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- 2021-04-20 发布
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2020届二轮复习 不等式与线性规划 教案（全国通用）
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；
(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：基本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
答案：C
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.
f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0.
不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.
令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－，
f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数
∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，故选A.
答案：A
高频考点二 基本不等式及应用
例2、【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
【变式探究】(1)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：基本法：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
速解法：如图a，b分别是直线＋＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
答案：C
(2)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：基本法：x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝＝＋，
∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝y时等号成立，故所求最小值为.
答案：
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、（2018年天津卷）设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
【变式探究】【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
答案：
(2)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
速解法：由z＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小，z有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小，z也最小，故只能选B.
答案：B
4．数列与不等式
数列
1. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。
2. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
3. （2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
4. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
5. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
6. （2018年全国I卷理数）记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】根据，可得，两式相减得，即，
当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
所以，故答案是.
7. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
8. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知
，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
【解析】（I）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以
9. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）d的取值范围为．
（2）d的取值范围为，证明见解析。
【解析】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而x，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x得－50)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
7．若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
解析：基本法：画出可行域，并分析z的几何意义，平移直线y＝－3x求解．
画出可行域如图所示．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由
解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
速解法：利用边界端点代入比较，由图知
A(－1,0)，C(0,2)．
由得B(1,1)代入z＝3x＋y得最大值为3×1＋1＝4.
答案：4
