2020高考物理 月刊专版 专题09 交变电流和电磁感应洛伦兹力带电粒子在磁场中的运动专题解读 8页

交变电流和电磁感应洛伦兹力带电粒子在磁场中的运动 一、洛伦兹力 1.洛伦兹力 运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹 力，它是安培力的微观表现。 计算公式的推导：如图所示，整个导线受 到 的 磁 场 力 （ 安 培 力 ）为 F 安 =BIL ； 其 中 I=nesv；设导线中共有 N 个自由电子 N=nsL；每个电子受的磁场力为 F，则F 安=NF。 由以上四式可得 F=qvB。条件是 v 与 B 垂直。当 v 与 B 成θ角时，F=qvBsinθ。 2.洛伦兹力方向的判定 在用左手定则时，四指必须指电流方向（不是速 度方向），即正电荷定向移动的方向；对负电荷，四 指应指负电荷定向移动方向的反方向。 【例 1】磁流体发电机原理图如右。等离子体高 速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。 该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？ 解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。 正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时， 达到最大电压：U=Bdv。当外电路断开时，这也就是电动势 E。当外电路接通时，极 板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将 发生偏转。这时电动势仍是 E=Bdv，但路端电压将小于 Bdv。 在定性分析时特别需要注意的是： ⑴正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。 ⑵外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于 Bdv，但电动势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。） ⑶注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开 时最终将达到 平衡态。 【例 2】 半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为 p 型和 n 型两种。p 型中空穴为多数载流子；n 型中自 由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块 半导体材料是 p 型还是 n 型：将材料放在匀强磁 场中，通以图示方向的电流 I，用电压表判定上下两个表面的电势高低，若上极板 电势高，就是 p 型半导体；若下极板电势高，就是 n 型半导体。试分析原因。 解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向， 都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p 型半导体中空穴多，上 极板的电势高；n 型半导体中自由电子多，上极板电势低。 注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹 力方向 相同，所以偏转方向相同。 3.洛伦兹力大小的计算 带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心 力，由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式： 【例 3】 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强 磁场。正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30°角的同样 速度 v 射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e），它们从磁场 中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心， Bq mTBq mvr π2, == 画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点 相距 2r，由图还可看出，经历时间相差 2T/3。答案为射出点相距 ，时间差 为 。关键是找圆心、找半径和用对称。 【例 4】 一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的 P （a，0）点以速度 v，沿与 x 正方向成 60°的方向射入第一象限内的 匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁 感应强度 B 和射出点的坐标。 解：由射入、射出点的半径可找到圆心 O/ ，并得出半径为 ；射出点坐标为（0， ）。 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历 年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在磁场中的运动问题，综合 性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动 的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。 1、带电粒子在半无界磁场中的运动 【例 5】一个负离子，质量为 m，电量大小为 q，以速率 v 垂直于屏 S 经过小孔 O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度 B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图 1 中纸面向里. （1）求离子进入磁场后到达屏 S 上时的位置与 O 点的距离. （2）如果离子进入磁场后经过时间 t 到达位置 P，证明:直线 OP 与离子入射方 向之间的夹角θ跟 t 的关系是 。 解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速 Be mvs 2= Bq mt 3 4π=∆ aq mvBBq mvar 2 3, 3 2 === 得 a3 tm qB 2 =θ O B S v θ P 圆周运动.设圆半径为 r，则据牛顿第二定律可得： ，解得 如图所示，离了回到屏 S 上的位置 A 与 O 点的距离 为：AO=2r 所以 （2）当离子到位置 P 时，圆心角： 因为 ，所以 . 2．穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的 圆心、连心线）。偏角可由 求出。经历时间由 得出。 注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆 心。 【例 6】如图所 示，一个质量 为 m、电量为 q 的正离子，从 A 点正对着圆心 O 以速度 v 射入半径为 R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面 向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B。要使带电粒子与 圆筒内壁碰撞多次后仍从 A 点射出，求正离子在磁场中运动 的时间 t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计 粒子的重力。 解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的 r vmBqv 2 = Bq mvr = Bq mvAO 2= tm Bq r vt ==α θα 2= tm qB 2 =θ R r= 2tan θ Bq mt θ= OA v0 B 速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示。设粒 子与圆筒内壁碰撞 n 次（ ），则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为 2π/ （n+1）.由几何知识可知，离子运动的半径为 离子运动的周期为 ，又 ， 所以离子在磁场中运动的时间为 . 【例 7】圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁 感强度为 B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为 L 的 O＇ 处 有 一 竖 直 放 置 的 荧 屏 MN ， 今 有 一 质 量 就可以求出 O＇P 了，电子经过磁场的时间可用 t= 来求得。 由 得 R= 2≥n 1tan += nRr π qB mT π2= r vmBqv 2 = 1tan2 += nv Rt ππ V R V AB θ= R vmBev 2 = θtan)(. rLOPeB mv += M N O, L A O R θ/2 θ θ/2 B P O// ， ， 3．穿过矩形磁场区。一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。偏转角由 sinθ=L/R 求出。侧移由 R2=L2-（R-y）2 解出。经历时间由 得出。 注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中 点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！ 【例 8】如图所示，一束电子（电量为 e）以速度 v 垂直射入磁感强度为 B，宽 度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30°，则 电子的质量是 ，穿透磁场的时间是 。 mV eBr R r ==)2tan( θ 22222 2 2 )2(tan1 )2tan(2 tan rBevm eBrmv −= − = θ θ θ 22222 , )(2tan)( rBevm eBrmvrLrLPO − +=+= θ )2arctan( 22222 rBevm eBrmv −=θ )2arctan( 22222 rBevm eBrmv eB m v Rt −== θ Bq mt θ= 解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又 因为 f⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图中的 O 点，由几何知识知，AB 间圆心角θ＝30°，OB 为半径。 ∴r=d/sin30°=2d，又由 r=mv/Be 得 m=2dBe/v 又∵AB 圆心角是 30°，∴穿透时间 t=T/12，故 t=πd/3v。 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知 带电粒子的质量 m 和电量 e，若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度 v 必须满足什么条件？这时必须满足 r=mv/Be>d，即 v>Bed/m. 【例 9】长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感 强度为 B，板间距离也为 L，板不带电，现有质量为 m，电量为 q 的带正电粒子（不 计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用 的办法是： A．使粒子的速度 v5BqL/4m； C．使粒子的速度 v>BqL/m；