初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第五章 图形性质1-21 特殊三角形 20页

考点跟踪突破 21 　特殊三角形 一、选择题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 1 ． ( 2014 · 黄石 ) 如图 ， 一个矩形纸片 ， 剪去部分后得到一个三角形 ， 则图中 ∠ 1 ＋ ∠ 2 的度数是 ( ) A ． 30° B ． 60° C ． 90° D ． 120° C 2 ． ( 2013 · 攀枝花 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ CAB ＝ 75° ， 在同一平面内 ， 将 △ ABC 绕点 A 旋转到 △ AB ′ C ′ 的位置 ， 使得 CC ′ ∥ AB ， 则 ∠ BAB ′ ＝ ( ) A ． 30° B ． 35° C ． 40° D ． 50° A 3 ． ( 2014· 广东 ) 一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7 ， 则它的周长为 ( ) A ． 17 B ． 15 C ． 13 D ． 13 或 17 4 ． ( 2014· 滨州 ) 下列四组线段中 ， 可以构成直角三角形的 是 ( ) A ． 4 ， 5 ， 6 B ． 1.5 ， 2 ， 2.5 C ． 2 ， 3 ， 4 D ． 1 ， 2 ， 3 A B 5 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ° ， AC ＝ BC ＝ 4 ， 点 D 是 AB 的中 点 ， 点 E ， F 分别在 AC ， BC 边上运动 ( 点 E 不与点 A ， C 重合 ) ， 且 保持 AE ＝ CF ， 连接 DE ， DF ， EF . 在此运动变化的过程中 ， 有下列 结论： ①△ DFE 是等腰直角三角形 ； ② 四边形 CEDF 不可能为正方形； ③ 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； ④ 点 C 到线段 EF 的最大距离为 2 . 其中正确的有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B 二、填空题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 6 ． ( 2014 · 临夏 ) 等腰 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ＝ 10 cm ， BC ＝ 12 cm ， 则 BC 边上的高是 ____ cm . 7 ． ( 2014 · 呼和浩特 ) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36° ， 则该等腰三角形的底角的度数 为 ． 63° 或 27° 8 8 ． ( 2013 · 黄冈 ) 已知 △ ABC 为等边三角形 ， BD 为中线 ， 延长 BC 至点 E ， 使 CE ＝ CD ＝ 1 ， 连接 DE ， 则 DE ＝ ____ ． 9 ． ( 2014· 凉山 ) 已知一个直角三角形的两边的长分别是 3 和 4 ， 则第三边长为 ． 10 ． ( 2013· 张家界 ) 如图 ， OP ＝ 1 ， 过点 P 作 PP 1 ⊥ OP ， 得 OP 1 ＝ 2 ；再过点 P 1 作 P 1 P 2 ⊥ OP 1 且 P 1 P 2 ＝ 1 ， 得 OP 2 ＝ 3 ； 又过点 P 2 作 P 2 P 3 ⊥ OP 2 且 P 2 P 3 ＝ 1 ， 得 OP 3 ＝ 2 …… 依此法 继续作下去 ， 得 OP 2012 ＝ ． 