 h　　C.8 h　　D.16 h 答案     B　卫星围绕地球运转时,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即   = m   r ,解得周期 T =2π   ,由此可见,卫星的轨道半径 r 越小,周期 T 就越小,周期最小时,三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切,如图所 示,此时卫星轨道半径 r =2 R , T =2π   ,又因为 T 0 =2π   =24 h,所以 T =   · T 0 =   × 24 h ≈ 4 h,B正确。 1.卫星运行问题的两条思路 ①万有引力提供向心力,即 G   = ma 。 ②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力,即   = mg 或 gR 2 = GM ( R 、 g 分别是天体的半径、表面重力加速度)。 2. 第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度,也是人造地球卫星 环绕地球运动的最大环绕速度。其求解方法是: G   = m   。 3. 同步卫星的周期与地球的自转周期相同,是24 h,同步卫星只能定点于赤道 上空,其离地高度是一定的,速度大小是确定的。 4.航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大小关系判断; 稳定在新轨道上时的运行速度的变化由 v =   判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等,外轨道的速度大于内轨 道的速度。 考向一　人造卫星的发射和运行 1.(多选)(2019河北石家庄质检)极地近地卫星运动的轨道平面通过地球的南 北两极(轨道可视为圆),如图所示,关于极地近地卫星、地球同步卫星和赤道 上的物体,下列说法正确的是   (　 ACD 　) A.如果地球的自转变快,同步卫星的高度将变低 B.如果地球的自转变快,极地近地卫星的速度将变小 C. 如果地球的自转变快 , 赤道上的重力加速度将变小 D. 若极地近地卫星、地球同步卫星和赤道上的物体的 向心加速度分别为 a 1 、 a 2 、 a 3 , 则 a 1 > a 2 > a 3 答案     ACD　根据万有引力提供向心力有 G   = m   R ,得 T =   ,如果 地球的自转变快,则周期变小,同步卫星的高度将变低,所以选项A正确;极地 近地卫星的速度与地球的自转快慢无关,所以选项B错误;对赤道上的物体,有 G   = m 0 g 赤 + m 0 ω 2 R ,当地球自转变快时,赤道上的重力加速度将变小,所以选 项C正确;对卫星有 G   = m 1 a n ,所以轨道半径越大,向心加速度越小,故 a 1 > a 2 , 赤道上的物体和同步卫星的角速度相同,由 a n = ω 2 r 可知, a 2 > a 3 ,所以选项D正 确。 2.(多选)(2019百校联盟4月联考)2017年6月15日上午,我国在酒泉卫星发射中 心成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼”,并成功收获首批数据。可 认为该卫星在距离地面550 km的圆轨道上运行,关于该卫星,下列说法正确的 是   (　 AB 　) A.该卫星运行轨道的平面一定通过地心 B.该卫星在轨道上运行时,速度变化比地球同步卫星的速度变化快 C.该卫星在轨道上的运行速度大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度 D.该卫星在绕地球运动的过程中,如果不加以干预,卫星的动能会逐渐减小 答案     AB　所有地球卫星的轨道平面一定过地心,故A正确;该卫星的离地 高度小于同步卫星的高度,则其轨道半径小于同步卫星的轨道半径,根据 G   = ma ,解得 a =   ,故该卫星的向心加速度大于同步卫星的向心加速度,即 该卫星在轨道上运行时,速度变化比地球同步卫星的速度变化快,故B正确;第 一宇宙速度是卫星围绕地球做匀速圆周运动的最大线速度,故该卫星的运行 速度小于第一宇宙速度,故C错误;该卫星在绕地球运动的过程中,若不加以干 预,卫星的轨道半径减小,卫星的线速度增大,故卫星的动能增大,故D错误。 考向二　卫星变轨问题 3.