黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题 15页

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题 理科数学 ‎2020.06‎ 注意事项:‎ 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ 2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 ‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. 已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 A． B． C． D．‎ ‎4. 已知向量，，设与的 夹角为，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5. 设，，，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ 成绩/分 频率 组距 ‎6. 在某次数学测验后，将参加考试的名 学生的数学成绩制成频率分布直方图（如 图），则在该次测验中成绩不低于分的 学生数是 A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 将这五个数字全部取出，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概 率是 A． B． C． D．‎ ‎8. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的 系数是 A． B. C． D.‎ ‎9. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，‎ 直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 A． B． C． D．‎ ‎10. 已知函数是偶函数.若将曲线向左平 移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的一个端点，若的最小值为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12. 已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为______.‎ ‎14. 已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______. ‎ ‎15. 在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.‎ ‎16. 设函数的定义域为，满足，且当时，‎ 当时，函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的 极大值为，则数列前项的和为____________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，记数列的前项和为，‎ 求证: .‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面为正方形， ‎ ‎.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若与底面所成的角为，‎ ‎，求二面角的正弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，. 三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若该零件的一级品每个可获利元，二级品每个可获利元，每个废品将使工厂损失元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎　（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎　（2）当时，恒成立，求整数的最大值. ‎ ‎（参考数值：，，, ）‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.‎ 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. ‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎（2）直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,若 ‎,求直线的倾斜角.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若“，”为假命题，求的取值范围.‎ ‎2020大庆三模数学理科参考答案 一、选择题 ABACC BDDCA CD ‎13.2 14.1 15. 16,‎ ‎17.解（Ⅰ）因为，①‎ 当时，，② ...............................2分 由①-②得，即， ............................................4分 当时，，， ‎ 所以数列为等比数列，其首项为，公比为，‎ 所以； ..................................................................6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 所以， ........................................................8分 所以，‎ ‎........10分 因为 所以 ............................12分 ‎18.解（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴‎ ‎∵，,∴,...........................................................2分 又∵,∴‎ 又,∴...........................................................4分 ‎（2）方法1：∵，过点P做,垂足为E ‎∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,...............................................................6分 又，设,则 ‎ ‎ 过F做FE垂直于AB,垂足为F,则AF=‎ ‎ 如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系 ‎..........8分 设面法向量为，‎ ‎,∴，‎ ‎，∴......................................................................9分 同理的法向量， ....................................................................10分 ‎ ....................................................................11分 ‎∴二面角的正弦值 ....................................................................12分 ‎（2）方法2∵，过点P做,垂足为E ‎∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,.........................9分 设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=,由，得AP=，‎ PE=，AE=，过E做EF垂直AB，垂足为F,则AF=，‎ 如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系 所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),‎ P(,,)，....................................................................8分 ‎，(0,a.0)，=(a,0,0)‎ 设面法向量为,,,‎ 令z=1.则，即，....................................................................9分 设的法向量，则,，‎ 令z=1.则，， ....................................................................10分 ‎(直接书写：同理可得，本次考试不扣此步骤分）‎ 所以， ..................................................................11分 则二面角的正弦值为 .....................................................................12分 ‎19.解（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，‎ 则，，，，，.‎ 设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，.............................................2分 所以. .............................................4分 ‎（2）的可能取值为200，100，，...........................................5分 ‎，‎ ‎，‎ ‎，....................................................8分 则的分布列为 ‎200‎ ‎100‎ ‎-50‎ ‎. .........................10分 所以. .. .....................12分 ‎20.解：（1）当时，， ------------------------2分 所以，因为 ‎ 所以切线方程为， 整理得： -----------------------4分 ‎（2），因为，所以（）恒成立 设，则 ---------6分 设则（）.‎ 所以在上单调递增，又,‎ ‎,所以存在使得，‎ 当时，,即；当时，即.所以在上单调递减，上单调递增.所以 . ----------8分 因为 所以,------------10分 设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以 因为，所以，所以的最大值为2. ----------------------------------12分 ‎21.方法一 解（1）由题有，. ∴，.....................................................2分 ‎∴.‎ ‎∴椭圆方程为 ...........................................................................4分 ‎（2）设：，将其与曲线的方程联立，得.‎ 即...........................................................................................6分 设，，则，‎ ‎............................................8分 将直线：与联立，得 ‎∴..........................................................................................9分 ‎∴......................................................10分 设.显然. 构造.‎ 在上恒成立,所以在上单调递增.‎ 所以，当且仅当，即时取“=”‎ 所以的取值范围是 ............................11分 当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）‎ ‎21.方法二 解（1）由题有，. ∴，...................................................2分 ‎∴.‎ ‎∴椭圆方程为 ...........................................................................4分 ‎（2）方法1：设：，将其与曲线的方程联立，得.‎ 即...........................................................................................6分 设，，则，‎ ‎............................................8分 将直线：与联立，得 ‎∴..........................................................................................9分 ‎∴......................................................10分 设.显然. 构造.‎ 在上恒成立,所以在上单调递增.‎ 所以，当且仅当，即时取“=”‎ 所以的取值范围是.‎ 当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）‎ ‎（2）方法2：当l的斜率不存在时，易得 ‎.......................6分 当l斜率存在时，可设设，‎ 由 得， ...........................8分 ‎ ...........................9分 依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则 所以， ...........................10分 则得......................11分 综上可知，最小值为1，此时直线的方程为 ......................................12分 ‎（2）方法3：当l的斜率不存在时，易得 ‎...........................6分 当l斜率存在时，可设设，‎ 由 得，...........................8分 ‎...........................9分 依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则 ‎，...........................10分 则得 设，则有，‎ 设 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则...........................11分 综上可知，最小值为1，此时直线的方程为 ......................................12分 ‎22.解（1）曲线C的普通方程为...............................................2分 因为 ,所以 所以直线l的直角坐标方程为...................................4分 （2） 点P的坐标为（4,0）‎ 设直线m的参数方程为（t为参数，为倾斜角）..........6分 联立直线m与曲线C的方程得： ‎ 设A、B对应的参数分别为，则 所以...................................................8分 ‎.................................................................................10分 ‎23.解：（1）当时，....................2分 由，得.故不等式的解集为.......................4分 ‎（2）因为“，”为假命题，‎ 所以“，”为真命题，..........................................................6分 因为 所以，..................................................................................................8分 则，所以，‎ 即，解得，即的取值范围为......................................10分