11 ． (10 分 ) ( 2014 · 襄阳 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上 ， BD 与 CE 交于点 O ， 给出下列三个条件： ①∠ EBO ＝ ∠ DCO ； ② BE ＝ CD ； ③ OB ＝ OC. (1) 上述三个条件中 ， 由哪两个条件可以判定 △ ABC 是等腰三角形？ ( 用序号写出所有成立的情形 ) (2) 请选择 (1) 中的一种情形 ， 写出证明过程． 解： (1) ①② ； ①③ 　 (2) 选 ①③ 证明如下 ， ∵ OB ＝ OC ， ∴∠ OBC ＝ ∠ OCB ， ∵∠ EBO ＝ ∠ DCO ， 又 ∵∠ ABC ＝ ∠ EBO ＋ ∠ OBC ， ∠ ACB ＝ ∠ DCO ＋ ∠ OCB ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ， ∴△ ABC 是等腰三角形 12 ． (10 分 ) ( 2014 · 温州 ) 如图 ， 在等边三角形 ABC 中 ， 点 D ， E 分别在边 BC ， AC 上 ， DE ∥ AB ， 过点 E 作 EF ⊥ DE ， 交 BC 的延长线于点 F. (1) 求 ∠ F 的度数； (2) 若 CD ＝ 2 ， 求 DF 的长． ∵△ ABC 是等边三角形 ， ∴∠ B ＝ 60° ， ∵ DE ∥ AB ， ∴∠ EDC ＝ ∠ B ＝ 60° ， ∵ EF ⊥ DE ， ∴∠ DEF ＝ 90° ， ∴∠ F ＝ 90° － ∠ EDC ＝ 30° ∵∠ ACB ＝ 60° ， ∠ EDC ＝ 60° ， ∴△ EDC 是等边三角形． ∴ ED ＝ DC ＝ 2 ， ∵∠ DEF ＝ 90° ， ∠ F ＝ 30° ， ∴ DF ＝ 2DE ＝ 4 13 ． (10 分 ) ( 2012 · 泰安 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 45° ， CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ， 垂足分别为点 D ， E ， 点 F 为 BC 中点 ， BE 与 DF ， DC 分别交于点 G ， H ， ∠ ABE ＝ ∠ CBE. (1) 线段 BH 与 AC 相等吗 ， 若相等给予证明 ， 若不相等请说明理由； (2) 求证： BG 2 － GE 2 ＝ EA 2 . (2) 连接 CG ， ∵ F 为 BC 的中点 ， DB ＝ DC ， ∴ DF 垂直平分 BC ， ∴ BG ＝ CG ， ∵∠ ABE ＝ ∠ CBE ， BE ⊥ AC ， 在 Rt △ ABE 和 Rt △ CBE 中 ， ∠ AEB ＝ ∠ CEB ， BE ＝ BE ， ∠ CBE ＝ ∠ ABE ， ∴△ ABE ≌△ CBE( ASA ) ， ∴ EC ＝ EA. 在 Rt △ CGE 中 ， 由勾股定理得 CG 2 － GE 2 ＝ EC 2 ， ∴ BG 2 － GE 2 ＝ EA 2 14 ． (10 分 ) ( 2013 · 常德 ) 已知两个共一个顶点的等腰 Rt △ ABC ， Rt △ CEF ， ∠ ABC ＝ ∠ CEF ＝ 90° ， 连接 AF ， M 是 AF 的中点 ， 连接 MB ， ME. (1) 如图 ① ， 当 CB 与 CE 在同一直线上时 ， 求证： MB ∥ CF ； (2) 如图 ① ， 若 CB ＝ a ， CE ＝ 2a ， 求 BM ， ME 的长； (3) 如图 ② ， 当 ∠ BCE ＝ 45° 时 ， 求证： BM ＝ ME. 