(2019贵州适应考试)如图所示,某次发射人造卫星的过程中,先将卫星发射 到地面附近的圆形轨道Ⅰ上,在 P 点变轨进入椭圆轨道Ⅱ, Q 点为轨道Ⅱ的远 地点。下列说法正确的是   (　 A 　) A.卫星在 P 点变轨时的速度必须大于7.9 km/s B.卫星从 P 点到 Q 点的过程中机械能逐渐减小 C. 卫星沿轨道 Ⅰ 经过 P 点时的加速度大于沿轨道 Ⅱ 经过 P 点时的加速度 D. 若要使运动到 Q 点的卫星能摆脱地球引力的束缚 , 卫星在 Q 点的速度至少 要达到 11.2 km/s 答案     A　卫星在轨道Ⅰ上经过 P 点时的速度等于7.9 km/s,则要想进入轨道 Ⅱ,则在 P 点必须要加速做离心运动,则卫星在 P 点变轨时的速度必须大于7.9 km/s,选项A正确;卫星从 P 点到 Q 点的过程中只有地球的引力做功,则机械能 不变,选项B错误;根据 a =   可知,卫星沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度等于沿 轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度,选项C错误;若要使运动到 P 点的卫星能摆脱地球 引力的束缚,卫星在 P 点的速度至少要达到11.2 km/s,则若要使运动到 Q 点的 卫星能摆脱地球引力的束缚,卫星在 Q 点的速度不需要达到11.2 km/s,选项D 错误。 考向三　卫星对接问题 4.如图所示为“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接示意图。假设“天 宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空 间实验室的对接,下列措施可行的是       (　　) A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实 现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实 验室,两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实 验室,两者速度接近时实现对接 答案     C　对于绕地球做圆周运动的人造天体,由   = m   ,有 v =   ∝   ,可见 v 与 r 是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同,不能对接;而从同 一轨道上加速或减速时由于发生变轨,二者不能处于同一轨道上,亦不能对 接,A、B皆错误。飞船处于半径较小的轨道上,要实现对接,需增大飞船的轨 道半径,飞船加速则轨道半径变大,飞船减速则轨道半径变小,C正确,D错误。 考向四　追及、相遇问题 5.假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动,某一时刻恰好 处在另一颗同步卫星的正下方,已知侦察卫星的轨道半径为同步卫星的四分 之一,则有   (　 C 　) A.同步卫星和侦察卫星的线速度之比为2∶1 B.同步卫星和侦察卫星的角速度之比为8∶1 C.再经过   h两颗卫星距离最远 D.再经过   h两颗卫星距离最远 答案     C　两颗卫星都是由万有引力提供向心力,则   = m   = mr   = mrω 2 , 可得线速度 v =   ,所以同步卫星和侦察卫星的线速度之比为1∶2,选项A 错误;角速度 ω =   ,同步卫星和侦察卫星的角速度之比为1∶8,选项B错误; 周期 T =   ,可得侦察卫星的周期为3 h,若再经过时间 t 两颗卫星距离最远, 则有 t   =(2 n +1)π( n =0,1,2,3, … ),可得时间 t =   (2 n +1)h( n =0,1,2,3, … ),选 项C正确,D错误。 素养提升　竖直平面圆周运动的重要模型——“绳、杆”模型 典例 　如图所示,水平路面 CD 的右侧有一长度 L 1 =2 m的木板。一物块放在木 板的最右端,并随木板一起向左侧固定的平台运动,木板的上表面与平台等 高。平台上表面 AB 的长度 s =3 m,光滑半圆轨道 AFE 竖直固定在平台上,圆轨 道半径 R =0.4 m,最低点与平台 AB 相切于 A 点。当木板的左端与平台的距离 L =2 m时,木板与物块向左运动的速度 v 0 =8 m/s。木板与平台的竖直壁碰撞后, 木板立即停止运动,物块在木板上滑动并滑上平台。已知木板与路面间的动 摩擦因数 μ 1 =0.05,物块与木板的上表面及轨道 AB 间的动摩擦因数均为 μ 2 =0.1, 物块质量 m =1 kg,取 g =10 m/s 2 。   (1)求物块进入圆轨道时对轨道上的 A 点的压力; (2)判断物块能否到达圆轨道的最高点 E 。如果能,求物块离开 E 点后在平台 上的落点到 A 点的距离;如果不能,则说明理由。 ▶ 三步快速准确解答本题: 第一步:细分过程,构建运动模型 过程1 DC 段 木板、物块共同向左匀减速运动 过程2 木板与 BC 碰撞后 物块在木板上匀减速运动 过程3 物块滑到 BA 上 物块在 BA 上匀减速运动 过程4 光滑半圆轨道上 物块做圆周运动 过程5 物块若能到达 E 点,从 E 点飞出过程 可能从 E 点水平抛出 第二步:抓好关键点,找出突破口 (1)“最低点与平台 AB 相切于 A 点”   A 点在圆弧上   需 求物块在 A 点的速度。 (2)   第三步:思路落实,规范解答 答案 　(1)140 N,方向竖直向下　(2)能　2.4 m 解析 　(1)设木板质量为 M ,物块随板运动撞击竖直壁 BC 时的速度为 v 1 ,由动能 定理得 - μ 1 ( m + M ) gL =   ( M + m )   -   ( M + m )   设物块到 A 点时速度为 v 2 ,由动能定理得 - μ 2 mg ( s + L 1 )=   m   -   m   由牛顿第二定律得 F N - mg = m   解得 F N =140 N 由牛顿第三定律知,物块对轨道 A 点的压力大小为140 N,方向竖直向下 (2)设物块能通过半圆轨道的最高点,且在最高点处的速度为 v 3 ,由动能定理得 - mg ·2 R =   m   -   m   解得 v 3 =6 m/s>   =2 m/s 故物块能通过半圆轨道的最高点 E ,物块离开 E 点后做平抛运动,有 x = v 3 t ,2 R =   gt 2 解得 x =2.4 m 针对训练 1 　如图所示 , 长度均为 L 的两根轻绳 , 一端共同系住质量为 m 的小球 , 另一端分别固定在等高的 A 、 B 两点 , A 、 B 两点间的距离也为 L 。重力加速度 大小为 g 。今使小球在竖直平面内以 A 、 B 连线为轴做圆周运动,若小球在最 高点的速率为 v 时,两根轻绳的拉力恰好均为零, 则小球在最高点速率为2 v 时,两根轻绳的拉力大 小均为   (　 A 　) A.   mg 　    B.   mg 　    C.3 mg 　    D.2   mg 答案     A　设小球在竖直平面内做圆周运动的半径为 r ,小球运动到最高点时 轻绳与圆周运动的轨道平面的夹角为 θ =30 ° ,则有 r = L cos θ =   L 。根据题述, 小球在最高点的速率为 v 时,两根轻绳的拉力恰好均为零,有 mg = m   ;小球在 最高点速率为2 v 时,设每根轻绳的拉力大小为 F ,则有2 F cos θ + mg = m   ,联 立解得 F =   mg ,故A正确。 针对训练 2 　图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技艺术 , 在一根绳 子上系着两个装满水的桶 , 表演者把它甩动转起来 , 犹如流星般 , 而水不会流 出来。图乙为水流星的简化示意图 , 在某次表演中 , 当桶 A 在最高点时 , 桶 B 恰 好在最低点,若演员仅控制住绳的中点 O 不动,而水桶 A 、 B (均可视为质点)都 恰好能通过最高点,已知绳长 l =1.6 m,两水桶(含水)的质量均为 m =0.5 kg,不计 空气阻力及绳重,取 g =10 m/s 2 。 (1)求水桶在最高点和最低点的速度大小; (2)求图示位置时,手对绳子的力的大小。 答案 　(1)2   m/s　2   m/s　(2)30 N 解析 　(1)设最高点的速度为 v 1 ,最低点的速度为 v 2 ,水桶做圆周运动的半径 R = =0.8 m 水桶恰通过最高点时绳上的拉力为零,有 mg = m   解得 v 1 =2   m/s 水桶从最高点运动到最低点有 mgl +   m   =   m   解得 v 2 =2   m/s (2)绳 OA 对水桶 A 的拉力为零,对最低点的桶 B 受力分析可得 F OB - mg = m   解得 F OB =30 N 所以,手对绳子的力的大小为30 N