解： ( 1 ) 证法一：如图 ① ， 延长 AB 交 CF 于点 D ， 则易知 △ ABC 与 △ BCD 均为等腰直角三 角形 ， ∴ AB ＝ BC ＝ BD ， ∴ 点 B 为线段 AD 的中点 ， 又 ∵ 点 M 为线段 AF 的中点 ， ∴ BM 为 △ ADF 的中位线 ， ∴ BM ∥ CF 证法二：如图 ② ， 延长 BM 交 EF 于点 D ， ∵∠ ABC ＝ ∠ CEF ＝ 90 ° ， ∴ AB ⊥ CE ， EF ⊥ CE ， ∴ AB ∥ EF ， ∴∠ BAM ＝ ∠ DFM ， ∵ M 是 AF 的中点 ， ∴ AM ＝ FM ， ∵ 在 △ ABM 和 △ FDM 中 ， î í ì ∠ BAM ＝ ∠ DFM ， AM ＝ FM ， ∠ AMB ＝ ∠ FMD ， ∴△ ABM ≌△ FDM ( ASA ) ， ∴ AB ＝ DF ， ∵ BE ＝ CE － BC ， DE ＝ EF － DF ， ∴ BE ＝ DE ， ∴△ BDE 是等腰直角三角形 ， ∴∠ EBM ＝ 45 ° ， ∵ 在等腰直角 △ CEF 中 ， ∠ ECF ＝ 45 ° ， ∴∠ EBM ＝ ∠ ECF ， ∴ MB ∥ CF ( 2 ) 如图 ③ 所示 ， 延长 AB 交 CF 于点 D ， 则易 知 △ BCD 与 △ ABC 为等腰直角三角形 ， ∴ AB ＝ BC ＝ BD ＝ a ， AC ＝ CD ＝ 2 a ， ∴ 点 B 为 AD 中点 ， 又 ∵ 点 M 为 AF 中点 ， ∴ BM ＝ 1 2 DF. 分别延长 FE 与 CA 交于点 G ， 则易知 △ CEF 与 △ CEG 均为等腰直角三 角形 ， ∴ CE ＝ EF ＝ GE ＝ 2a ， CG ＝ CF ＝ 2 2 a ， ∴ 点 E 为 FG 中点 ， 又点 M 为 AF 中点 ， ∴ ME ＝ 1 2 AG. ∵ CG ＝ CF ＝ 2 2 a ， CA ＝ CD ＝ 2 a ， ∴ AG ＝ DF ＝ 2 a ， ∴ BM ＝ ME ＝ 1 2 × 2 a ＝ 2 2 a ( 3 ) 证法一：如图 ④ ， 延长 AB 交 CE 于点 D ， 连接 DF ， 则易知 △ ABC 与 △ BCD 均 为等腰直角三角形 ， ∴ AB ＝ BC ＝ BD ， AC ＝ CD ， ∴ 点 B 为 AD 中点 ， 又点 M 为 AF 中点 ， ∴ BM ＝ 1 2 DF. 延长 FE 与 CB 交于点 G ， 连接 AG ， 则易知 △ CEF 与 △ CEG 均为等腰直角三角形 ， ∴ CE ＝ EF ＝ EG ， CF ＝ CG ， ∴ 点 E 为 FG 中点 ， 又点 M 为 AF 中点 ， ∴ ME ＝ 1 2 AG. 在 △ ACG 与 △ DCF 中 ， î ï í ï ì AC ＝ CD ∠ ACG ＝ ∠ DCF ＝ 45 ° CG ＝ CF ， ∴△ ACG ≌△ DCF ( SAS ) ， ∴ DF ＝ AG ， ∴ BM ＝ ME 证法二：如图 ⑤ ， 延长 BM 交 CF 于点 D ， 连接 BE ， DE ， ∵∠ BCE ＝ 45 ° ， ∴∠ ACD ＝ 45 ° × 2 ＋ 45 ° ＝ 135 ° ， ∴∠ BAC ＋ ∠ ACF ＝ 45 ° ＋ 135 ° ＝ 180 ° ， ∴ AB ∥ CF ， ∴∠ BAM ＝ ∠ DFM ， ∴ M 是 AF 的中点 ， ∴ AM ＝ FM ， 在 △ ABM 和 △ FDM 中 ， î í ì ∠ BAM ＝ ∠ DFM ， AM ＝ FM ， ∠ AMB ＝ ∠ FMD ， ∴△ ABM ≌△ FDM ( ASA ) ， ∴ AB ＝ DF ， BM ＝ DM ， ∴ AB ＝ BC ＝ DF ， ∵ 在 △ BCE 和 △ DFE 中 ， î í ì BC ＝ DF ， ∠ BCE ＝ ∠ DFE ＝ 45 ° ， CE ＝ FE ， ∴△ BCE ≌△ DFE ( SAS ) ， ∴ BE ＝ DE ， ∠ BEC ＝ ∠ DEF ， ∴∠ B ED ＝ ∠ BEC ＋ ∠ CED ＝ ∠ DEF ＋ ∠ CED ＝ ∠ CEF ＝ 90 ° ， ∴△ BDE 是等腰直角三角 形 ， 又 ∵ BM ＝ DM ， ∴ BM ＝ ME ＝ 1 2 BD ， 故 BM ＝ ME